直觀想象視角下2023年高考新課標Ⅰ卷數學試題的分析

歐曉露　譚偉容　王光生

［摘 要］2023年高考新課標Ⅰ卷數學試題立足核心素養，重視考查理性思維，強化考查考生在真實情境中運用數學知識解決問題的能力和直觀想象素養。文章分析2023年高考新課標Ⅰ卷數學試題關于直觀想象素養的考查，并提出建議：教師在教學過程中應重視引導學生把握知識之間的內在聯系，體會數形結合思想的應用價值，培養學生的直觀想象素養。

［關鍵詞］2023年高考；新課標Ⅰ卷；直觀想象素養

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）05-0031-04

一、研究背景

2020年10月13日，中共中央、國務院印發了《深化新時代教育評價改革總體方案》，明確指出：穩步推進中高考改革，增加試題開放性，改變相對固化的試題形式，減少死記硬背與“機械刷題”現象。基于此，高中數學教師需要扎根數學學科核心素養，對高考試題做進一步的分析，從而優化課堂教學設計，促使學生能夠用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界，真正體現數學學科育人的價值。

二、直觀想象素養概述

直觀想象素養是解決數學問題所需的重要素養，表現為學生在解決數學問題時能夠構建出相關的數學模型。高考數學試題關于直觀想象素養的考查，對學生提出了以下要求：能根據已知條件畫出正確的圖形，能根據圖形想象出事物的直觀形象；能有效分析圖象中各元素之間的關系；能將圖形進行拆分、組合；能夠運用圖象發現、思考和表達出問題的本質。

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。研究者常通過“幾何直觀”與“空間想象”兩個核心概念對直觀想象素養進行研究。直觀想象素養要求學生能夠在分析事物的基礎上，對物體的空間形態、位置關系與運動規律進行想象；能夠運用幾何直觀和空間想象思考問題、解決問題，具有把握事物本質的能力。

三、2023年高考新課標Ⅰ卷數學試題分析

2023年高考新課標Ⅰ卷貫徹落實了新課標的精神，除強調考查立體幾何、解析幾何、函數等相關知識外，還注重考查直觀想象素養。

（一）強調基礎知識，注重直觀模型構建

2023年高考新課標Ⅰ卷數學試題注重考查學生的基礎知識，以及學生構建直觀模型的能力。學生需要掌握幾何模型的基礎知識，了解問題背景，才能通過分析相關條件構建正確的直觀模型，從而解決問題。

［例1］（2023年高考新課標Ⅰ卷數學第18題）如圖1所示，在正四棱柱[ABCD]-[A1B1C1D1]中，[AB=2]，[AA1=4]。點[A2，B2，C2，D2]分別在棱[AA1]，[BB1]，[CC1]，[DD1]上，[AA2=1]，[BB2=DD2=2]，[CC2=3]。

（1）證明：[B2C2]∥[A2D2]；

（2）點[P]在棱[BB1]上，當二面角[P-A2C2-D2]為[150°]時，求[B2P]。

試題分析：此題條件簡潔明了，內涵較為豐富，考查學生對空間直角坐標系的建立，向量平行、向量的數量積等概念的掌握程度，以及空間想象能力。（1）由題中所給的條件可知，不妨以[C]為坐標原點，建立如圖2所示的空間直角坐標系，根據向量坐標相等與直線位置之間的關系進行證明；（2）由于點[P]是動點，通過借助參數[λ（0≤λ≤4）]將動點問題轉化為代數問題即可解決。設[P（0，2，λ）（0≤λ≤4）]，利用二面角法向量之間的夾角關系，建立方程組求出參數[λ]即可。

本題的解題關鍵在于把握直線與直線、平面與平面之間的位置關系及其背后蘊含的數量關系，借助幾何直觀形成解題思路。

［例2］（2023年高考新課標Ⅰ卷數學第6題）過點（0，-2）與圓[x2+y2-4x-1=0]相切的兩條直線的夾角為[α]，則[sinα=]（）。

A. 1B. [154]C. [104]D. [64]

試題分析：此題條件簡潔明了，邏輯清晰，充分考查切線性質、倍角公式、余弦定理、兩點間距離公式、兩直線夾角等概念，直線與圓的位置關系，以及空間想象能力。學生如果能根據題目中所給條件建立點、直線與圓的位置關系的直觀模型，從兩補角之間正弦值相等出發，意識到求[sinα]即求[sin∠APB]，根據兩點間距離公式及圓心到切線的距離等于圓的半徑，求出線段[BC]與[PC]的長度（如圖3），就能很快地得出答案為B。

（二）數形結合建立模型，探索解題思路

數和形是數學中兩個最主要的研究對象，它們有著十分密切的聯系，兩者相互轉化、相互滲透。用“形”觀察“數”的大小關系是一種直覺判斷，“能否想到用圖形觀察”“用什么樣的圖形觀察”“如何運用圖形進行觀察”對數學問題的解決至關重要。2023年高考新課標Ⅰ卷數學試題注重考查數形結合思想的運用。

［例3］（2023年高考新課標Ⅰ卷數學第15題）已知函數[f（x）=cosωx-1（ω>0）]在區間[0，2π]有且僅有3個零點，則[ω]的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? ?。

試題分析：此題考查學生對于函數概念、函數與方程的轉化的掌握程度，以建立幾何模型和借助幾何模型解決問題的能力。此題考查關于函數零點的個數問題，而不是大小或函數最值等問題，并且函數[f（x）=cosωx-1（ω>0）]在區間[0，2π]內有3個零點，也就是說[cosωx=1]在區間[0，2π]內有3個不同的實數根。因為題中所給函數具有周期性，單純從“數”的角度解決問題難度較大，所以可以從“形”的角度判斷根的大致分布情況。不妨令[t=ωx]，當[t∈0，2ωπ]時，[y] = [cost]的圖象與[y=1]的圖象（如圖4）有3個交點，即滿足條件[4π≤2ωπ<6π]，故[2≤ω<3]。

此題的難點在于如何通過已知條件尋找根與系數之間的關系，并通過建立幾何模型探索解題思路。數形結合為解題找到了突破口。掌握y=[cost]的圖象與[y=1]的圖象之間的關系，通過簡單的運算即可得到答案。

［例4］（2023年高考新課標Ⅰ卷數學第11題）已知函數[f（x）]的定義域為[R]和[f（xy）=y2f（x）+x2f（y）]，則（）。

A. [f（0）=0]? ? ? ? ? ? ? B. [f（1）=0]

C. [f（x）]是偶函數? ? D. [x=0]為[f（x）]的極小值點

試題分析：本題[ABC]選項均可以采用代入數值的方法進行求解。

當[x=0]，[y=0]時，[f（0）=0·f（0）+0·f（0）=0]，故選A。

當[x=1]，[y=1]時，[f（1）=1·f（1）+1·f（1）=2f（1）]解得[f（1）=0]，故選B。

當[x=-1]，[y=-1]時，[f（1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=0]，解得[f（-1）=0]。令[y=-1]，[f（-x）=f（x）+x2f（-1）=f（x）]，故選C。

對于D選項，可從以下兩個方面進行分析：

方法一：尋找特殊函數

當[f（x）=0]時，滿足條件[f（xy）=y2f（x）+x2f（y）]，此時函數圖象為一條過原點且平行于[x]軸的直線，此時函數沒有極值點。

方法二：構造函數

根據題中所給的函數[f（xy）=y2f（x）+x2f（y）]，當[x]和[y]均不為0時，對函數[f（xy）=y2f（x）+x2f（y）]兩邊同時除以[x2y2]，得到式子[f（xy）x2y2=f（x）x2+f（y）y2]，容易聯想到對數函數[f（x）=lnx]。又因為[f（x）]是偶函數，受到對稱性的影響，可以假設[f（x）x2=lnx（x≠0）]，則[f（x）=x2lnx，x≠0，0，x=0，]對函數進行求導后，根據函數單調性可以畫出函數圖象（如圖5），由圖象可知，此時[x=0]時，函數[f（x）]有極大值點。

此題的難點在于如何將抽象函數與具體函數建立聯系，借助函數圖象對函數的性質進行分析。

（三）利用空間想象探尋問題本質

事物的本質往往隱藏在事物的背后，它不僅需要我們從數學模型、幾何直觀上認識和把握事物的本質，還要求我們從生活中汲取相關經驗，從而在腦海中形成與問題情境相對應的大致圖象。2023年高考新課標Ⅰ卷數學試題注重考查學生利用空間想象探尋問題本質的能力。

［例5］（2023年高考新課標Ⅰ卷數學第12題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（）。

A. 直徑為[0.99 m]的球體

B. 所有棱長均為[1.4 m]的四面體

C. 底面直徑為[0.01 m]，高為[1.8 m]的圓柱體

D. 底面直徑為[1.2 m]，高為[0.01 m]的圓柱體

試題分析：本題兼顧考查了生活常識與數學幾何知識，體現了數學原理和方法與生活常識相統一。本題難度適中，但方式較為新穎，突出了素養導向，且貼近生活實際。

此題的難點在于如何根據圖象信息找到幾何立體圖形之間的數量關系，借助立體幾何形成具體解題思路。

因為球的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內（如圖6），故A正確。

因為正方體的對角線比四面體的棱長要長（如圖7），但正方體的棱長比四面體的棱長要短，因此可以嘗試將四面體的每條棱與正方體每個面的對角線相重合（如圖8），故B正確。

由于所給圓柱體的直徑很小，相較于正方體來說，可以近似將該圓柱體作為一條線段進行分析（如圖9）。正方體的對角線長為[3m]，且[3<1.8]，因此該圓柱體無法放入正方體中，C錯誤。

對于D選項，由于此題涉及的位置關系較為復雜，因此可以在畫出簡圖后，形成清晰的解題思路。該圓柱體的高很小，可將其近似看成一個圓形，觀察其直徑與正方體的對角線之間的關系。由題中所給信息可知，正方體的對角線長為[3m]，且[3>1.2]，因此有可能將其放入正方體中，D選項正確。但該圓柱體只能“近似”看成一個圓形（如圖10），并不能簡單地忽略它的高度，因此還需要進行更細致的分析。本題將“圓柱體”放入“正方體”，不妨對一般情況進行研究。

當以正方體的對角線為軸放置圓柱體，圓柱體的底面與正方體三個面相切時，圓柱體的高有最大值，此時圓柱體的底面所在的平面截正方體得一個底面為等邊三角形，各個側面均為全等直角三角形的三棱錐（如圖11）。

因此，要想求出所放入圓柱體高度的最大值，需要知道點[A]到底面[JHI]的距離，不妨假設點[A]到底面[JHI]的距離為[h]，[AI]長度為[a]，[JI]長度為[b]，圓柱底面半徑為[r]，所放入圓柱體的高度的最大值為[H]（如圖12），由平面HIJ的截面（如圖13）可知，各條線段之間具有以下關系：

[b=2a]

[b=23r]

[VA-IJH=13h·S△IJH]

[VA-IJH=VJ-AIH=13a·12a2=16a3]

[H=3-2h]

解得[H=3-22r]。根據題目中所給條件可知，[r=0.6] m，將值代入求解，可得[H≈0.03>0.01]，所以該圓柱體能夠放入棱長為1的正方體中。

由本題可知，在幾何直觀的基礎上，利用事物的一般性質，由一般到特殊，進而把握知識的本質聯系，為構建模型解決問題提供了根本保障。

四、2023年高考數學試題關于直觀想象素養的考查對高中數學教學的啟示

（一）深度研讀教材，更新教學理念

通過分析2023年高考新課標Ⅰ卷數學試題中注重考查直觀想象素養的題目可以發現，有些題目在人教A版（2019）高中數學教材中可以窺見一二，因此需要教師回歸教材，立足核心素養，繼續探索新課程改革理念在高中數學課堂教學中的具體落實策略。教師應更新教學理念，改變以死記硬背、題海戰術為主的刷題訓練模式，引導學生從題目所給信息中找到問題的本質，了解知識的形成過程，把握知識之間的內在聯系，讓學生將經驗、技巧、知識內化為素養，提升學生的思維能力。

（二）夯實基礎知識，拓寬想象空間

基礎知識是解題思路的源泉，創新思維的產生依賴于扎實的基礎知識。教師應注重夯實學生的基礎知識，拓寬學生的想象空間，培養學生識圖、作圖、用圖的能力和空間想象力。教師還應開展相關的實踐活動，幫助學生積累直觀想象的經驗，培養學生的直觀想象素養。

（三）改善思維，強化方法指導

從2023年高考新課標Ⅰ卷數學試題的考查內容可以看出，指向直觀想象素養培養的教學，最終的落腳點都是指導學生構建幾何模型，培養學生從數形結合視角解決問題的能力。教師要讓學生“學會去看”，能夠運用幾何模型分析問題中形與數之間的關系，進而以形助數、以數輔形，有效解決問題。

總之，直觀想象既是一種重要的數學思維方式，又是一種重要的數學學科核心素養，教師應當在研讀教材、更新教學理念的基礎上，深入挖掘直觀想象的內涵，拓寬直觀想象素養的培養路徑，以更好地培育學生的直觀想象素養。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 黃維靜，陳建華.高考數學開放性試題解析：以2021年高考題為例［J］.高中數學教與學，2021（23）：1-4.

［2］? 劉再平，羅新兵.核心素養視域下的數學測評研究：以2019年全國卷Ⅱ高考數學試題為例［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2020（11）：53，1-6.

［3］? 李昌官.直觀想象視角下的2019年高考數學試題研究［J］.基礎教育課程，2019（16）：25-33.

［4］? 胡彰迪.高中數學教學中培養學生直觀想象素養的策略初探［J］.上海中學數學，2022（11）：5-9.

［5］? 陳俊藝.基于直觀想象素養? 引導學生變式探究：以解析幾何中一類直線性質的探究為例［J］.福建中學數學，2022（3）：16-18.

［6］? 李曉丹.從不同教科書看直觀想象素養的滲透：以基本不等式為例［J］.中學數學，2023（15）：11-13.

［7］? 劉慧.數形結合探思路? 一題多解啟思維：2017年山東淄博中考壓軸題的解法探究與教學之思［J］.中學數學雜志，2018（2）：59-62.

［8］? 張文雅，許金綠.STEM教育與高中數學建模融合的實施策略［J］.理科考試研究，2021（21）：27-29.

（責任編輯 黃春香）