基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“勾股定理”教學(xué)實(shí)踐研究

尚秀清

摘要：學(xué)生經(jīng)歷探索和證明勾股定理的過程，發(fā)展抽象、幾何直觀素養(yǎng)；通過歸納、猜想、驗(yàn)證培養(yǎng)邏輯推理能力；通過動手操作畫圖、拼圖等活動培養(yǎng)直觀想象能力、創(chuàng)新思維，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；勾股定理；課堂教學(xué)

培養(yǎng)初中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，就是要培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)為抽象能力（數(shù)感、量感、符號意識）、幾何直觀、空間觀念和創(chuàng)新意識；數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力、推理意識或推理能力；數(shù)學(xué)語言主要表現(xiàn)為數(shù)據(jù)意識、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識.課堂作為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的主陣地，為發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)提供可持續(xù)的支撐.勾股定理的應(yīng)用中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、幾何直觀素養(yǎng).

1 勾股定理的應(yīng)用中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)分析

1.1 從文字描述到符號表達(dá)：勾股定理中的數(shù)學(xué)抽象

史寧中認(rèn)為，數(shù)學(xué)基本思想是數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴、所依靠的思想，是研究數(shù)學(xué)學(xué)科不可缺少的思想，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).理解和掌握數(shù)學(xué)所應(yīng)追求和達(dá)成的目標(biāo).數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想本質(zhì)上包含抽象、推理、模型，其中抽象是基礎(chǔ).把現(xiàn)實(shí)生活中的具體情境通過抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，經(jīng)過推理得到數(shù)學(xué)結(jié)論，再經(jīng)過模型構(gòu)建數(shù)學(xué)與其他的關(guān)聯(lián).

勾股定理描述了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，為全等三角形的判定、相似三角形、三角函數(shù)等后續(xù)相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，受到應(yīng)試機(jī)制的影響，教學(xué)更多聚焦于勾股定理在解題中的應(yīng)用，因而忽視了其自身的教育價(jià)值，導(dǎo)致學(xué)生對勾股定理的理解流于表面，知其然而不知其所以然，沒有經(jīng)歷勾股定理的抽象過程.數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)在于摒棄一切物理屬性而獲得數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系的本質(zhì)屬性.在“勾股定理”的教學(xué)中，可以通過創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷勾股定理的抽象過程.例如，可以給出一些三角形，其中包括銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，然后由學(xué)生來發(fā)現(xiàn)這些三角形邊長的數(shù)量關(guān)系，確定哪類三角形的邊長的數(shù)量關(guān)系是穩(wěn)定的，完成文字表述，進(jìn)而形成符號語言，這本身就是數(shù)學(xué)抽象的過程.

1.2 從圖形關(guān)系到數(shù)量關(guān)系：勾股定理中的幾何直觀

在研究幾何圖形的數(shù)量關(guān)系時，要結(jié)合圖形直觀地去探索和研究，不能憑空思考；反之，幾何圖形中又蘊(yùn)含了與其緊密聯(lián)系的數(shù)量關(guān)系.勾股定理描述了直角三角形三邊的特殊關(guān)系，它架起了幾何與代數(shù)的橋梁，在初中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)中，貫穿于不同內(nèi)容不同問題中，把邊之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)的關(guān)系.華羅庚教授曾指出“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”.數(shù)形結(jié)合作為一種常見的數(shù)學(xué)思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、推理能力和應(yīng)用意識等素養(yǎng)的重要載體.勾股定理是數(shù)形結(jié)合的經(jīng)典內(nèi)容，主題思想是用代數(shù)方法解決幾何問題.例如，嘉嘉要將一根竹竿帶進(jìn)電梯，電梯的長、寬、高分別是2 m，1 m，3 m，那么嘉嘉放到電梯內(nèi)的竹竿最大長度是多少呢？要解決這個問題，需要抽象出長方體模型，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為長方體內(nèi)線段最長的問題.學(xué)生通過分類討論及對圖形的觀察、比較，探究出電梯斜對角之間的線段最長，探究過程中培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).

1.3 從經(jīng)驗(yàn)感知到論證推演：勾股定理中的邏輯推理

數(shù)學(xué)的主要功能之一就是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在課程總體目標(biāo)中做了如下要求：經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理和演繹推理能力.能有條理地、清晰地表述自己的觀點(diǎn).勾股定理的探究過程“創(chuàng)設(shè)情境—觀察、分析、歸納—獲得猜想—操作、驗(yàn)證和證明猜想”是合情推理、演繹推理課堂教學(xué)模式.如在探究勾股定理時，先從特殊情況入手，在網(wǎng)格紙上畫格點(diǎn)等腰直角三角形，以三邊為邊向外作正方形，利用面積法探究出等腰直角三角形三邊關(guān)系，然后繼續(xù)探究特殊直角三角形三邊關(guān)系，最后探究一般直角三角形三邊關(guān)系，這個過程是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納.

2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在勾股定理應(yīng)用中的滲透

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)，不是指傳授具體的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)技能，也不是培養(yǎng)一般意義上的數(shù)學(xué)能力，它基于數(shù)學(xué)知識技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識技能，凌駕于數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法之上.下面談?wù)剶?shù)學(xué)核心素養(yǎng)在勾股定理應(yīng)用中的滲透.

2.1 創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

教育家陶行知先生提出了“教學(xué)生活化”的教育思想，即從學(xué)生熟悉的生活情境出發(fā)，打破教材，從學(xué)教材變?yōu)橛媒滩模焉鐣钪械挠行зY源與課本知識融會貫通.教師要充分挖掘生活中的素材，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷觀察、領(lǐng)悟抽象、建立模型過程，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)抽象與直觀想象素養(yǎng).數(shù)學(xué)從生活中來，又應(yīng)用于生活中.如從畢達(dá)哥拉斯到朋友家做客發(fā)現(xiàn)朋友家地磚鋪成的圖案，反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系.從實(shí)際生活引入，通過對一系列等腰直角三角形、一般直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系的探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些邊的數(shù)量關(guān)系中有穩(wěn)定關(guān)系，用數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.2 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知，發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)

史寧中教授說，數(shù)學(xué)知識的形成依賴于直觀，數(shù)學(xué)知識的確定依賴于推理.換句話說，數(shù)學(xué)的結(jié)果有時可以依靠“觀察”得出并不是經(jīng)過“推理”得到的.所謂“觀察”是一種直覺判斷，這種直覺判斷是學(xué)生經(jīng)過長期有效的觀察和思考形成的一種能力.這種能力被稱為直觀能力，是人本身先天存在的，不需后天培養(yǎng)，但是良好的直觀能力的養(yǎng)成卻依賴于經(jīng)驗(yàn).直觀不是“教”出來的，而是自己“悟”出來的，這就需要經(jīng)驗(yàn)積累.在證明勾股定理的探究中，學(xué)生準(zhǔn)備邊長分別為a，b的兩個正方形紙板，一把剪刀，一把直尺.

如圖1，把邊長為a，b的兩個正方形連在一起，它的面積是a2+b2；另一方面，這個圖形分可割成四個全等的直角三角形和一個小正方形.

把圖1中的兩個三角形移到圖1（2）中所示的位置，形成以c為邊長的正方形（趙爽弦圖）.課堂中，學(xué)生動手操作、探究，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的關(guān)系，發(fā)展了幾何直觀素養(yǎng).

2.3 經(jīng)歷勾股定理的探索和證明，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

蘇霍姆林斯基曾經(jīng)說過，學(xué)生動手操作是培養(yǎng)學(xué)生推理能力有效途徑.我國著名教育家陶行知先生提出了“手腦并用”的理論，他提倡讓孩子通過自己的口、眼、手，在親自感知、觀察、操作的過程中習(xí)得知識.本研究認(rèn)為，教師在課堂上組織學(xué)生觀察、動手操作，啟發(fā)他們思考，指導(dǎo)他們通過觀察與分析、領(lǐng)悟與發(fā)現(xiàn)，歸納其中的規(guī)律，發(fā)展學(xué)生邏輯推理能力.活動一：讓學(xué)生畫三個直角邊長分別為1，2，3的等腰直角三角形，以三邊為邊向外作正方形，并觀察正方形的面積關(guān)系.以直角邊為邊的正方形面積記作SA，SB，以斜邊為邊的正方形面積記作SC，則SA+SB=SC.活動二：學(xué)生在網(wǎng)格紙上畫一個直角邊長度分別為3，4的直角三角形，得到SA+SB=SC.活動三：猜想一般直角三角形的三邊是否也具有這個特征？在這個教學(xué)片斷中，師生圍繞直角三角形的三邊關(guān)系問題，經(jīng)歷從特殊直角三角形到一般直角三角形，層層深入，得出直角三角形的三邊關(guān)系.教師在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問題，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)他們親歷“猜想-驗(yàn)證-結(jié)論”的探究過程，發(fā)展合情推理能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是思維的體操；培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的邏輯推理能力，“有情理、合理性地思考”，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力.這種循序漸進(jìn)、拾階而上的過程和方法是數(shù)學(xué)育人的力量所在，是培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵載體［1］.

2.4 深度探究、拓展思維，鼓勵學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新

新課程要求培養(yǎng)學(xué)生的批判意識、質(zhì)疑精神和創(chuàng)新能力，更重視學(xué)生的自主性、主動探究，使學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)過程中更好地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題.在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)依據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)，精心創(chuàng)設(shè)問題情境，鼓勵學(xué)生積極思考，引導(dǎo)學(xué)生探究、交流，促進(jìn)學(xué)生能力得到提升和發(fā)展.

探究活動：學(xué)生課前準(zhǔn)備4個全等的直角三角形，每個直角三角形的直角邊長分別為ɑ，b（ɑ＜b），斜邊長為c.試著拼一拼，探究勾股定理的證明.

本環(huán)節(jié)問題的設(shè)置具有開放性，有利于促進(jìn)學(xué)生從多方面、多角度（如圖2）進(jìn)行思考，從而使思維向縱深、寬廣的方向發(fā)展，培養(yǎng)創(chuàng)新思維.

追問：用兩個直角三角形能證明勾股定理嗎？

學(xué)生的思維大門被打開，通過拆分、平移三角形等得到新的證法，如圖3所示.

“知識只有當(dāng)它靠積極的思維得來，而不是靠記憶得來的時候，才是真正的知識.”在課堂教學(xué)中，教師要把琢磨、研究的權(quán)利還給學(xué)生，給學(xué)生充分思考、合作交流的時間.這樣利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，引發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，利于培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑、探究能力，利于學(xué)生創(chuàng)新思維及學(xué)習(xí)主動性的培養(yǎng).

總體來說，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考及數(shù)學(xué)表達(dá).數(shù)學(xué)觀察即數(shù)學(xué)抽象能力、幾何直觀；數(shù)學(xué)思考即數(shù)學(xué)推理能力及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；數(shù)學(xué)表達(dá)包含數(shù)學(xué)模型意識及數(shù)據(jù)觀念.勾股定理的學(xué)習(xí)，注重了知識的來源及其在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，學(xué)生經(jīng)歷觀察思考、動手操作、猜想驗(yàn)證，完成了對勾股定理的探索.學(xué)生在探究過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)推理的方法；重視勾股定理的得出過程，注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)在的前后邏輯.學(xué)生經(jīng)歷抽象、歸納過程，學(xué)會用數(shù)學(xué)思維認(rèn)識問題，用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，落實(shí)了數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀、邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng).從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，建立研究問題的思路，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、驗(yàn)證猜想，進(jìn)而得出結(jié)論.用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，通過小組或同學(xué)間的交流，逐漸學(xué)會清晰、準(zhǔn)確而有邏輯地表達(dá)思想，善于傾聽他人見解，內(nèi)化他人思想，達(dá)到同學(xué)之間相互學(xué)習(xí)和共同提高［2］.最后，用數(shù)學(xué)的語言描述現(xiàn)實(shí)世界.

參考文獻(xiàn)：

［1］明永學(xué).培養(yǎng)邏輯推理能力 發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2018（12）：6-7.

［2］陳春燕.基于問題設(shè)計(jì) 落實(shí)核心素養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（17）：5-7.