模型還原，破解數學難題的利劍

父子關于作業的“論戰”

一天晚上十點多了，電話鈴突然響起，打開一看，是一個朋友，趕忙接通：“你好，休息了嗎？這么晚了給你打電話，就是想和你拉拉呱（山東方言，說話、聊天的意思）。”

我：“不晚，不晚，怎么啦？”

友：“今天和聰聰生了一晚上的氣！”

我：“聰聰那么懂事，怎么會惹你生氣？”

友：“我覺得，自從上了四年級，他的腦子就出問題了！”

我：“怎么可能？這話從何說起？”

友：“最近聰聰學習成績下降，作業總不會做，你給他講，他就‘胡攪蠻纏’。”

我：“怎么個胡攪法？”

友：“今天作業有一道路程問題：小明周日去爬山，上山用4個小時，每小時走3千米，下山每小時走6千米，要幾個小時？聰聰說這道題有問題，山道彎曲，崎嶇不平，不要說上山，就是下山，也是一會兒走快，一會兒走慢，怎么能確定上山的速度就是每小時3千米，下山速度就是每小時6千米？我說，你管他山道彎不彎、平不平，你把題做對就行！可是聰聰不服氣，說這題與事實不符，沒法做。他和我抬了一晚上的杠，最后還是沒有完成作業。你說，這不是腦瓜出問題了嗎？”

聰聰這種情況并非個例，數學學習中，不少孩子常有這種想法，但他們不是胡攪蠻纏，更不是腦瓜出毛病，而是初識世界的他們，頭腦中尚未建立起數學模型的概念。

學會假設是建立數學模型的前提

數學是研究數量關系和空間形式的科學。現實中，數和數量關系雖然是一種客觀存在，但是看不見、摸不著。為了較好地研究它們，就要將其從現實中抽象出來，構建起數學模型，這是數學研究的基本方法之一。所以，小學數學學習，計算、解題僅僅是“標”，幫助孩子樹立起建模思維才是“本”。所謂數學建模，就是根據實際問題來建立數學模型，借助數學模型解決實際問題。

比如現實中最常見的路程問題，無論多么復雜，都可以抽象為“速度=路程÷時間”模型，以及由此衍生出的“路程=速度×時間”“時間=路程÷速度”兩個副模型。

有朋友說了，模型不就是公式，做題時套上不就行了？可孩子為什么就是不愿去套呢？

從表面形式上看，許多數學模型的確就是一個公式，但若是不理解這個模型的內涵，這個公式便“不好套”。

正如聰聰說的那樣，數學模型中，有的量與現實并不相符。比如路程模型中的速度，山道彎曲，崎嶇不平，人一會兒走快，一會兒走慢，怎么可能每小時都是3千米呢？不要說每小時，每分鐘也不一樣啊！

事實雖是如此，但如果“尊重”事實的話，數學就沒法研究了。因此，為了研究“方便”，我們會假定在某段路程、某段時間內速度是一樣的，也就是勻速，所以模型中指的速度其實是某段路程、某段時間內的平均速度。

要讓孩子接受這個“勻速”概念，就要講清一個關鍵詞——“假設”。建立數學模型，進行數學研究時，要把現實中“時時不一、變動不居”的即時速度假設成“勻速”，可用前面學過的“平均分”辦法求出一個“平均速度”，用它代替現實中的即時速度。在數學問題中提到速度時，只要不作特別聲明，速度就是指平均速度。孩子唯有理解了概念，才能接納這個數學模型，在做類似題目時，就不會再執著于現實，與大人抬扛了。

模型還原是破解數學難題的利劍

路程模型是解決現實問題的基礎模型之一。讓孩子熟練掌握路程模型，不僅有助于提升解決實際問題的能力，也有助于培養孩子建立邏輯思維和空間觀念，為以后中學、大學學好物理學、工程學打下堅實的基礎。

路程問題有相遇、追及、相離等多種類型，雖然錯綜交叉、變化多樣，但萬變不離其宗，不過是若干個路程模型的組合。

例1：小明周日去爬山，上山用4個小時，每小時走 3千米，下山每小時走 6千米，要幾個小時？

分析：這是本文開始困擾聰聰的那道題。這個問題中有兩個“路程單元”：一是上山，二是下山。這兩個路程單元的關系是：上山路程=下山路程。厘清了兩個路程單元之間的聯系，這個問題就迎刃而解了。

上山路程=速度×時間=3×4=12（千米）；下山時間=路程÷速度=12÷6=2（小時）。

列成綜合算式就是：

3×4÷6

=12÷6

=2（小時）

例2：A、B兩城相距240千米，一輛汽車原計劃用6小時從A城開到B城，汽車行駛2小時后，因故在途中停留了2小時。如果按照原定的時間到達B城，汽車在后半段路程速度是多少？

分析：這個問題表面上看是一個路程單元，但由于中途停車，且后面又加速行駛，這個問題中就變成了3個路程單元：一是“原計劃全路程”，二是實際前段路程，三是實際后段路程。

三個路程單元的關系有兩個：一是路程關系，即全路程=前段路程+后段路程；二是時間關系，即原計劃時間=前段路程時間+2小時停留時間+后段路程時間。

原計劃全路程速度=240÷6=40（千米/小時）；前段路程=40×2=80（千米），后段路程=全程路程-前段路程=240-80=160（千米）；后段路程時間=原計劃全段時間-前段時間-停留時間=6-2-2=2（小時），后段路程速度=160÷2=80（千米/小時）。

列成綜合算式就是：

（240-240÷6×2）÷（6-2-2）

=（240-40×2）÷2

=（240-80）÷2

=160÷2

=80（千米/ 小時）

小結：從上面兩個例題中不難看出，再復雜的路程問題也不過是兩個或兩個以上路程單元的組合，通過對路程進行拆解，將相互交叉的路程問題拆解還原成單個路程模型，問題就能迎刃而解。

例3：甲乙二人從東西兩地同時出發，相對而行，兩地相距200千米，甲每小時行30千米，乙每小時行20千米。甲帶了一只狗，和甲同時出發，狗每小時以60千米的速度向乙奔去，遇到乙時即回頭向甲奔去，遇到甲又回頭向乙奔去，甲乙兩人相遇時狗才停住。這只狗共跑了多少千米？

分析：這是一道難度系數達五星的奧賽級路程問題。表面看來，小狗來回跑，路程“變化不居”，跑的時間也“不確定”，很多學生和家長初見此題時都會感到“老虎吃天——無從下口”。

但是只要分析拆解一下，就不難發現，這里面其實只有三個路程單元，一是甲的路程，二是乙的路程，三是小狗的路程。

三個路程單元的關系有兩個：一是甲和乙相遇；二是時間關系，無論小狗跑幾個“來回”，總時間=甲乙二人相遇時用的時間。

這樣，甲乙二人相遇時間=200÷（30+20）=200÷50=4（小時），小狗跑的路程=60×4=240（千米），列成綜合算式就是：

60×[200÷（30+20）]

=60×（200÷50）

=60×4

=240（千米）

授人以魚不如授人以漁。當孩子寫數學作業遇到困惑時，家長輔導不能就題論題，列出算式給他們講答案就算完，要弄清楚他們的困惑所在，對癥下藥，遞給孩子一把破解問題的利劍——運用分析法，將復雜問題分解還原成若干個數學模型，然后找到它們之間的關系，比如例1中的“上下山路程相等”，例2中的“總路程不變”，例3中的“小狗跑的總時間是甲乙二人相遇用時間”等，這樣再復雜的問題也難不住孩子了。

（作者系山東省濱州市鄒平市第一實驗小學教師）

（宋行軍）