聚焦數量關系 發展推理意識

張淑嫻 鐘立

【摘? ?要】“探索規律”作為小學數學“數量關系”主題的重要內容，是培養學生推理意識的重要途徑。以人教版教材六年級下冊“數學思考：探索規律”的教學為例，在引導學生分析數量關系的過程中，可運用發展學生推理意識的三個步驟提升學生的思維能力。這三個步驟具體為：深入了解學情，確定推理意識培養的起點；經歷有序思考與歸納推理，培養推理意識；實現數量關系的遷移應用，提升推理意識。

【關鍵詞】數量關系；推理意識；探索規律

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）指出：“推理意識有助于養成講道理、有條理的思維習慣，增強交流能力，是形成推理能力的經驗基礎。”2022年版課標特別關注對學生推理意識的培養，并把推理意識列為學生核心素養的主要表現之一。“探索規律”作為小學數學“數量關系”主題的重要內容，不僅有助于學生理解數量關系，解決數學問題，還是培養學生推理意識的重要途徑。因此，教師在教學“探索規律”時，應關注學生推理意識的發展。那么，在“探索規律”的教學中，如何聚焦數量關系，有效發展學生的推理意識呢？本文以人教版教材六年級下冊“數學思考：探索規律”的教學為例，探討如何引導學生在經歷分析數量關系、探索數學規律的過程中，感悟和發展推理意識。

一、深入了解學情，確定推理意識培養的起點

在教學前，教師要重視分析學生的原有知識經驗和認知起點。為了更好地開展“探索規律”的教學，深入了解學情，教師在課前對六年級40名學生（使用人教版教材）進行了前測。題目是：同一平面，5個點最多可以連幾條線段？結果顯示，學生主要采用了以下四種解題方法。

第一種：1+2+3+4=10（條）。

第二種：4+3+2+1=10（條）。

第三種：（5-1） × 5÷2=10（條）。

第四種：C[25]=[5×42×1]=10（條）。

其中，有2名學生采用第一種方法，與教材呈現的方法一致。有27名學生采用第二種方法，這是運用二年級學過的解題經驗解決問題。有4名學生采用第三種方法，有1名學生采用第四種方法。進一步了解得知，采用第三種和第四種方法的學生都是在課外習得方法的。另外還有部分學生沒有得出正確答案。分析學生的解題過程，發現大部分學生都具備利用畫圖和推理等方法解決問題的能力，但也有近一半的學生在解題時存在困難，如找不到切入點、思考無序，或不會利用數量關系進行類比歸納，從而得出規律，等等。

基于上述情況，在“數學思考：探索規律”的教學中，教師應采取有效措施，幫助學生弄清題意，找到解題的切入點；借助學生已有經驗，使其從無序思考走向有序思考；注重對問題中數量關系的分析，在揭示隱含的規律的過程中，使學生形成與提升推理意識，進而培養學生的核心素養。

二、經歷有序思考與歸納推理，培養推理意識

要培養學生的推理意識，必須讓學生親身經歷推理的過程，在分析問題、解決問題的過程中體驗推理、感悟推理、反思推理。基于學生的前測情況，“探索規律”的教學應聚焦于培養學生通過有序思考與類比歸納得出數學規律的能力。

（一）尋找解決問題的切入點，指向有序思考

小學生的思維以直觀形象思維為主，缺乏邏輯性和條理性。因此，他們面臨數學問題時，經常感到迷茫和困惑，難以迅速找到正確的解題思路，可能會隨意猜測或錯誤嘗試，甚至直接選擇放棄。這實際上為培養學生的有序思考和推理意識提供了寶貴的契機。教師可以通過引導學生逐步進行分析和推理，有效促進他們推理意識的發展。

教學時，教師先出示問題：同一平面，100個點最多可以連幾條線段？（如圖1）

起初，多數學生會盲目亂猜。于是，為了引導學生找到解決問題的關鍵，教師提問：你打算如何解決這個問題？學生主要有以下三種思路。

第一種：連線段時應該按照一定的順序畫，否則會非常雜亂。

第二種：當研究的點數較少時，可以通過畫圖驗證，進而推導出數學規律。

第三種：先研究2個點、3個點……尋找其中的規律，再來解決這個問題。

在交流討論的過程中，學生逐漸認識到可以從簡單情況入手，然后逐步過渡到復雜的情況。教師可引導學生先思考少數幾個點連線段的方法。由于連線段至少需要2個點，學生應該先看2個點連線的情況。然后隨著點數逐步增多，得到更多個點連線段的情況。這種解題思路的轉變，驅動學生從無序思考走向有序思考，而有序思考對于提高學生的思維能力具有重要意義。教師應關注學生的思維過程，鼓勵學生積極思考、勇于嘗試，并在他們遇到困難時給予適當的引導和支持，通過培養學生有序思考的習慣，為他們做題乃至未來的學習和生活奠定良好基礎。

（二）突出數量關系分析，感悟推理的條理性

在解決問題的過程中，關鍵環節決定了問題能否順利解決。因此，對這些關鍵環節的把握是解決問題的核心。在“數學思考：探索規律”的教學中，1～4個點連線段的問題對學生來說并不困難（這是二年級的教學內容），但當問題轉變為“5個點最多可以連幾條線段？”時，其復雜性就顯著增加。此外，這一情形下數量關系的分析對于探索一般規律有極大的示范與遷移作用。因此，“5個點最多可以連多少條線段？”的問題就成了探索規律的關鍵。為突出重點、突破難點，教師設計了如下學習單（如圖2）。

出示學習單后，教師先讓學生獨立思考，然后合作交流，并對部分學生進行有針對性的指導。隨后收集學生作品（如圖3），并請學生介紹相應的思考過程。學生的思考過程具體如下。

第一種：從點A出發，與其余4個點B、C、D、E分別相連，得到4條線段AB、AC、AD、AE；接著，從點B出發，與剩余的3個點C、D、E分別相連，得到3條線段BC、BD、BE；然后，從點C出發，與剩余的2個點D、E分別相連，得到2條線段CD、CE；最后，將點D與點E相連，得到1條線段DE。共計10條線段，算式為4+3+2+1=10（條）。

第二種：先連接點a與點b，得到1條線段ab；再增加點c，與前面的點a、點b分別相連，得到2條線段ac、bc；接著增加點d，與前面的點a、點b、點c分別相連，得到3條線段ad、bd、cd；最后增加點e，與前面的點a、點b、點c、點d分別相連，得到4條線段ae、be、ce、de。共計10條線段，算式為1+2+3+4=10（條）。

第三種：從點A出發，與其他4個點分別相連，得到4條線段AB、AC、AD、AE。同理，從點B、點C、點D、點E出發，也能各自得到4條線段。但每兩點之間的線段都被重復計算了一次，實際的線段數量需要除以2。因此，總的線段數量為4×5÷2=10（條）。

接著，教師引導學生討論、比較三種思考過程。第一種思路是學生相對熟悉的計算方法，這個過程實際上是按照從大到小的順序進行的求和。第二種思路則是從最簡單的情況開始，逐步增加點數，最終得到5個點的連線情況，即1～4的所有整數之和。第三種思路則是從每個點出發進行計算，考慮到它可以與其他所有點連線，因而最終需要通過除以2去除重復計算。雖然這三種思路的具體方法不同，但得出的結果卻是一致的。這體現了推理的豐富性與內在的一致性，也展示了邏輯推理的合理性。由此，通過探究5個點最多可以連幾條線段的問題，為探究更一般的數學規律提供了具有借鑒價值的思路。

（三）揭示數量之間的內在關系，體驗類比歸納推理

推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟，體現為能夠通過簡單的類比或歸納，猜想或發現一些初步的結論。在“數學思考：探索規律”的教學中，教師要重視引導學生觀察、比較、分析不同情境下的數量關系，揭示其內在的一致性，并通過類比和歸納，得出更一般的數學規律。這種推理過程不僅能夠加深學生對數量關系的理解，還能培養他們分析問題、解決問題的能力以及抽象思維能力，提高學生的數學素養。

回顧學生初步探索規律的過程可以發現，當面對2個點、3個點、4個點時，大多數學生選擇使用圖式進行表征，并通過數線段條數得到結果。然而，當研究5個點時，學生使用的方法開始分化：一部分學生直接畫出5個點，然后連線并計算線段數；另一部分學生則回顧并反思2、3、4個點連線的線段數，分析每種情況中點數與線段數之間的數量關系，從而猜測或發現5個點可以連的線段數（為了驗證結果，不少學生還會通過實際連線并計算線段數進行確認）。在深入分析5個點連線段的情況后，教師引導學生進一步探究6個點、8個點的連線情況。此時，學生已經不再使用畫圖連線、數線段的方法，而是基于前面的觀察、比較和類推，直接得出線段數分別為6×5÷2=15（條）和8×7÷2=28（條）。通過推理，學生可以歸納出100個點、1000個點、10000個點乃至n個點可以連的線段數（如表1）。

這不僅是對數量的簡單計數，還是一種深入探究數量之間關系的類比歸納推理的過程。此時，學生不再依靠直觀計數，而是運用比較、類比、歸納等方式，從少量點的連線情況中提煉出更多點的連線情況，甚至用代數方法推導出n個點可以連的線段數的通用公式。借助這一形式化的公式，學生通過代入不同的數值，得到在不同點可以連的線段數。學生對這種推理過程的體驗，必將深化其對數量關系的理解與運用，提高其分析問題與解決問題的能力。

三、實現數量關系的遷移應用，提升推理意識

學生在解決了“同一平面，n個點最多可以連幾條線段？”的問題后，感受到推理的魅力與價值，探索數學問題的欲望得到激發。此時，教師應該設計富有啟發性的數學問題，引導學生運用已掌握的方法，探尋新規律，解決新問題，以便深入理解數量關系，提升推理意識。

例如，在學習新課內容后，教師可以出示這樣兩個問題。

1. 有 15 名同學參加羽毛球單打比賽，如果每兩人之間進行一場比賽，一共要比賽幾場？

2. 觀察下圖（如圖4），想一想，依次排下去，第15幅圖有多少顆棋子？第n幅圖呢？

面對這些問題，學生需要思考新問題與已有數量關系之間的聯系，從而發現第1題中的問題與“同一平面，15個點最多可以連幾條線段？”類似，可以借助已學方法解決。同樣，要得出第2題中“第15幅圖或第n幅圖中有多少顆棋子”的結果，也要經歷觀察、分析、類比等過程，從簡單情形中歸納出適用于復雜情形的解決方法。學生運用已有的解決問題的方法獲得推理方法，并將其遷移到新的問題中，通過實驗、計算、類比和歸納得出結論。這種思考新問題、解決新問題的方式與習慣，不僅提高了學生揭示問題中數量關系的能力，還培養了學生的抽象能力、模型意識及推理意識，為他們探索未知世界打開了一扇窗，指明了一條路。

總之，數學抽象的本質是揭示規律，數學推理的本質是研究規律，數學應用的本質是運用規律。“探索規律”作為小學數學的重要內容，是分析數量關系、培養學生推理意識的重要途徑。在“數學思考：探索規律”的教學中，教師要積極采取有效措施，在聚焦數量關系分析，揭示內在聯系，探尋規律及遷移運用規律解決實際問題的過程中，關注學生推理意識的發展，進而提高學生分析問題與解決問題的能力，提升其數學核心素養。

參考文獻：

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（1.浙江省杭州市余杭區五常中心小學2.浙江省杭州市余杭區教育發展研究學院）