圓柱殼體動力響應中的模態參與問題研究

摘要

以兩端簡支圓柱殼體為例，研究了考慮正、余弦模態成分影響的圓柱殼體動力響應中的模態參與問題，提出了根據模態參與因子的分布特征判定模態截斷階次的方法，采用正、余弦模態疊加得到了圓柱殼體在沖擊激勵及旋轉行波激勵作用下的動力響應，基于響應的收斂性驗證了判定方法的可靠性。理論計算與有限元仿真結果表明，與圓柱殼體模態特性分析不同，在求解圓柱殼體動力響應時必須同時考慮正、余弦模態成分的影響；沖擊激勵作用下，圓柱殼體各階正、余弦模態在響應中的參與程度與激振點和觀測點的位置相關；旋轉行波激勵作用下，圓柱殼體各階正、余弦模態在響應中的參與程度與激勵的階次和頻率密切相關。

關鍵詞

圓柱殼體; 正余弦模態; 模態參與; 模態疊加; 模態截斷; 動力響應

引 言

圓柱殼體作為常見的結構，廣泛應用于機電、航空航天和航海等領域，如電機定子、航空發動機機匣、潛艇船體等。在復雜激勵條件下，圓柱殼體容易產生振動噪聲、疲勞損傷甚至故障失效。因此，開展圓柱殼體在不同激勵作用下的動力響應分析具有重要的理論價值和工程意義。

作為圓柱殼體動力響應分析的基礎，圓柱殼體自由振動分析是相關研究的一個熱點。由于殼體振動的復雜性，在不同的假設下形成了諸多殼體理論［1］。然而圓柱殼體自由振動的解析解僅在少數邊界條件（如兩端簡支）下可以相對容易地求得，而在其他邊界條件下，由于圓柱殼體軸向振型函數較為復雜，其自由振動的解析解難以求得。為了突破邊界條件的限制，基于不同的殼體理論，學者們在圓柱殼體軸向振型函數構建方面開展了諸多有效的嘗試，如采用Chebyshev多項式［2］、波傳播法［3］、Haar小波［4］、復數形式的勢函數［5］、梁函數［1，6］及改進的傅里葉級數［7］等，為典型邊界條件（自由、簡支、固支）下圓柱殼體自由振動的準確分析開辟了路徑。近年來，相關研究正朝著復雜邊界條件方向發展［7?9］。

在自由振動理論的基礎上，圓柱殼體在不同激勵下的動力響應分析也得到了不斷的豐富。文獻［10?11］以外部承受靜水壓力的簡支圓柱殼體為對象，采用模態疊加法先后研究了殼體在分布沖擊激勵下的瞬態動力響應和在集中諧波激勵下的穩態動力響應。Qu等［12］提出了區域分解法對圓柱殼體在集中諧波激勵下的穩態響應及集中階躍激勵下的瞬態響應進行了研究。陳美霞等［13］采用波傳播法研究了集中諧波激勵作用下，含端板與不含端板的水中圓柱殼體的位移響應。王宇等［14］通過模態疊加法求解了固支?自由圓柱殼體在集中諧波激勵下的穩態和瞬態響應，并將理論方法推廣到典型邊界條件下旋轉圓柱殼體強迫振動響應的計算［15］。李榆銀等［16］在辛空間采用波傳播法分析了圓柱殼體在兩端簡支等邊界條件下的強迫振動，得到了殼體在集中諧波激勵下的穩態響應；Gao等［17］將該方法進一步推廣到了各向正交異性圓柱殼體的振動分析。楊永寶等［18］與龐福振等［19］以彈性邊界圓柱殼體為對象，分別采用模態疊加法與區域能量分解法研究了殼體在集中諧波激勵下的穩態響應。近年來，復雜激勵（如隨機激勵［20］、分布駐波激勵［21］）下圓柱殼體的動力響應分析也逐漸引起了學者們的關注。

綜合以上文獻可知，圓柱殼體在典型邊界條件下（自由、簡支、固支）及典型激勵（如集中諧波激勵等）作用下的振動特性已有較為廣泛且深入的研究；并且目前在進行殼體動力響應分析時，普遍采用了模態疊加的思想或方法。需要指出的是，由于圓柱殼體沿周向存在旋轉周期性，其各階彎曲模態均由頻率相同、振型相似的正、余弦模態成分組成［5，21?23］。然而，諸多研究［2?4，6，8?11，13?14，18，20］在構建圓柱殼體軸向振型函數的同時，忽略了圓柱殼體周向振型的完整表達。雖然該問題對于殼體自由振動的分析影響有限，但其對于殼體在激勵作用下的動力響應求解具有重要的影響。此外，在采用模態疊加法求解殼體動力響應時，需要進行模態截斷，然而在已有研究中，各階模態在響應中的參與程度缺乏直觀的顯現，模態截斷階次的選定基本依靠人為假設，缺少階次判定的參考基準。

鑒于目前研究的不足，本文以兩端簡支圓柱殼體為例，通過正、余弦模態疊加求解了集中沖擊激勵與分布旋轉行波激勵下圓柱殼體的動力響應。在此過程中，對圓柱殼體動力響應中的模態參與問題開展了研究，根據模態參與因子的分布特征，為模態截斷階次的判定提供了參考基準；通過分析正、余弦模態對圓柱殼體動力響應的影響規律，驗證了在圓柱殼體動力響應求解過程中同時考慮正、余弦模態成分的必要性。

1 圓柱殼體動力響應分析基礎

1.1 圓柱殼體動力學模型

圖1為圓柱殼體結構示意圖。圓柱殼體的基本結構參數有中性面半徑r、厚度h及軸向長度l。本文以厚徑比h/r小于0.2的薄圓柱殼體為研究對象。o?xθz為建立在殼體端面的柱坐標系，任意一點P處沿軸向x、切向θ及徑向z方向上的位移分別用u，v及w表示。u，v及w既是空間坐標（x，θ）的函數，也是時間坐標t的函數。

根據圖4和5可知：正、余弦模態參與因子的分布特征并不相同，算例中正弦模態參與因子幅值的平均水平相比余弦模態的更高；隨著模態階次（m，n）的增加，正、余弦模態參與因子的幅值呈現明顯的減小趨勢，即高階模態參與因子的幅值相對較小，表征著高階模態在響應中的參與程度相對較低。從圖4和5可以直觀地看出，當階次m與n大于15時，正、余弦模態參與因子的幅值都比較小，因此可以將模態截斷階次設置在15階附近。在此基礎上，通過進一步比較15階附近模態參與因子的相對大小，最終選定算例圓柱殼體余弦模態與正弦模態的截斷階次分別為（15，14）階與（15，15）階。

此外，從圖4和5中還可以發現正、余弦模態的參與因子在某些階次上存在交變為0的現象，呈現出規律性的變化。根據式（35）和（36）可得算例圓柱殼體在表1所示沖擊激勵下正、余弦模態參與因子為0的充要條件如表2所示（其中任意一個階次滿足即可）。

可以驗證表2所示規律與圖4和5所示現象完全吻合。在表2的基礎上舍去參與因子為0的階次，可以進一步減少模態疊加的階數。而在計算響應之前，還需要確定仿真時間步長，因此需要先確定采樣頻率的大小。根據選定的模態截斷階次，通過理論計算得到了圓柱殼體m=1～15， n=0～15階模態對應的模態頻率分布，如圖6所示。

圖6中圓柱殼體（15，15）階模態頻率為85.8 kHz，根據采樣定理可知，采樣頻率至少要大于被采信號最高頻率的兩倍，為進一步規避信號失真的風險，本文選取采樣頻率為500 kHz。在表1所示的激勵條件下，本算例中取觀測點位置（xob，θob）（xob，θob）為（l/10，π/6）（l/10，π/6），根據式（18）可以計算圓柱殼體在徑向沖擊激勵下的動力響應。

首先以余弦模態響應為例（取式（18）前半部分），驗證所選模態截斷階次的合理性。通過理論計算得到了截斷階次為（5，5），（15，14）及（20，20）階時觀測點處圓柱殼體余弦模態響應的時域對比圖與頻域對比圖，分別如圖7與8所示。

從圖7所示的時域圖中可以看出，截斷階次過低將導致模態疊加后的響應難以準確表達實際響應的特征；而按本文方法選定的截斷階次基本實現了響應的收斂，與更高截斷階次的模態疊加響應之間差距很小。

圖8為響應對應的頻域圖。其中在圖8（a）中，黑色曲線對應于截斷階次為（5，5）階時模態疊加所得的響應，可以看出其頻率成分截止到（5，5）階模態處，更高階次的模態頻率僅存在于紅色曲線中（如（1，6）階和（3，6）階）。兩條曲線在其余共振峰處基本是重合的，這表明各階模態之間存在一定的相對獨立性。此外，從圖8（b）可以看出，截斷階次為（15，14）階與（20，20）階時的響應頻域圖也是基本重合的，進一步驗證了本文模態截斷方法與截斷階次的有效性。

圖7和8中僅展示了余弦模態響應對應的特征，對于正弦模態響應（取式（18）后半部分）也有類似的特征。為了進一步揭示正、余弦模態響應之間的關系，通過理論計算得到了沖擊激勵下殼體正、余弦模態響應的時域對比與頻域對比，如圖9所示。

從圖9中可以看出，算例中圓柱殼體的余弦模態響應明顯小于正弦模態響應，這與圖4和5中正、余弦模態參與因子之間的相對關系是一致的。其中在圖9（b）所示的頻域圖中還可以進一步看出算例中殼體的正、余弦模態響應在頻率成分上存在差異，例如（1，3）階模態頻率僅存在于正弦模態響應中，而（1，0），（3，0）及（3，6）階模態頻率僅存在于余弦模態響應中，這與表2所示規律一致。

基于以上分析可知，沖擊激勵作用下圓柱殼體的正、余弦模態響應同時存在，且頻率成分及幅值不完全相同，即正、余弦模態在總響應中的參與程度不完全一致，因此在求解殼體總響應時需要同時考慮。

3.2 分布旋轉行波激勵下殼體動力響應分析

根據2.2節的理論分析可知，旋轉行波激勵下圓柱殼體的振動屬于強迫振動，本文主要關注響應的穩態部分。在計算響應之前，同樣需要進行模態截斷。

以表3所示旋轉行波激勵為例，根據式（34）和（30）可知圓柱殼體（1，2）階正、余弦模態參與因子隨時間變化的趨勢相同，其中余弦模態參與因子的時變圖如圖10所示。

從圖10中可以看出，旋轉行波激勵下圓柱殼體模態參與因子包絡曲線的幅值恒定不變，因此可作為表征模態參與因子相對大小的指標參數，由此可知，此時正、余弦模態對應的指標參數可分別按式（34）中Xcos0X0cos與式（30）中Xsin0X0sin計算。

需要指出的是，根據式（27）與（32）可知，在表3所示旋轉行波激勵作用下，圓柱殼體各階模態中只有階次n=p=2的模態被激起，因此此時殼體的模態截斷階次只取決于階次m。基于此，由式（30）與（34）可知，此時圓柱殼體正、余弦模態對應的參與因子指標參數是相等的，因此在本節后續分析中，將兩種模態合并在一起進行討論。

由式（34）與（30）可得表3所示激勵下圓柱殼體正、余弦模態參與因子的分布，如圖11所示。

從圖11中可以看出，當階次m為偶數時，正、余弦模態參與因子等于0，這與式（28）的分析一致。此外，圖11顯示此時圓柱殼體（3，2）階模態參與因子幅值最大，根據式（30）與（34）可知，激勵頻率與圓柱殼體模態頻率之間的相對關系對圓柱殼體模態參與因子的幅值有重要影響；而理論計算得到圓柱殼體（1，2），（3，2）和（5，2）階模態頻率分別為1422，5143和8873 Hz，表3中的激勵頻率為5500 Hz，其與圓柱殼體（3，2）階模態頻率較為接近，因此這可能是導致圓柱殼體（3，2）階模態參與因子幅值最大的原因。

為了進一步驗證以上分析，參考圓柱殼體（15，2）階頻率大小（55.8 kHz），將激勵頻率設置在0.5～56 kHz（p不變），研究不同頻率的旋轉行波激勵作用下殼體正、余弦模態參與因子的分布規律，結果如圖12所示。圖12中水平方向的各彩色實線對應于同一階次m及不同的激勵頻率，表示的是殼體（m，2）階模態參與因子隨頻率的變化關系，其中m=1m=1時曲線峰值約為5×10?95×10-9，未完全展示。

從圖12中可以看出，當激振頻率fexfex與圓柱殼體模態頻率f（m，2）f（m，2）相等時，圓柱殼體該階模態的參與因子幅值在局部達到峰值，而當激振頻率fexfex與殼體模態頻率f（m，2）f（m，2）差距變大時，該階模態的參與因子幅值逐漸變小；這與圖11所反映的規律是一致的，由此驗證了前文分析的合理性。

從圖11中可以看出，當階次m大于5時，正、余弦模態參與因子的幅值非常小（與m=5時存在數量級差距），由此可以將模態截斷階次設置在5階。本算例中也取觀測點位置（xob，θob）（xob，θob）為（l/10，π/6）（l/10，π/6）。

首先，驗證所選截斷階次的合理性。通過理論計算得到了截斷階次分別為m*=1， 3， 5， 15m*=1， 3， 5， 15時觀測點處殼體的時域響應（正、余弦模態疊加），結果如圖13所示。圖中m*=3m*=3對應的曲線為只考慮（3，2）階模態時的響應。

從圖13可以看出，截斷階次m*=5m*=5時圓柱殼體的響應基本已實現收斂，驗證了本文采用的模態截斷方法的有效性。圖13中各曲線均通過正、余弦模態疊加所得，為了進一步比較正、余弦模態響應之間的相對關系，以m*=5m*=5為正、余弦模態的截斷階次，分別計算了正、余弦模態疊加前后圓柱殼體的時域響應，結果如圖14所示。

從圖14中可以看出，旋轉行波激勵下圓柱殼體的正、余弦模態響應也是同時存在的，雖然兩種模態響應具有相同的頻率，但是兩者在幅值與相位上均存在差異，即此時正、余弦模態在總響應中的參與程度也不是完全一致的。因此在求解圓柱殼體總響應時必須同時考慮兩種模態成分。

接下來，進一步分析激振頻率變化時殼體響應的變化規律。以殼體的（3，2）階頻率5143 Hz為例，當激振頻率fexfex在5143 Hz附近變化時，通過理論計算得到了圓柱殼體的時域響應如圖15所示。

圖15中黑色曲線對應于激振頻率fexfex最接近殼體模態頻率f（3，2）f（3，2）時的情況，虛線與實線分別對應于激振頻率fexfex低于與高于殼體模態頻率f（3，2）f（3，2）時的情況。從圖15中可以看出，激振頻率與圓柱殼體模態頻率越接近，圓柱殼體的響應越強；當激振頻率逐漸遠離圓柱殼體模態頻率時，圓柱殼體的響應水平不斷下降。這與圖12所反映的模態參與因子隨激勵頻率的變化規律是相似的。

3.3 有限元驗證

本節將采用有限元軟件ANSYS的模態分析與瞬態動力學仿真對理論分析結果進行驗證（采用六面體網格，劃分了5535個實體單元）。首先，驗證本文模態特性分析結果的有效性，理論計算與有限元法得到算例圓柱殼體前6階模態頻率（單位：Hz）如表4所示，表中相對誤差是以有限元法結果為基準計算的。需要說明的是，同一階次的正、余弦模態對應于相同的模態頻率（如式（7）所示），表中沒有重復展示。類似地，限于篇幅，僅給出（1，2）階和（2，2）階余弦模態對應的模態振型，分別如圖16（a），（b）與圖16（c），（d）所示，其中圖16（a），（c）為理論計算結果，圖16（b），（d）為有限元法結果。

根據表4可知，理論計算得到的圓柱殼體模態頻率與有限元法結果較為吻合，相對誤差均在5%以內（該誤差可能與殼體厚徑比偏大相關），圖16所示的模態振型結果也驗證了理論計算的準確性。

在模態分析的基礎上，通過理論計算與有限元法得到了沖擊激勵下圓柱殼體的瞬態動力響應，如圖17所示。為了提升結果的可靠性與可信度，在驗證過程中設置了兩組激振點與觀測點，如表5所示，激勵的其余參數與表1相同。

圖17（a）中藍色、紅色曲線與圖9（b）中曲線是相同的。從圖17（a），（b）可以看出，基于正、余弦模態疊加的理論計算結果與有限元仿真結果之間具備良好的一致性，而僅考慮正弦模態或余弦模態時不能得到完備的響應。例如圖17（a）有限元仿真結果中同時包含（1，3）階與（1，1）階模態頻率成分，而理論計算的余弦模態響應中只包含（1，1）階頻率，（1，3）階頻率成分只在正弦模態響應存在，因此只有兩種模態疊加后的響應才能與有限元仿真結果相對應。

對比圖17（a）與（b）可知，沖擊激勵的激振點和觀測點對殼體響應中的頻率成分具有影響，例如在圖17（a）中，階次m=2m=2的模態沒有被激起，而在圖17（b）中，殼體前6階模態全部被激起。可以驗證以上現象與2.1節的理論分析是相符的——根據式（9），（22）和（23）可以推斷，在表5所示的激振點與觀測點下，殼體第（m，n）階正、余弦模態疊加后的響應等于0的充要條件如表6所示（其中任意一個階次滿足即可）。

根據表6可知：對于第一組激振點/觀測點，m為偶數階時殼體正、余弦模態疊加后的響應為0，因此響應頻域圖中不會存在階次m=2的模態頻率成分，與圖17（a）相對應；而對于第二組激振點/觀測點，當且僅當m=10， 20， …時，對應的正、余弦模態疊加響應等于0，因此響應頻域圖中包含階次m=2的模態頻率成分，與圖17（b）相一致。綜上所述，理論計算結果與有限元仿真結果具備良好的一致性，驗證了理論分析的有效性。

4 結 論

本文以兩端簡支圓柱殼體為例，對圓柱殼體動力響應中的模態參與問題進行了研究。首先在殼體模態特性分析中同時考慮了正、余弦模態成分，然后根據模態參與因子的分布特征對模態截斷階次進行了判定，最后采用正、余弦模態疊加得到了殼體在沖擊激勵、旋轉行波激勵作用下的動力響應。研究方法對其他邊界條件下圓柱殼體的動力響應分析也具有參考意義。通過理論計算和有限元仿真驗證，本文得到的主要結論如下：

（1） 圓柱殼體的正、余弦模態對應于相同的模態頻率和幅值相等的模態振型，在圓柱殼體的模態分析（自由振動）中，為了簡便，可以只考慮其中一種。而對于圓柱殼體的動力響應而言，兩種模態成分同時參與響應，并且各自在響應中的參與程度不一定相同，在計算圓柱殼體總響應時需要同時被考慮。

（2） 集中沖擊激勵作用下，圓柱殼體各階正、余弦模態在響應中的參與程度與激振點和觀測點的位置相關，不同位置的激振點和觀測點下所得的圓柱殼體響應中，頻率成分也有所不同。

（3） 分布旋轉行波激勵作用下，只有周向階次與激勵階次相同的模態成分才會被激起，而被激起的模態在響應中的參與程度與激勵頻率和該階模態頻率之間的相對差距有關。例如當激勵頻率和該階模態頻率接近甚至相等時，該階模態對應的響應水平會有顯著的提升，即產生了共振現象。

由于邊界條件主要影響圓柱殼體的軸向振型而非周向振型，可以驗證上述結論對于其他邊界條件下的圓柱殼體也是適用的。

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