善于建立數學模型，提升數學建模素養

◎ 海南省陵水黎族自治縣陵水中學 趙李三

高中學生學過的函數、數列、不等式、解三角形等內容與實際問題有著密切聯系，建立數學模型能有效解決與此相關的實際問題。在實際的問題情境中，教師要引導學生從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數、計算求解、檢驗結果、改進建模，最終解決實際問題。下面結合筆者自身的教學實踐，談談如何建立函數、數列、不等式、解三角形模型，發展提升數學建模素養。

一、建立函數模型，提升學生數學建模素養

1.根據已知數據，建立函數模型，解決實際問題，提升學生數學建模素養

函數應用的教學，要充分發揮好教科書的例題與習題作用，讓學生參與函數建模，尤其是已知數據的問題，要引導學生對已知數據進行分析，抓住數量關系與等量關系，注意常量、變量，注意問題中量與量之間變化的基本特征及變化規律，恰當選擇所學的函數模型來表達，建立函數模型，活用函數知識解題，提升學生數學建模素養。

問題1：某桶裝水店，進價是10元兩桶水，每天工作人員工資等固定成本是200元，經營情況如下表1。此店每桶水定價多少元時才能獲得最大利潤？

表1 某桶裝水店經營情況

學生建模：根據以上表格已知數據發現什么問題，要求獲利最大值，應用哪些知識，需要知道哪些量，注意成本有哪些量，注意數量關系：總價、單價、數量之間的關系；特別是從表中發現問題：單價的變化與銷售量的變化存在著一定的規律，抓住數據中的單價變化引起銷售量的減少。注意到減少量特征：銷售單價每增加1元，日均銷售量就減少40桶，明確解題思路，列出函數解析式，體會建模的過程，知道解題關鍵所在，化實際問題為函數問題，寫出二次函數解析式進行計算，說明問題。建模：設在進價基礎上增加x元后，日銷售利潤為y元，依題意得y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200，0＜x＜13,當x=6.5時，y有最大值，銷售單價定為11.5元，可獲得最大的利潤。

學生參與了根據已知數據建立函數模型的過程，活用函數知識解題，提升學生數學建模素養。

問題2：假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇,方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番。請問你會選擇哪一種投資方案？

學生建模：先建立三種投資方案所對應的函數模型，再通過比較它們的增長情況，選擇投資方案。設第x(x∈N*)天所得回報是y元，方案一：y=40；方案二：y=10x；方案三：y=0.4×2x-1,對三種方案進行描述，要對三個模型的增長情況進行分析，得出投資1 ～6天，應選擇方案一；投資7天，應選擇方案一或方案二；投資8 ～10天，應選擇方案二；投資11天（含11天）以上，應選擇方案三。學生體會不同函數增長模型，增長變化存在很大差異。

2.收集數據，建立函數模型，解決實際問題，提升學生數學建模素養

生活中有一些實際問題需要留心觀察、收集數據，發現和提出問題。在沒有現成數據可用的時候，適當讓學生觀察現實情景問題，先收集并處理數據，對數據加以分析，根據已得到的數據轉化為數學中的實數對點并按描點法畫出散點圖，結合散點圖特征，直觀地分析數據中各組實數對點的變化規律，恰當選擇函數類型建立模型，求解得函數模型，最后解決問題。學生收集數據，建立函數模型，有效地提升學生的數學建模素養。

問題3：某學習小組同學為了解某沿海地區中學男生的身高（cm）與體重（平均值kg）情況，但沒有現成數據，該小組的同學經過同有關單位人員了解，收集數據如表2。

表2 某沿海地區中學男生身高與體重情況

由表2能否發現某中學男生的身高與體重（平均值）有著一定的規律？能否建立恰當的函數模型說明此地區中學男生平均體重與身高度的函數關系？能否預測該地區身高175cm的中學男生的體重？

學生建模：以身高為橫坐標，體重為縱坐標建立直角坐標系，以表中數據的實數對點描點畫出散點圖，由散點圖恰當選擇y=abx+c來刻畫某沿海地區中學男生的體重與身高關系的函數模型。學生取三組數據（100，15）（120,20）（160,47.2）分別代入y=abx+c，算得a，b，c近似求得函數為y=2×1.02x，學生把表中已知數據代入函數解析式或作函數圖像發現，這個函數模型能近似說明此地區中學男生平均體重與身高度的函數關系。當身高為175cm，即x=175時，y=2×1.02175，得y≈63.9，可以預測該地區身高175cm的中學男生的體重為63.9kg。

問題4：某學習小組的同學為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，但沒有現成的數據可用，該小組的同學在A熱飲店進行觀察且經店主同意收集經營臺賬如表3。

表3 A 熱飲店經營臺賬

由表3數據能否建立熱飲杯數隨氣溫變化的函數模型？能否為店主預測某天氣溫20°C賣出的熱飲杯數？

學生建模：首先將收集到的數據進行分析，發現熱飲杯數是氣溫的函數，但沒有現成的函數模型，利用學習過的函數圖像，采用描點方法來研究熱飲杯數與氣溫這兩個量的變化規律，以氣溫為橫坐標，熱飲食杯數為縱坐標建立直角坐標系，畫出散點圖，結合散點圖，直觀分析表3數據的變化規律，選擇所學過的函數類型。從散點圖中看出：氣溫與熱飲杯數之間的關系是氣溫越高，賣出的熱飲杯數越少，這些點大致在一條直線的附近，于是可以近似地選擇一次函數來刻畫熱飲杯數與氣溫之間的變化規律，需要寫出一次函數，利用一次函數求法，學生求得：y=-2.4x+147。然后再用多組數據代入檢驗模型，發現這個一次函數模型與實際數據基本吻合，這說明該函數比較好地反映熱飲杯數隨氣溫的變化規律。將x=20代入y=-2.4x+147，得出y=99，預測這天賣出的熱飲99杯。

學生收集數據，參與建模活動，通過畫出散點圖，分析散點圖，恰當選擇所學的函數類型，并按該類型的函數解析式求法求得函數，建立函數模型，有效地提升學生數學建模素養。

二、建立數列模型，提升學生的數學建模素養

數列在實際生活中有很多應用，人們在貸款、儲蓄、購房、購物等經濟生活中就大量用到數列知識。等差數列與等比數列在日常生活中有著廣泛的應用，為此，通過實際問題的例題與練習題引導學生分析、建立等差數列模型或等比數列模型，解決實際問題，提升學生的數學建模素養。

問題5（習題）：某家庭打算在2010年的年底花40萬元購一套商品房，為此，計劃從2004年初開始，每年年初存入一筆購房專用存款，使這筆款到2010年底連本帶息共有40萬元，如果每年的存款數額相同。依年利息2%并按復利計算，問每年應該存入多少錢？

學生建模：設每年應存入x萬元，根據題意，得x(1+2%)7+x(1+2%)6+…+x(1+2%)=40，根據等比數列前n項和公式，得,解得x≈52750（元）。

學生探究發現購房問題中的數學：某居民家庭經濟每月總收入3000元，現有存款6萬元，但必須留2萬元至3萬元以備急用。預選買房方案：方案1，買商品房：一套面積為80m2的住宅，每平方米售價1500元。方案2，買二手房：一套面積為110m2的二手房，售價為14.2萬元，要求首付4萬元。讓學生應用學過的數列知識來解決最佳選擇方案。適當啟發：建議這個居民采用方案1。學生通過解決此問題，體會等差數列知識的應用價值，同時讓學生練習運用等比數列知識解決實際問題，體會等比數列知識的應用價值，提升學生的數學建模素養。

三、建立不等式模型，提升學生的數學建模素養

運用不等式知識解決一些簡單的實際問題，讓學生認識一元二次不等式在現實世界的廣泛應用，體會不等式建模，感受數學的應用價值，提升學生的數學建模素養。

問題6：某校園內有一塊長為800m,寬為600m的長方形地面，現要對該地進行綠化，規劃四周種花卉中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍。

學生建模：設花卉帶的寬度為xm，表示出草坪與總面積的不等關系：，轉化為解一元二次不等式問題求解，注意實際問題中條件的限制,解得0＜x≤100。通過實際問題的建模活動，提升學生的數學建模素養。

四、建立解三角形模型，提升學生的數學建模素養

正弦定理與余弦定理在實際測量中有許多應用，如測量距離、高度、角度等問題，讓學生解決解三角形實際問題，體會建立解三角形模型，運用正弦定理與余弦定理解題，提升數學建模素養。

問題7：如圖1，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量A、B兩點間距離的方法。

圖1

學生建模：可以計算出河的這一岸的一點C到對岸兩點的距離，測出∠BCA大小，借助余弦定理可以計算出A、B兩點距離。測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點分別測得∠BCA=α，∠ACD=β,∠CDB=γ，∠BDA=δ。在△ADC和△BDC中，應用正弦定理得

計算出AC和BC后，再在△ABC中，應用余弦定理計算出AB兩點間的距離：

總之，在高中數學教學中應注重讓學生在建模中學會分析問題與解決問題，體會數學建模的過程與方法，應用數學知識解決實際問題，提升學生的數學建模素養。