對一個假命題教學的思考與探究
——以“全等三角形”為例

◎ 上海外國語大學三亞附屬中學 蘇秀榮

在“全等三角形”教學中，許多教師習慣于從探究滿足三個條件—“三邊、三個角、兩邊一角或兩角一邊分別相等的兩個三角形是否全等”，進而得出基本事實“SSS”“SAS”“ASA”和定理“AAS”，同時得出兩個著名的假命題：“角角角”“邊邊角”。從教材而言，教材就是這樣設計的，在“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”之后，接著安排了“HL”，終止了系列研究；接著就是三角形全等知識的綜合運用，不再考慮滿足“邊邊角”的兩個直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形是否全等，從知識的系統性、完整性來說，學生僅僅探究了一般情況下，滿足兩邊和一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等的情況，他們自然會想到：什么情況下它們全等？僅僅研究了滿足三個條件時兩個三角形是否全等的情形，自然會延伸到滿足四個條件、五個條件的情形。如果探究教學到此戛然而止，學生的數學知識是支離破碎的，認知結構是缺損的。從數學思想方法而言，從一般的“邊邊角”是假命題，到特殊條件下是否是真命題，是一種從一般到特殊的思想方法；從通過作輔助線將銳角三角形、鈍角三角形問題轉化為直角三角形問題，又是一種轉化的思想方法，而在將銳角三角形、鈍角三角形問題轉化為直角三角形問題研究時，還需要分類討論的思想方法。這種探究學習，有助于學生領會這些數學思想方法的價值和作用，有利于探究思維能力的發展。

一、問題留白，為培養學生批判質疑的思維品質留下空間

師：我們都知道，“邊邊角”一般情況下是假命題，據此，你能提出一個有研究價值的問題嗎？

生：“邊邊角”什么情況下是真命題？

師：這的確是一個值得研究的問題。回頭看我們當初列舉的反例，如圖1，△ABC是一個鈍角三角形，△BAD是一個銳角三角形，雖然滿足“邊邊角”，但它們卻不全等。由此，你又能提出一個怎樣的問題？

圖1

生：滿足“兩邊及一邊的對角對應相等”的兩個銳角三角形全等嗎？兩個鈍角三角形全等嗎？

教師首先要明確哪里需要留白，如何讓問題有效留白。其次，教師在提出問題時，要引領學生的提問，為學生提出有研究價值的問題埋下伏筆。“探究過程中的批判性思維是提升探究質量的必要條件與保障”，而提出問題恰恰是學生經歷審視與質疑，比較、分析與評估，綜合與判斷的結果，是批判性思維的起點，教師的留白無疑催化了學生的批判質疑。

二、數學思想，為培養學生勇于探究的頑強意志提供“利器”

“工欲善其事，必先利其器。”數學思想方法是解決數學問題的“利器”。為何要轉化？如何實現轉化？這仍然需要教師的啟迪與鋪墊。

學生先獨立思考，再小組交流，最后派代表發言。他們發現本題需要分類研究。分兩種情況：已知兩條直角邊與一邊的對角對應相等；斜邊、一條直角邊與一邊的對角對應相等。前一種情況，可以利用“SAS”“ASA”或“AAS”證明兩個三角形全等；后一種情況，可以利用“HL”或“AAS” 證明兩個三角形全等，總之，滿足“邊邊角”的兩個直角三角形全等。

師：將一般問題特殊化的目的，一是看特殊情況下是否成立，如果特殊情況下不成立，那么一般情況下肯定不成立；二是若特殊情況下成立，我們就可以從中獲得研究問題的方法和策略，進而將一般三角形問題轉化為直角三角形問題研究。我們先研究滿足“兩邊及一邊的對角對應相等的兩個銳角三角形是否全等”。

師：你認為接下去應該怎樣研究？

學生經過嘗試、深思、交流，最后得到本題無需分類，不妨假設AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′，通過作BC、B′C′上的高將其轉化為直角三角形問題，如圖2。

圖2

方法一：先利用“AAS”證明△ABD≌△A′B′D′，得到AD=A′D′，再利用“HL”證明Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，得到∠C=∠C′，最后根據“AAS”證明△ABC≌△A′B′C′。

方法二：先利用“AAS”證明△ABD≌△A′B′D′，得 到AD=A′D′，BD=B′D′，再 利 用“HL”證 明Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，得到DC=D′C′，所以，BC=B′C′，最后根據“SAS”或“SSS”證明△ABC≌△A′B′C′。

方法三：先利用“AAS”證明△ABD≌△A′B′D′，得 到AD=A′D′，∠BAD=∠B′A′D′，再 利 用“HL”證 明Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，得 到 ∠DAC=∠D′A′C′，從而∠BAC=∠B′A′C′，最 后 根 據“ASA”或“AAS”證 明△ABC≌△A′B′C′。

①④習近平：《決勝全面建成小康社會奪取新時代中國特色社會主義偉大勝利》，人民出版社，2017年，第61、65—66頁。②⑤⑥《中國共產黨黨務公開條例(試行)》，人民出版社，2017年，第1、9—10、3頁。③《十八大以來重要文獻選編》(上)，中央文獻出版社，2014年，第23頁。

乘勝追擊，接著提出：“兩邊及一邊的對角對應相等的兩個鈍角三角形全等嗎？”

經過思考，學生發現：本題需要分類探究。可分為三種情況：①已知最大邊、最大角與另一邊對應相等；②已知最大邊、另一邊及這條邊的對角對應相等；③已知較小的兩條邊及其中一邊的對角對應相等。

已知鈍角三角形△ABC與△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′，那么鈍角三角形△ABC與△A′B′C′全等嗎？

學生嘗試了三種不同的作三角形高的方法：①如圖3，作AC、A′C′上的高BD、B′D′；②如圖4，作AB、A′B′上的高CD、C′D′；③如圖5，作BC、B′C′上的高AD、A′D′，發現只有作BC、B′C′上的高AD、A′D′才能證明△ABC與△A′B′C′。

圖3

圖4

圖5

通過上述問題解決的過程，學生得到了一條寶貴的經驗：只要作第三邊上的高就行了，接著，學生在圖5中，作出了BC、B′C′上的高AD、A′D′；在圖6中，作出了AB、A′B′上的高CD、C′D′。

圖6

總之，無論哪一種情況都能證明兩個鈍角三角形全等，由此，學生會得到：兩邊和一邊的對角對應相等的兩個鈍角三角形全等。到此，教師繼續提出：（1）根據剛才的研究，滿足什么條件的“邊邊角”是真命題？（2）在將銳角三角形和鈍角三角形通過作三角形一邊上的高轉化為直角三角形的過程中，輔助線作法有何共同特點？

這種反思性提問，有助于學生建立完整的認知結構，在更高的視域上建立知識間的聯系，體會到了學習數學的樂趣。

三、鏈接中考，為培養學生理性思考的科學精神奠定基礎

理性思維的重點是崇尚真知，追求真理。不唯書，不唯上，以敢于質疑的求是精神看待一切；尊重事實和證據，有嚴謹的治學態度；邏輯清晰嚴謹，能運用科學的思維方式認識事物、解決問題、指導行為，辯證地看待一切，具有辯證唯物主義視角。

師：下列兩道中考題有正確答案嗎？

①（2015·海南）如圖7，下列條件中，不能證明△ABC ≌△DCB的是（ ）

圖7

A.AB=DC，AC=DB B.AB=DC，∠ABC=∠DCB

C.BO=CO，∠A=∠D D.AB=DC，∠A=∠D

②（2016·金華）如圖8，已知∠ABC=∠BAD，添加下列條件還不能判定△ABC ≌△BAD的是（ )

圖8

A.AC=DB B.∠CAB=∠DBA

C.∠C=∠D D.BC=AD

經過思考，學生認為這兩題都沒有正確答案，因為，“如圖6”本身說明了圖中要證明的兩個三角形都是銳角三角形，即使在滿足“邊邊角”的情況下，兩個銳角三角形仍然全等。

這種問題設計有助于培養學生不畏權威的探究意識，獨立思考的批判精神，求真務實的科學態度，理性思考的科學精神。

總之，在數學教學中，教師應該有寬闊的教育視野，博大的人文胸襟，應該著眼于學生未來的發展與社會需要，立足于核心素養的培養，因為數學核心素養是“求木之長者”之“根本”，“欲流之遠者”之“泉源”。