如何提高理論力學的教學質量和學習興趣

張世勛，賴永星

(鄭州大學力學與工程科學學院，鄭州450001)

理論力學是高等工科院校重要的技術基礎課程之一，它是許多后繼課程如材料力學、結構力學、機械原理的基礎，同時對提高學生分析問題、解決問題的能力會有極大幫助。理論力學課程本應該是一門能夠激發學生學習興趣的課程，但以筆者多年的理論力學課程教學實踐，發現學生在理論力學的學習過程中，普遍缺乏學習興趣，主要原因是理論力學的靜力學，一學就會，不用理論力學方法也能完成，但遇到復雜的問題往往又做不好，這樣就慢慢降低了學生的學習興趣。如何把物理學與理論力學有機連接起來，把思維方式轉換到適應理論力學的學習中，找到科學的興趣點，是理論力學教師應當注意的問題。筆者根據多年的教學實踐，在分析探討該學科規律的基礎上，提出以下幾點看法。

1．理論力學相對物理中的力學是分析層次的提高

理論力學是大學物理的后續課程，于是很多同學就沿用物理學中的思維方法求解，既不規范又不嚴謹。因此學生普遍反映理論好懂、習題難做、考關難過。筆者認為，教師應當向學生講明雖然物理學中的力學部分與理論力學中的內容有不少相近之處，但并不是簡單的重復，而是分析層次提高了。即使對一些簡單的問題，也應嚴格規范按照理論力學的求解方法求解。通過下面兩個簡單的例子，可以很好地解決學生對理論力學不正確的看法。

一群和尚一堆瓜，分不平均要打架，分一個少一個，分半個多半個。問多少和尚多少瓜。這道題對于中學生是一簡單的代數題，而對于小學生卻是一道難題。中學生之所以能夠簡單完成，是因為將和尚和瓜作為未知量看待，采用列方程的方法求解。

接著再舉一如圖1所示簡單的力學例子。根據教學經驗大部分學生都采用力的分解法求解繩子的受力，雖然也能夠算出繩子的受力，但這種方法應用起來對復雜問題并不方便，甚至難以求解;而理論力學是將繩子的受力作為未知量，采用列平衡方程的簡潔規范的計算方法。明確向學生指出采用物理中力學的求解方法不是我們理論力學的方法，這兩種方法如同分瓜問題一個是用算術的方法，一個是用代數的方法。

圖1

通過上面兩個簡單的例子，不但能夠很好地解決學生對理論力學不正確的看法，而且也能夠使學生按照理論力學嚴格規范的方法求解力學問題，從而慢慢地過度到復雜力學問題。

2．引導學生把握理論力學問題演變的規律

隨著課程的深入，問題的復雜化，學生普遍反映習題難做，有些問題甚至難以著手，慢慢就會失去學習的興趣。如果教師在教學的過程中，能夠引導學生把握理論力學問題演變的規律，把深奧的理論講得明白易懂，那么復雜的問題就會變得簡單化。該學科中的許多問題，表面上看是不同的問題，其實遵循的卻是同樣的力學原理;不同的力學量的運算，遵循的也是同樣的數學法則。如果學生能明白了這些，也就真正地學進去了，對這門課的興趣也會自然形成。這樣的例子在理論力學中可以找到很多。

靜力學中很多看起來復雜問題都可看成由簡單問題組合而成。比較圖2所示的問題，可看成由一個附加在懸臂梁結構上的三鉸結構組合而成。懸臂梁結構和三鉸結構都屬于基本的問題，如此，學生們求解起來就不會覺得復雜，好像在求兩個基本的問題一樣。

圖2

運動學中點合成運動部分動點動系的選取是學生們普遍感到最為困難的問題。告訴學生為了方便求解關鍵是動點的相對運動軌跡易于確定。遵循動點在運動過程中始終是兩個運動部件的接觸點的選取原則［1］，就能確保動點的相對運動軌跡易于確定，從而使問題易于求解。除個別的問題例外，大部分習題都遵循這一原則。

動力學是研究作用于物體上的力與物體機械運動之間的關系，不僅與剛體的受力和剛體的運動形式有關，而且與剛體的質量分布有關。因此，如果能將為剛體平動、定軸轉動、平面運動間及結構形式相互變換［2］，將會使問題求解大大簡化。如圖3所示為一剛體和質點組成的動力學系統，物體上刻有光滑圓槽并置于光滑水平面上，B為一質點。若圖3(b)中有關的幾何和質量參數與圖3(a)相同，并不計桿OB的質量，則兩個系統是完全等價的力學系統，其中滑塊與物體A的運動規律相同。進一步地，還可演變為圖3(c)所示的系統。

圖3

再比如第三屆全國周培源大學生力學競賽理論力學題，如能掌握質量分布，運動形式的轉化，將會使一復雜問題轉化為一教科書中的普通習題。如圖4(a)所示，已知薄方盤上有一半徑為R的光滑圓槽，方盤的質量為M，質心在圓心O點處，對O的回轉半徑為ρ，在圓槽內有一質量為m的小球B，該系統初始時刻靜止地放在光滑的水平面上，給小球一沿圓周切線方向的沖擊，使小球突然有一沿圓周切線方向的初速度v0，試求此后系統的運動。［2］

根據已知條件，可知如圖4中所示薄方盤作平動，因而可用一位于其質心并具有相同質量的質點來代替，注意到在運動過程中O，B兩點的距離始終保持為R，故可用一不計質量的剛桿連接，于是，圖4(a)等價演變為圖4(b)，圖中黑點大小不同表示質量不同，而圖4(b)是教科書中的普通習題。

3．結合歷史的發展和存在的問題進行講述

在理論力學的教學中，如能結合歷史的發展和個別章節存在的問題進行講述，就能增加學生對本課程的學習興趣，又能鍛煉學生的邏輯思維和解決問題的能力，以及對科學問題的興趣。

圖4

如虛位移原理教學中存在如下兩類問題:(1)關于虛位移原理充分性的證明并不成立，主要是充分性證明存在邏輯問題［3，4］及證明方法本身具有缺陷造成的［5］;(2)在理論力學中存在主動力在任何虛位移上的元功之和為零(∑fIδri=0)系統不平衡的充分條反例［6，7］，如剛體定軸轉動，光滑圓環上不受主動力作用或主動力沿半徑方向的質點運動。在教學中如何面對上面提出的問題，我們認為還應當注意以下幾點:

(1)不能回避有關虛位移原理提出的問題，否則部分用功好學的學生，一旦發現反例，容易造成誤解。

(2)在教學中，可將有關虛位移原理提出的問題作為一個互動問題向學生提出。讓學生主動發現或引導學生發現在虛位移原理充分性證明存在的漏洞和反例，可以鍛煉學生的邏輯思維和解決問題的能力及對科研問題的興趣。

(3)要向學生明確指出，虛位移原理是一種公理，求解靜平衡問題是沒有問題的。出現上面的問題是由于歷史發展的原因造成的。1717年，伯努利在寫給法國數學家范立剛的信中，首先發現了“虛位移原理”。1743年，達朗貝爾在《動力學》論文中，引人了假想的“慣性力”概念，把動力學問題變成靜力學問題。1788年，拉格朗日又將虛功原理與達朗貝爾原理結合起來，提出了解決質點系動力學問題的普遍方程。如果先有達朗貝爾原理，然后有動力學問題的普遍方程，那么虛位移原理只能作為普遍方程特例出現，就不會出現今天的討論。

(4)最后要告訴學生，隨著課程發展如果把虛位移原理作為動力學問題的普遍方程特殊情況，是能夠很好解釋有關虛位移原理提出的問題。對少學時學生也要向學生講清楚這段歷史，并明確告訴學生用虛位移原理求解靜力學問題是可以的。

由此可見，在理論力學的教學過程中，如果教師能夠講透該學科的內在規律，把復雜的問題清晰歸類，讓學生觸類旁通，那么這門課其實也并不那么難學。學生把握到學科的奧秘以后，對該學科的興趣自然也會形成。

［1］陳建平，陶秋帆，吳文龍．理論力學中動力學問題的演變與創新思維訓練［J］．力學與實踐，2004，26(5):72 －74．

［2］李淑，童堃．關于動點動系的選擇原則［J］．力學與實踐，1985，7(5):54 －57．

［3］劉楓．關于虛位移原理的探討［J］．江蘇機械制造與自動化，1999(2):24 －35．

［4］汪思偉．虛位移原理與平衡概念［J］．重慶交通學院學報，1983，5(2):111 －115．

［5］梅鳳翔．關于虛位移與虛位移原理—分析力學扎記之一［J］．力學與實踐，1999，21(4):69 －70．

［6］鐘奉俄．平衡和虛位移原理［J］．西安礦業學院學報，1983(1):30－33．

［7］汪家訸．談虛位移原理［J］．力學與實踐，1984，6(1):49－50．