考慮材料參數不確定性結構動力學穩健性拓撲優化設計

摘要

本文在考慮材料參數不確定性的條件下，對連續體結構動力學穩健性拓撲優化設計進行研究。在使結構的第一階固有頻率最大化的同時，顯著減小其對材料性能不確定性的影響。基于非概率凸集模型，將材料參數的不確定性用有界區間變量表示；建立了能夠抑制頻率改變的結構動力學拓撲優化模型，用單層優化策略求解穩健性優化設計問題。通過對材料參數的導數分析，獲得了在材料性能不確定情形下結構第一階固有頻率的二階泰勒展開式，并推導出了頻率對拓撲變量的一階靈敏度顯性表達式?；谧兠芏确?，開展了結構動力學穩健性拓撲優化設計，并與確定性優化結果進行對比，驗證了用本文方法獲得的結構第一階固有頻率穩健性更高，受材料參數不確定性擾動影響更小，展示了考慮材料參數不確定性的重要性。

關鍵詞

材料參數不確定性; 穩健性動力拓撲優化; 結構固有頻率; 有界區間變量

引 言

結構拓撲優化旨在滿足給定約束條件下，尋求使結構的力學性能達到最優的材料布局設計［1］。在傳統的結構拓撲優化問題中，人們通常假設與結構設計相關的各種參數都是確定的，不受環境變化和加載條件的影響。然而在實際工程中，不確定性因素卻是普遍存在和難以避免的，如材料的物理性能、結構的幾何尺寸、邊界約束條件、外載荷狀況等［2?4］。若在設計過程中對這些不確定性因素不做適當考慮，仍按確定性情形對結構進行優化設計，則所得最優拓撲構型在參數偶然變化情形下的有效性會大為降低，結構性能對不確定性參數擾動的影響極為敏感，甚至會出現結構破壞現象［5］。為了有效提高結構性能抵抗不確定性因素的能力，有必要在結構的初始設計階段就考慮這些設計參數的不確定性，并基于定量化的不確定性因素建立優化模型，進而改變相應的設計優化策略［3，5?7］。

工程結構在動態載荷作用下的響應很大程度上取決于結構的固有特性，特別是結構的第一階固有頻率（基頻）及其相應的振型［6， 8?10］。因此，增大結構的基頻使之遠離外激勵頻率，可顯著降低結構的動響應水平［10］。眾所周知，結構的固有頻率與所用材料的彈性模量、密度等參數密切相關，而實際工程中的材料參數受制造工藝和使用環境等因素的影響，其真實值往往與名義值存在一定的偏差［6，10?11］。然而，在當前大多數有關固有頻率的優化設計中，并未充分考慮結構動力學性能抵抗材料參數擾動的能力，難以滿足真實環境中對工程結構性能的要求［11］，特別是航空航天工程對結構固有頻率在復雜環境中的變化要求更嚴。因此在結構拓撲優化設計中充分考慮材料參數的不確定性不僅具有現實的工程背景，還具有重要的理論意義［12?14］。

目前，對于結構不確定性拓撲優化設計的研究方法主要有基于可靠度的拓撲優化方法（Reliability?Based Topology Optimization， RBTO）和基于穩健性的拓撲優化方法（Robust Topology Optimization， RTO）。這兩種方法均可通過概率或非概率模型量化不確定量的變化情況。而在結構的實際工作環境中，通常難以將不確定性設計量的隨機性變化用精確的概率模型表示。而非概率區間分析方法可以通過指定區間模型的上、下界表示設計參數隨機變化的范圍，能在僅獲得有限的不確定性信息條件下，較為安全地得到結構在不同工況下設計目標的最大波動狀況，最大限度地保證結構在復雜環境中的可靠性，顯著增強結構抵抗外界擾動的能力［14?16］。在此情形下，人們已廣泛地開展了基于非概率區間理論的拓撲優化設計研究。Doltsinis等［3］通過綜合考慮設計目標的概率統計特性，建立了結構穩健性設計的數學模型，并采用基于梯度的優化算法進行求解。Xu等［6］提出了一種基于不確定性材料參數的連續體結構非概率可靠性優化方法，優化目標是固有頻率可靠性指標的最大化。王棟［5］將荷載作用位置偏移引起的結構動柔順度的變化用二階泰勒級數表示，并根據動柔順度對不確定加載位置的最大靈敏度值提出了一種單循環優化方法。Xia等［10］提出了基于性能度量分析的可靠性拓撲優化方法，克服了區間模型可靠性優化過程中的收斂性問題。許煥衛等［17］分析了不確定性因素在某一區間變化時對系統整體性能的影響，建立了基于靈敏度分析的區間不確定性穩健設計優化模型。

本文采用區間模型描述材料性能（彈性模量和密度）的不確定性。利用二階泰勒展開式表示結構基頻隨材料參數的變化情況，并提出一種表示結構固有頻率波動的穩健性指標。基于材料屬性的有理近似模型 （Rational Approximation of Material Properties， RAMP），建立了綜合考慮結構基頻與其穩健性的連續體結構拓撲優化模型。以整體材料用量為約束條件，在優化過程中采用單層循環策略，利用移動漸近法（Method of Moving Asymptotes， MMA）［18］開展了連續體結構動力學拓撲優化設計研究。最后用兩個典型優化算例來驗證本文所提方法的有效性，并與確定性條件下的優化結果進行對比，證明了本文所得穩健性拓撲優化設計結果對材料性能的變化更加穩定和可靠。

1 連續體結構穩健性拓撲優化

1.1 不確定性參數的區間模型

本文僅考慮材料的性能參數—彈性模量E和體積密度ρ—具有不確定性，并利用區間模型描述其變化狀況［10］。此外在實際工程中，結構幾何尺寸的不均勻性，如薄板的厚度，也可以轉換成材料參數的不確定性。利用區間模型表示材料參數變化的形式為：

3 數值算例

3.1 算例1

圖2所示的懸臂板在右下端點處有一個集中質量塊ML=20 kg。板的厚度是10 mm，材料的彈性模量名義值E0=210 GPa，密度名義值ρ0=7800 kg/m3，泊松比ν=0.3。假設由于材料制備過程的不確定性，其彈性模量和密度均可能有最大5%的相對變化量，即彈性模量實際取值區間EI=［0.95E0， 1.05E0］，密度取值區間ρI=［0.95ρ0，1.05ρ0］。將設計區域均勻劃分成80×60的有限元網格，并采用四結點平面應力單元，僅考慮結構在平面內的變形。材料體積約束系數fv=0.5，優化過程收斂條件為相鄰兩次迭代設計變量的最大改變量小于0.01。

首先對本文推導的固有頻率二階泰勒展開式及其靈敏度計算公式進行驗證。對于圖2所示的4個指定單元，當材料的彈性模量與密度分別位于可變化區間的頂點時，結構的第一階固有頻率及其對各單元相對密度（設計變量）的靈敏度也將發生改變。兩種方法的計算結果如表1所示。經過對比可知，用二階泰勒展開式能獲得非常精確的第一階固有頻率及其對拓撲設計變量的靈敏度值。即無需利用有限元進行特征值求解，僅用式（13）和式（22）即可得到材料參數不確定性情形下結構的基頻及其靈敏度值。

由表1還可以發現，當材料的性能參數發生改變時，結構的第一階固有頻率也是一個區間變量，f1=（ω1/2π）∈［118.522，125.243］ Hz。而且第一階頻率名義值f10=121.913 Hz并不在區間的中點，這是因為固有頻率相對于材料參數的變化是非線性關系。第一階頻率變化幅值g1/（2π）=6.721 Hz，是名義值的5.51%。

此外，當材料的彈性模量E取變化區間的上界值，而材料的密度ρ取變化區間的下界值時，結構的第一階固有頻率最大，見表1的第二行結果；反之，當材料的彈性模量E取變化區間的下界值，而材料的密度ρ取變化區間的上界值時，結構的第一階固有頻率最小，見表1的第四行結果。這也驗證了前面的分析結果。

分別取基頻穩健性優化設計目標函數中的權重因子β=0.5，0.7和0.9，對懸臂板開展穩健性拓撲優化設計，并與確定性（β=0）優化結果進行對比。圖3分別示出了β取不同值時結構的拓撲構型，其材料布局存在比較顯著的差別。由于考慮了材料性能的不確定性，穩健性結構拓撲構型更加復雜，為集中質量塊構造的傳力路徑更加多元化。對結構第一階固有頻率分散性控制愈嚴（β越大），穩健性拓撲構型傳力分支路徑愈多，與確定性拓撲設計結果相差也愈大。而且在集中質量附近的材料分布也會發生改變，構造新的局部傳力路徑。

表2列出了不同設計策略下懸臂板的拓撲優化數值結果。與表1相比可以發現，經過拓撲優化后，結構的基頻都有了明顯增大，同時基頻的波動幅度g1也明顯增大了。確定性優化得到的結構第一階頻率對材料參數的不確定性比較敏感，相對波動量r最大（5.67%）。而穩健性結構拓撲優化設計基頻的相對波動量r隨著權重因子β的增大而逐漸減小，即結構的第一階頻率對材料參數的不確定性敏感性逐漸降低，其動力性能的穩健性逐漸提高。此外，穩健性優化設計得到的最大名義基頻比確定性優化結果稍小一點，其原因是有一部分材料被用來構造備用輔助的傳力路徑，以加強結構性能的穩健性。因此在相同的材料體積約束條件下，結構的剛度會有一定的損失，導致結構的固有頻率有所降低，以換取結構抵抗材料參數擾動能力的提高，但這種損失可以通過適當增加材料體積得到補償［5，16］。

3.2 算例2

圖4所示的兩端固支深梁結構在底邊中點處有一個集中質量塊ML=10 kg。假設材料的彈性模量和密度均可能有最大10%的變化量，即彈性模量取值區間EI=［0.9E0，1.1E0］，密度取值區間ρI=［0.9ρ0，1.1ρ0］。其余參數與算例1相同。將設計區域均勻劃分為140×20的有限元網格，材料體積約束系數fv=0.5。

圖5分別示出了權重因子β=0，0.5，0.7和0.9時固支深梁結構的穩健性拓撲優化構型，它們仍有比較顯著的差別。由于考慮了材料性能的不確定性，隨著β值的增大，深梁中間兩根斜桿的尺寸在逐漸減小，但夾角卻在不斷增大。而且在附加集中質量附近的材料用量也逐漸減少，分別向梁兩端聚集。造成這種材料分布的原因是經過拓撲優化以后，結構的第一階固有振型是反對稱扭轉變形，梁兩端的彎曲變形更加突出。圖6示出了優化后結構的第一階振型。

表3列出了不同設計策略下兩端固支深梁的拓撲優化數值結果。雖然確定性優化設計得到的結構第一階固有頻率名義值最大，但其波動量也最大（12.46%），結構第一階固有頻率的穩健性相對較低。而穩健性優化設計得到的結構第一階固有頻率名義值比確定性優化值稍小一些，但其相對波動量隨著權重因子β的增大而逐漸減小，結構動力性能的穩健性也在逐漸提高。

4 結 論

本文研究了在材料參數不確定性條件下， 以提高結構的第一階固有頻率并增強其穩健性為目標的連續體結構動力學拓撲優化設計問題。運用區間模型描述材料參數（彈性模量、密度）的不確定性。采用二階泰勒展開式，獲得了在材料參數不確定性情形下結構固有頻率的顯性表達式及其對拓撲變量的靈敏度計算公式。構造了結構動力學穩健性優化設計模型，并采用確定性優化方法對結構拓撲構型進行了設計。研究結果如下：

（1）考慮材料參數不確定性條件下得到的穩健性結構拓撲優化設計，其拓撲構型相對于確定性條件下的拓撲優化結果有著明顯不同。不確定性條件下所得拓撲構型更加復雜，傳力路徑更加多元化，尤其表現在附加集中質量處附近。

（2）經過對固有頻率一階導數的分析發現，結構第一階固有頻率的最大值總是在彈性模量最大且密度最小的頂點上取得；反之，第一階固有頻率的最小值總是出現在彈性模量最小而密度最大的頂點上。

（3）當材料參數具有不確定性時，雖然穩健性拓撲優化設計得到的結構第一階固有頻率名義值小于相應的確定性優化結果，但其波動量也明顯低于確定性的結果。這對降低結構在材料參數發生變化時可能出現的失效風險有極大的幫助。因此，在結構初步設計階段考慮材料參數的不確定性是非常有必要的。

附錄

附錄： 固有振型對彈性模量的一階導數

考慮結構的第一階振型對彈性模量的一階導數。對于一個線性結構，根據振型的完備性，其第一階固有振型的一階導數可表示為［19］：

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