一道2023年中國北方奧林匹克競賽試題的解法探究及其推廣

文帥 梁明端 袁興菊

1.試題呈現

題目設a，b，c∈0，1，且ab+bc+ca=4abc，求證：a+b+c≥1－a+1－b+1－c.

分析：這是2023年第十八屆中國北方奧林匹克競賽試題的一道不等式證明題，其中已知條件是以循環和的形式呈現，求證的不等式為根式的最值問題，形式上具有數學的美感.本文對該題進行解法探究，并對其進行變式和推廣，與大家一起分享.

2．解法探究

證法1：由ab+bc+ca=4abc，得1a+1b+1c=4，由柯西不等式得1－a+1－b+1－c=a·1a－1+b·1b－1+c·1c－1≤a+b+c1a－1+1b－1+1c－1=a+b+c1a+1b+1c－3=a+b+c，故a+b+c≥1－a+1－b+1－c.

評注：此證法借助了柯西不等式.

證法2：由ab+bc+ca=4abc，得1a+1b+1c=4，由柯西不等式得a+b+c1a+1b+1c≥9，即a+b+c≥94，則有32≥154－a+b+c，a+b+c≥32，所以a+b+c≥154－a+b+c =14+1－a+14+1－b+14+1－c.下面證明14+x≥x，即證x－x+14≥0，配方可得x－122≥0，所以14+1－a +14+1－b+14+1－c≥1－a+1－b+1－c，故a+b+c≥1－a+1－b+1－c.

評注：此證法借助柯西不等式求得a+b+c的取值范圍，再利用其最小值進一步放縮不等式.

證法3：由ab+bc+ca=4abc，得1a+1b+1c=4，由基本不等式的推廣得a+b+c3≥31a+1b+1c，所以a+b+c≥94，即4a+b+c－9≥0，由柯西不等式得1－a+1－b+1－c

≤31－a+1－b+1－c=9－3a+b+c=a+b+c－4a+b+c－9≤a+b+c，故a+b+c≥1－a+1－b+1－c.

評注：此證法借助了基本不等式的推廣與柯西不等式.

證法4：由ab+bc+ca=4abc，得1a+1b+1c=4，由柯西不等式得a+b+c1a+1b+1c≥9，即a+b+c≥94，則a+b+c≥32.構造函數fx=1－x，0

評注：此證法利用函數的凹凸性與琴生不等式，將不等式問題轉化為求函數最值問題.

證法5：由ab+bc+ca=4abc，得1a+1b+1c=4，由柯西不等式得a+b+c1a+1b+1c≥9，即a+b+c≥94，則a+b+c≥32.構造函數fx=1－x，0

評注：此證法利用切線的性質，將不等式問題轉化為求函數最值問題.

證法6：由ab+bc+ca=4abc，得1a+1b+1c=4，要證a+b+c≥1－a+1－b+1－c，即證1≥1－a+1－b+1－ca+b+c，由均值不等式得1－a+1－b+1－ca+b+c=1－aa+b+c+1－ba+b+c

+1－ca+b+c=1－aa·aa+b+c+1－bb·ba+b+c+1－cc·ca+b+c≤121－aa+aa+b+c+

121－bb+ba+b+c+121－cc+ca+b+c=121－aa+aa+b+c+1－bb+ba+b+c+1－cc+ca+b+c=121a+1b+1c－2=12×4－2=1，故a+b+c≥1－a+1－b+1－c.

評注：此證法是從不等式本身進行分析，借助于均值不等式使問題得以證明.

3.試題變式

變式1設a，b，c∈0，1，且ab+bc+ca=4abc，求證：a+2b+3c≥7813（1－a+2－b+3－c）.

變式2設a，b，c∈1，+∞，且3ab+bc+2ca=2abc，求證： a+2b+3c≥12（a－1+2b－1+3c－1）.

變式1與變式2在試題的基礎上改變不等式結構以及題設條件而得到的，證明方法與證法1類似，此處不再敘述.

4.試題推廣

推廣是數學研究中極為重要的手段之一.筆者為了便于推廣的表述，將試題中的已知條件ab+bc+ca=4abc改寫為1a+1b+1c=4來加以研究.

推廣1已知xi∈0，1，i=1，2，···，nn≥2，滿足∑ni=11xi=n+1，求證：∑ni=1xi≥∑ni=11－xi.

推廣2已知xi∈0，1，λi∈1，+∞，i=1，2，···，nn≥2，求證：∑ni=1λixi≥∑ni=1λi－xi∑ni=11xi－∑ni=11λi .

推廣3已知xi∈0，1，λi∈1，+∞，i=1，2，···，nn≥2，求證：∑ni=1λixi≥∑ni=1λi1－xi∑ni=1λixi－∑ni=1λi.

推廣4已知xi∈1，+∞，i=1，2，···，nn≥2，滿足∑ni=11xi=n－1，求證：∑ni=1xi≥∑ni=1xi－1.

推廣5已知xi∈1，+∞，λi∈1，+∞，且λi

推廣6已知xi∈1，+∞，λi∈1，+∞，i=1，2，···，nn≥2，求證：∑ni=1λixi≥∑ni=1λixi－1∑ni=1λi－∑ni=1λixi.

分析：上述推廣是在試題的基礎上改變不等式結構以及題設條件而得到的，下面列舉推廣3和推廣4的證明過程，其它推廣的證明過程不再敘述.

推廣4的證明：要證∑ni=1xi≥∑ni=1xi－1，即證∑ni=1xi－1∑ni=1xi≤1，由均值不等式得∑ni=1xi－1∑ni=1xi=∑ni=1xi－1∑ni=1xi=∑ni=1xi－1xi·xi∑ni=1xi≤∑ni=112xi－1xi+xi∑ni=1xi=12∑ni=11－1xi+xi∑ni=1xi=12n－∑ni=11xi+∑ni=1xi∑ni=1xi=12n－n－1+∑ni=1xi∑ni=1xi=121+1=1，故∑ni=1xi≥∑ni=1xi－1.

推廣，對于數學學習、數學競賽和數學研究有著十分重要的意義.在數學學習中，推廣可以加強觀察、分析、比較、綜合、概括、歸納、類比和發現的能力，拓展不同的解題思路，提升創造性的思維.在數學競賽中，推廣可以激發學習興趣與求知欲，引領新的發現［1］. 在數學研究中，推廣可以產生新問題與新方法，加深自身對問題的認識與理解［1］.

參考文獻

［1］朱華偉，張景中.論推廣［J］.數學通報，2005（04）：55-57+28.