數形結合思想應用于初中數學解題中的相關思考

周敏

【摘要】數形結合思想是指將數學問題與圖形相結合，通過圖形的特點和性質來解決數學問題的思維方式.本文旨在探討深度學習視角下數形結合思想在初中數學解題中的應用.首先介紹了數形結合思想的定義和特點，并強調其在數學解題中的優勢和作用.然后在一個具體例題中詳細講解了如何運用數形結合思想進行解題.接著對比了傳統解題方法和數形結合思想的差異和優劣點.進一步設計了一組相關習題，并分析了學生在解題過程中的表現和策略，以及數形結合思想對解題的優勢和幫助.通過研究發現，數形結合思想能夠提高學生的空間思維能力、知識的綜合運用能力，培養他們的圖形觀察和推理能力，有助于加深對數學問題的理解和應用.

【關鍵詞】數形結合思想；初中數學；深度學習

數形結合思想是一種將數學與圖形相結合的解題方法，通過運用圖形的特點和性質來解決數學問題.在初中數學教學中，數形結合思想被認為是培養學生空間思維能力、提高解題技巧的重要策略.然而，目前對于深度學習視角下數形結合思想在初中數學解題中的應用仍缺乏系統性的研究.

1 數形結合思想在初中數學解題中的應用

1.1 數形結合思想的定義和特點

數形結合思想是初中數學非常重要的一種解題方法，是通過將數學問題與圖形相結合，利用圖形的特點和性質來解決數學問題的一種思維方式.其核心思想是通過將抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，通過觀察和分析圖形，根據問題的特點，將代數問題借助于圖形解決，或者將幾何圖形中的關系量化轉化成代數關系，再根據圖形的形狀、特點、位置、數量、關系等特征，將數學問題轉化為圖形的屬性或將幾何屬性轉化為代數運算，從而達到以形助數，以數解形的作用，進而達到使抽象的問題具體化，復雜的問題簡單化，更易于理解、解決數學問題的目的［1］.

數形結合思想具有以下特點：一是綜合性.數形結合思想能夠將數學的不同內容融合在一起，通過幾何圖形的視覺化表達，幫助學生理解和應用數學知識.二是直觀性.圖形是直觀可見的，通過觀察圖形可以直接感知到其形狀、大小以及相互關系，有助于學生對數學問題的理解和思考，把抽象的問題具體化.三是模型化.數形結合思想將數學問題抽象成幾何模型，通過數學模型的建立和分析，可以更清晰地展示數學問題的本質和解題方法，提高學生的數學應用能力.四是思維的靈活性.通過數形結合，學生可以從不同角度考慮問題，既可以從數學概念出發，也可以從圖形出發，從而更全面地理解問題.

1.2 數形結合思想在數學解題中的優勢和作用

數形結合思想在初中數學解題中具有以下優勢和作用.一是激發興趣.數形結合思想通過以圖形為媒介，能夠使抽象的數學問題更具有形象性，激發學生的學習興趣和好奇心.學生可以通過觀察、分析和推理，將抽象的數學概念和問題轉化為直觀且可視化的形式，使學習變得更加生動有趣.二是提高空間思維和想象能力.數形結合思想要求學生從圖形的角度去考慮問題，培養了學生的空間思維能力和幾何直觀感知能力.通過觀察和操作圖形，學生可以培養對幾何形狀、屬性和關系的敏感性，提升他們在處理空間問題時的思維靈活性和幾何直覺.三是增強問題解決能力.數形結合思想通過將數學問題轉化為圖形進行分析和推理，能夠鍛煉學生解決問題的能力和邏輯思維能力.學生需要觀察圖形的特點、關系和規律，并運用數學知識進行分析和解決問題.這種思維方式培養了學生的邏輯推理能力、創造性思維能力和靈活思維能力，使他們能夠更有效地解決數學問題［2］.四是深入理解數學知識，提高解題效率.數形結合思想能夠幫助學生從圖形的視角去理解數學知識，或者從數的方面去解釋圖形，促進學生對數學知識的深入理解和應用.通過觀察圖形的特點和關系，學生可以感受到數學的運用和意義，提高對數學原理和規律的把握和理解程度.

2 數形結合思想在初中數學中的實踐

2.1 數形結合思想在幾何中的運用

例1 如圖1所示，在正△ABC中，邊AB、BC、CA分別有點D、E、F，且滿足DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，求點D在AB上的位置.

解析 根據題目給出的條件，我們要求點D在邊AB上的位置.這里涉及線段關系，需要運用數形結合思想來解題.

先假設符合條件的點D、E、F已經作出，再利用已知條件，尋找線段與線段之間的數量關系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解.

解 設AB=1，AD=x.

由于△ABC為正三角形，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，根據直角三角形，30°角所對直角邊等于斜邊一半的定理，我們可以得到以下數量關系：

AF=2x，CF=1－2x，CE=2CF=2－4x，BE=1－CE=4x－1，BD=2BE=8x－2，

而AD+BD=AB，即x+（8x－2）=1.解這個方程可以得到x=13，即點D位于AB邊上的13分點處.

通過解這個方程，我們可以得到AD的值，并進一步計算出BD的長度，最終確定點D位于AB邊上的具體位置.

小結 通過該例題的講解，我們可以看到數形結合思想的應用在解決復雜問題時具有很大的幫助.通過將幾何圖形和數量關系相結合，我們能夠更清晰地理解題目的條件和要求，從而運用適當的推導和計算方法來解決問題.在初中數學教材中，通過類似的例題和練習題，可以幫助學生深入理解數形結合思想的應用，以數解形，并提高他們的解題能力和空間思維能力.在解決幾何問題時，通過將幾何中的形的關系轉化為數的關系，可以更加直觀地理解和解決問題.

2.2 數形結合思想在解決代數問題中的應用

在很多代數問題中，比如一些含有字母的絕對值的運算，公式的恒等變形，不等式的解的問題，圖形與坐標，函數與方程組，函數與不等式等函數問題，我們經常會利用數軸、幾何圖形、圖像等與數或點的坐標相結合來解決數學問題，從而形成數形結合思想.通過圖形或者圖像，我們可以直觀地看到數的變化趨勢、數的性質以及不等式的解集等，從而通過數形結合思想解決此類問題.

例2 文具店、書店、服裝店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店的西邊30m處，服裝店在書店的東邊80m處，小明從書店出來沿街先向西走了20m，接著又向東走了100m（見圖2），則小明此時的位置在（? ）

（A）文具店處? （B）書店東100m處

（C）服裝店處 ?（D）文具店東100m處

解析 將這條東西走向的大街視為數軸，以書店作為原點，并規定正東方向為正方向.每單位長度表示10m.根據題目描述，文具店位于書店西邊30m處，服裝店位于書店東邊80m處.我們可以根據這些信息在數軸上標出文具店和服裝店的位置.根據小明從書店起始位置開始，先向西走了20m，再向東走了100m的過程，我們可以在數軸上找到小明此時的位置.由于小明從書店（起點）向西走了20m，所以他現在的位置應該是書店的位置減去20m.由于小明又向東走了100m，所以他的位置應該在書店向西走了20m的位置加上100m.將書店的位置設為原點，并根據數軸上的正、負和單位長度代表的距離來表示文具店和服裝店的位置.根據計算，文具店的位置可以表示為-30，服裝店的位置可以表示為+80，小明此時的位置可以用+80來表示，因此根據數形結合思想對數軸上的位置關系進行分析，可以確定小明此時的位置在服裝店處，故選C.

小結 在給出的習題中，通過畫數軸將文具店、書店和服裝店的位置表示出來，將問題轉化為數軸上點的位置關系.通過數形結合思想，將實際情境轉化為數軸上的點的位置，學生通過圖形的展示和數學模型的建立，更容易理解問題和進行推理.在這個習題中，學生可以通過觀察數軸上的位置關系和加減運算的規律，確定小明此時的位置在服裝店處.數形結合思想的應用使得抽象的數學問題具有更直觀的形象性，激發學生對數學問題的興趣和主動思考能力.通過解題過程，學生不僅掌握了具體問題的解法，還培養了幾何形象思維和數學建模能力，提升了數學問題的解決能力和數學思維水平［3］.

因此，數形結合思想在解決很多代數問題，比如代數中不等式求解問題，函數增減性，交點，最值，大小比較，圖形與坐標等問題，以及一些公式的證明問題中運用非常廣泛，直觀地幫助學生從形的角度解決了數的問題，幫助我們更好地理解代數問題的本質，提供了一種簡便的解題方法.將抽象的數學問題和直觀的圖形結合起來，使我們更好地理解和解決數學問題.

2.3 對比使用傳統解題方法和數形結合思想的差異和優劣點

傳統解題方法和數形結合思想在初中數學解題中，存在著一些差異和各自的優劣點.

傳統解題方法主要依賴于代數運算和符號表示，強調邏輯推理和符號運算的過程.通過列方程、列不等式、化簡、代數計算等步驟來解決數學問題.該方法在一些抽象的運算與計算題目中具有一定優勢，更加側重于數學公式和規則的運用.然而，在幾何圖形的分析證明和應用問題中可能略顯不足，較難從直觀角度入手進行解題.

與傳統解題方法相比，數形結合思想更加注重圖形的觀察和分析，將問題轉化為圖形的特征和關系進行推導和求解.通過圖形的直觀表達，能夠激發學生的空間思維能力和直觀感知能力.數形結合思想在許多問題中具有較大優勢，能夠提供更多的直觀解釋和啟示.數形結合思想能夠更清晰地展現幾何的性質、關系、規律，使得問題的解答更加直觀、具體和易于理解.然而，數形結合思想也存在一些局限性.對于一些復雜的數學問題，可能需要較高的空間直觀能力和幾何推理能力才能運用數形結合思想進行解題.

3 數形結合思想在習題中的應用與效果

3.1 設計一組相關習題，要求學生運用數形結合思想解題

這組習題的設計旨在培養學生將數學問題與幾何圖形相結合的能力，并通過具體的例題來引導學生運用數形結合思想解題.通過反復練習和實踐，學生能夠逐漸掌握數形結合思想的應用技巧，提高解題的準確性和效率.

例3 在平面直角坐標系中，已知A（2，3），B（-1，3），C（0，5），若△CAB與△DBA全等（見圖3），求點D的坐標.

解析 此題需要根據題意建立適當的平面直角坐標系，在平面直角坐標系中描出點A，點B，點C，并連接AB，AC，BC，得到△ABC，再根據三角形全等的判定定理——邊邊邊定理，在坐標系中畫出與之全等的圖形，因為AB邊確定，根據全等三角形對應邊高相等，可以得到與△CAB全等的△DAB有三個，進而求出點D的坐標有三個.

小結 數形結合思想在習題中的應用，能夠幫助學生更直觀地理解數學問題，并利用幾何圖形的特征和關系進行推導和計算.通過設計相關習題，要求學生運用數形結合思想解決問題，可以鍛煉他們的觀察和推理能力，提高解題的整體水平.另外，借助于圖形與坐標，函數圖象等解決數學問題，可以更直觀地展示函數的性質和變化規律，便于學生理解和掌握.因此，教師在教學中應適時引入能夠運用數形結合思想的習題，激發學生的學習興趣，并有效培養他們運用代數知識與幾何知識的綜合思維能力.

3.2 學生習題表現和解題策略

學生在習題表現和解題策略上的差異是個體之間的正常現象.有些學生可能能夠迅速理解和解決數形結合問題，準確地應用數學知識和幾何規律.另一些學生可能需要更多時間和練習，以提升他們的數形結合能力和解題技巧.還有一些學生可能遇到困難，難以將數學概念和幾何形狀相結合，解釋和應用數學規律.

有些學生可能善于使用圖形分析和推理，通過觀察幾何形狀的特征和關系來解決問題.另一些學生可能更傾向于代數思維，將幾何問題轉化為代數方程或表達式進行求解.還有一些學生可能采用試錯法或反復嘗試不同方法，以找到正確的解決途徑.教師在教學中應關注學生的習題表現和解題策略，以便更好地指導和支持學生.這可以通過觀察學生的作業、與學生的交流或小組討論等方式來了解學生的習題表現和解題思路.針對學生的差異性，教師可以根據學生的需求進行個別輔導和指導，提供適當的教學資源和策略，以幫助學生更好地理解和應用數形結合的知識和技巧.

3.3 數形結合思想在解題過程中的優勢和幫助

數形結合思想在解題過程中具有許多優勢和幫助.第一，可視化問題解決.數形結合思想能夠幫助學生將抽象的數學概念與具體的圖形相聯系，使問題更加可視化.通過可視化，學生能夠更直觀地觀察、分析和理解問題，從而提高解題的準確性和效率.第二，創造性思維培養.數形結合思想鼓勵學生發展創造性思維，從不同角度思考問題，并嘗試找到不同的解決方法.學生可以嘗試各種組合、變換和創新，以通過自己的探索來解決問題.第三，綜合能力提升.數形結合思想讓學生綜合運用數學知識，使代數知識與幾何知識融會貫通，從而提升他們的綜合解題能力.學生需要將數學知識轉化為幾何圖形或圖像，然后利用這些圖形或圖像來進行分析、推理和解答問題.第四，規律發現和應用.通過數形結合思想，學生能夠更容易地發現數學問題中的規律和關系，并將其應用到其他類似的情境中.例如，通過觀察幾何圖形的對稱性、比例關系或角度關系，學生可以推斷出數學規律，然后將這些規律應用到其他幾何問題中.第五，擴展解題思路.數形結合思想能夠幫助學生擴展他們的解題思路.它能夠鼓勵學生嘗試不同的方法和策略，以求得更全面和深入的解決方案.通過數形結合，學生可以突破傳統的解題思維模式，從多個角度思考問題，找到更多的解決途徑.

4 結語

綜上所述，通過深度學習視角下數形結合思想在初中數學解題中的應用研究，我們可以得出以下結論：數形結合思想是一種有效的解題方法，能夠幫助學生提升空間思維能力和解題技巧.在初中數學教材中實踐數形結合思想可以豐富教學內容，提高學生的學習興趣和理解能力.數形結合思想在解題過程中能夠促進學生對數學知識的深入理解，并培養他們的觀察和推理能力.然而，在實踐中仍需注意教學方法的靈活運用和個性化教學的重要性.未來研究可以進一步探索數形結合思想在其他數學領域中的應用，并結合創新教育技術共同推動數學教學的發展.

參考文獻：

［1］香欽源.數形結合思想在初中數學解題中的應用［J］.數理天地：初中版，2023（17）：20-21.

［2］崔文東.數形結合思想在初中數學解題中的應用研究［J］.數理天地：初中版，2023（13）：33-34.

［3］周建榮.數形結合在初中數學教學中的運用［J］.信息周刊，2022（5）：55-57.