百變圖形， 智慧巧解

在計算圖形的面積時，規(guī)則圖形可直接用面積公式算出面積。而遇到 無法直接用公式計算面積的圖形時，可以運用“分割”“添補”等方法將圖 形進行轉(zhuǎn)化，再用面積公式計算出所求圖形的面積。無論圖形怎么變換，“分 割”“添補”總能提供智慧的解決方法。

一、巧用“分割”

“分割”的方法就是將原來的圖形分成若干個規(guī)則的圖形。目前，對于 沒有面積計算公式的不規(guī)則圖形，我們通常采用“分割”的方式，將它變成 規(guī)則圖形，從而計算面積。當(dāng)然，有時候?qū)⒁?guī)則圖形進行“分割”也會獲得 新的思路。

例題 1 ：如圖 1 所示，等邊三角形的邊長為 3 厘米，正六邊形的邊 長為 1 厘米。如果等邊三角形與正六邊形的面積比為 a：2，則 a=（ ）。

以上兩個圖形本就是規(guī)則圖形，一個是等邊三角形，一個是正六邊形。 要想知道 a 是多少，就得知道兩個圖形的面積分別是多少。但是三角形中缺 少高的條件，又該如何計算等邊三角形的面積呢？

我們可以這樣思考 ：

根據(jù)兩個圖形在邊長上的關(guān)系，把兩個圖形都進行分割（如圖 2）。顯然， 分割后得到的所有小等邊三角形的邊長都是 1 厘米，大小相等。從圖 2 中可 以看出，大等邊三角形平均分成了 9 個完全一樣的小三角形，正六邊形平均 分成了 6 個完全一樣的三角形。大等邊三角形與正六邊形的面積比 9：6=3：2， 所以 a=3。

此時我們用“分割”的方法進行了巧妙的轉(zhuǎn)化，不用求出兩個圖形的面積， 題目也迎刃而解了。在這里，“分割”法為規(guī)則圖形面積比的問題提供了良好 的助力。

二、巧用“添補”

一般來說，需要“添補”的圖形都不規(guī)則，不易計算，因此需要將其“補” 成一個規(guī)則圖形幫助求解。“添補”的關(guān)鍵在于，要根據(jù)原圖形的特點，將其 添補成一個常見的，且易于求解的圖形。還有一些圖形，看似用“分割”更好 解決，但是分割后結(jié)合題目中的條件，依然無法求解。這個時候就要轉(zhuǎn)換思路， 想一想，是不是用“補”更加合適呢？

例題 2 ：在四邊形 ABCD 中（如圖 3），∠ A = ∠ C = 90° ， ∠ B = 45°，且 AD 是 2 厘米，BC 是 4 厘米，四邊形 ABCD 的 面積是多少平方厘米呢？

顯然，四邊形 ABCD 是不規(guī)則圖形，想要直接求出四邊形的面積是不可能 的。即便是采用“分割”的方法，把四邊形 ABCD 分割成兩個三角形也很難求解。 但若采用“添補”的方法，就會“柳暗花明又一村”。

通過觀察，我們可以延長 BA、CD 相交于點 E（如圖 4），四邊形 ABCD 的面積等于三角形 EBC 與三角形 EAD 的面積之差，而兩個三角形都是等腰 直角三角形，并且已知 AD 與 BC 的長度，那么，問題迎刃而解 ：BC=CE=4， 4×4÷2 求出三角形 EBC 的面積。AD=AE=2，再用 2×2÷2 求出三角形 EAD 的面積，最后求出三角形 EBC 和三角形 EAD 的面積之差，得出 6 平方厘米， 也就是四邊形 ABCD 的面積。

三、小試牛刀

在解決圖形面積相關(guān)問題上，需要我們仔細觀察，認真比較 ：哪一種 方法更適合解決此類問題呢？如果選擇正確的方法，將事半功倍。

課后練習(xí) 1：在一個大正方形中（如圖 5），有兩個涂色的小正方形， 較小的涂色小正方形的面積與較大的涂色小正方形的面積比是多少？

解 ：如圖 6 所示，選擇“分割”的方法。將半個正方形平均分成 9 個完 全一樣的小三角形，較小的涂色正方形有這樣的 4 份。所以較小的涂色正方 形占半個大正方形的4/ 9 。將半個正方形平均分成 4 個完全一樣的較小三角形， 較大的涂色正方形有這樣的 2 份，所以較大的涂色正方形面積占半個大正方 形的 1/2。4/9 ÷1/2 = =8 ：9，較小的涂色正方形的面積與較大的涂色正方形的 面積比是 8 ：9。

課后練習(xí)2：圖7是由三個正方形和一個長方形組成的圖形單位：厘米），線段AB將該圖形分成面積相等的兩部分，圖中長方形的長是（）厘米。

解：仔細觀察，就會發(fā)現(xiàn)采用“分割”的方法計算各部分面積，再求長方形的長是多少會很難。但如果將圖的左下角和右上角補上，使之成為—個完整的長方形，使可以知道補上的兩部分的面積相等（如圖8。

右上角添補的圖形①面積是8×（10-8）=16平方厘米，圖形②面積是6×（10-6）=24平方厘米，將兩個部分合起來是40平方厘米，因此左下角添補的長方形面積也是40平方厘米。而已知左下角所補長方形的寬是10-5=5厘米，故其長為40 ÷5=8厘米。