統(tǒng)籌·路徑·階梯：“倍的認(rèn)識(shí)”單元教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐研究

虞歡歡

［摘 要］“倍的認(rèn)識(shí)”是小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)比率關(guān)系的起始單元，是后續(xù)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)單元，具有承上啟下的作用。文章根據(jù)教材分析、學(xué)情分析以及教學(xué)實(shí)踐，從“合理規(guī)劃倍的課時(shí)內(nèi)容”“清晰規(guī)劃倍的概念建構(gòu)路徑”“階梯推進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)提升”三個(gè)方面制訂完善本單元教學(xué)的路徑與策略，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成和核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

［關(guān)鍵詞］合理統(tǒng)籌；路徑建構(gòu)；階梯推進(jìn)

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）11-0033-05

“倍的認(rèn)識(shí)”是人教版教材三年級(jí)上冊(cè)第五單元的內(nèi)容，內(nèi)涵豐富，是促進(jìn)后續(xù)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。“倍的認(rèn)識(shí)”也是學(xué)生對(duì)兩個(gè)量關(guān)系認(rèn)識(shí)從“相差關(guān)系”到“比率關(guān)系”的一次“質(zhì)變”。

一、“倍”單元的教材研讀及編排分析

（一）教材研讀，倍的關(guān)聯(lián)知識(shí)豐富

“倍”表示的是兩數(shù)關(guān)系，而三年級(jí)上冊(cè)“倍的認(rèn)識(shí)”是比較兩個(gè)數(shù)量關(guān)系的第四個(gè)階段。此前其實(shí)也有涉及兩個(gè)量關(guān)系的學(xué)習(xí)，但只局限于相差關(guān)系，教材從三年級(jí)“倍的認(rèn)識(shí)”單元開(kāi)始討論兩個(gè)量的“比率關(guān)系”。筆者對(duì)人教版教材兩數(shù)關(guān)系的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行了整理。

兩個(gè)數(shù)量的關(guān)系從“比多少”開(kāi)始，到形成兩個(gè)數(shù)量之間的特殊關(guān)系“倍”，再到五、六年級(jí)用“小數(shù)”“分?jǐn)?shù)”“百分?jǐn)?shù)”“比”來(lái)表示兩個(gè)數(shù)量的倍比關(guān)系。整個(gè)概念體系的建構(gòu)是按照“整數(shù)—分?jǐn)?shù)—小數(shù)—比”的順序依次進(jìn)行的。

（二）編排分析，倍的課例安排不足

三年級(jí)上冊(cè)“倍的認(rèn)識(shí)”這一單元的編排順序?yàn)橐敫拍睢⒔⒏拍睢?yīng)用概念。筆者通過(guò)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)本單元教材存在兩個(gè)不足。

1.知識(shí)分散、重復(fù)、不全，不利于學(xué)生形成知識(shí)結(jié)構(gòu)

知識(shí)單向重復(fù)多，不利于學(xué)生整體思考。“倍的認(rèn)識(shí)”實(shí)質(zhì)上就是對(duì) “倍數(shù)”“標(biāo)準(zhǔn)量”和“比較量”三者之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)，教材通過(guò)3個(gè)例題，采用小步子漸進(jìn)的教學(xué)安排。這樣的教學(xué)會(huì)有明顯的分散性和重復(fù)性，同時(shí)缺乏挑戰(zhàn)性。

2.編排缺少后續(xù)關(guān)聯(lián)，不利于學(xué)生形成知識(shí)結(jié)構(gòu)

內(nèi)容編排缺乏關(guān)聯(lián)性，不利于學(xué)生形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。“倍”是數(shù)量之間的一種特殊關(guān)系，在學(xué)習(xí)“倍”之前我們已經(jīng)在用“比多少”表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，后續(xù)還會(huì)學(xué)習(xí)“不到1倍時(shí)用一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾或百分之幾來(lái)表示”。教材編排中缺乏這樣的知識(shí)關(guān)聯(lián)，學(xué)生只是孤立地認(rèn)識(shí)“倍”，不能很好地實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移，難以形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。

二、“倍”單元的學(xué)情調(diào)查及教學(xué)現(xiàn)狀

（一）學(xué)情分析，收集學(xué)生學(xué)情

為了更好地進(jìn)行單元教學(xué)，筆者在研究“倍的認(rèn)識(shí)”前對(duì)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)（略）并分析了結(jié)果。

1.學(xué)生對(duì)倍的理解，因相差關(guān)系產(chǎn)生一定的負(fù)遷移

前測(cè)第1題中沒(méi)有出現(xiàn)有關(guān)“倍”的字眼，學(xué)生習(xí)慣性用學(xué)過(guò)的“比多少”來(lái)描述兩個(gè)量的關(guān)系，很少有學(xué)生用“倍”來(lái)描述兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。筆者還發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生把3倍理解成了“相差3”，還有學(xué)生把3倍理解成了“多3倍”。對(duì)此，教師教學(xué)時(shí)要考慮“相差關(guān)系”的負(fù)遷移，引導(dǎo)學(xué)生從“相差關(guān)系”的概念中轉(zhuǎn)變過(guò)來(lái)。

2.學(xué)生對(duì)倍有一定的認(rèn)知基礎(chǔ)，但缺乏本質(zhì)理解

學(xué)生對(duì)“倍”的概念有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和一定的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，但缺乏本質(zhì)的理解。前測(cè)中，有43.6%的學(xué)生畫(huà)出的關(guān)系圖中，蘋(píng)果的數(shù)量是香蕉的3倍，但畫(huà)的時(shí)候仍會(huì)把蘋(píng)果放在香蕉的前面，這說(shuō)明學(xué)生缺乏以香蕉為標(biāo)準(zhǔn)量的概念。另外，還有學(xué)生認(rèn)為2的1倍是4，說(shuō)明學(xué)生沒(méi)有明白“比較量”的概念。這樣的現(xiàn)象說(shuō)明學(xué)生對(duì)“倍”的理解層次不一，對(duì)“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”和“倍數(shù)”三者之間的關(guān)系是模糊的，沒(méi)有真正明白倍數(shù)關(guān)系。

（二）教學(xué)分析，收集教學(xué)問(wèn)題

除了學(xué)生對(duì)“倍的認(rèn)識(shí)”這一學(xué)習(xí)內(nèi)容存在一定困惑，教師在教學(xué)時(shí)也有許多的問(wèn)題。教學(xué)中常見(jiàn)的問(wèn)題收集如下。

1.概念教學(xué)集中于起始課，忽略概念的建構(gòu)需要過(guò)程

學(xué)生一看到倍就用乘法，說(shuō)明教師教學(xué)時(shí)并沒(méi)有落實(shí)“對(duì)倍概念本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)”，其主要原因是教師在教學(xué)這個(gè)單元時(shí)只關(guān)注答題，忽視了對(duì)倍的理解。

2.學(xué)生的核心素養(yǎng)停留于關(guān)注，缺少素養(yǎng)提升的系統(tǒng)性規(guī)劃

這個(gè)單元指向的核心素養(yǎng)主要是“幾何直觀”，具體表現(xiàn)在用圖來(lái)表征倍的能力、用圖來(lái)解決問(wèn)題的能力和數(shù)形結(jié)合意識(shí)。在實(shí)際的教學(xué)中，教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)畫(huà)圖方法缺少進(jìn)階性指導(dǎo)，缺少由易到難的進(jìn)階規(guī)劃，對(duì)學(xué)生幾何直觀的培養(yǎng)缺少系統(tǒng)性的規(guī)劃。

三、倍的單元統(tǒng)籌教學(xué)實(shí)踐及思考

（一）統(tǒng)籌安排：規(guī)劃倍的課時(shí)結(jié)構(gòu)及內(nèi)容

1.整合與劃分單元課時(shí)，統(tǒng)籌規(guī)劃課時(shí)結(jié)構(gòu)

基于以上整理和分析，筆者對(duì)“倍的認(rèn)識(shí)”單元的課時(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了重新規(guī)劃設(shè)計(jì)，規(guī)劃后的課時(shí)安排如圖1所示。

本單元內(nèi)容由原來(lái)的4課時(shí)變?yōu)?課時(shí)，分別是操作認(rèn)識(shí)倍、應(yīng)用認(rèn)識(shí)倍、對(duì)比認(rèn)識(shí)倍、整理認(rèn)識(shí)倍、拓展認(rèn)識(shí)倍。原來(lái)的課時(shí)安排缺乏結(jié)構(gòu)性以及倍知識(shí)的完整性。而規(guī)劃后的5課時(shí)，先通過(guò)操作比較，把抽象的新知識(shí)“倍”與學(xué)生已經(jīng)掌握的“幾個(gè)幾”建立聯(lián)系，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)倍的概念。再通過(guò)大量比較兩個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系，幫助學(xué)生建立倍的直觀模型，使學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中表達(dá)出倍的本質(zhì)特征，抽象概括出基本數(shù)量關(guān)系。最后，倍的復(fù)習(xí)和拓展促使學(xué)生整體地理解“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”和“倍數(shù)”三者的關(guān)系，進(jìn)而能夠應(yīng)用倍的意義去解決問(wèn)題。教學(xué)內(nèi)容涵蓋了教材原來(lái)缺失的部分，并且建立了與后續(xù)知識(shí)的關(guān)聯(lián)。

2.概念要素分解與重組，合理規(guī)劃課時(shí)內(nèi)容

倍的概念的內(nèi)涵與外延非常豐富，這也是造成許多教師在教學(xué)中顧此失彼的原因。每個(gè)課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容要做合理的安排，避免有些課時(shí)內(nèi)容過(guò)多、過(guò)難，有些課時(shí)過(guò)于簡(jiǎn)單。筆者認(rèn)為概念要素的分解與重組是一個(gè)非常好的策略。

本單元內(nèi)容分為四個(gè)一級(jí)要素，包括“倍的意義”“倍數(shù)”“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”。這四個(gè)一級(jí)要素又可以分解成多個(gè)二級(jí)小要素（見(jiàn)表1）。

具體要素分布如圖2所示。

合理分解要素是為了把大概念拆分成一個(gè)個(gè)小概念，然后合理地分配到每個(gè)課時(shí)中。這樣一方面能使教師明確單元設(shè)計(jì)中要落實(shí)的具體內(nèi)容，為后面課時(shí)做好鋪墊，避免要素過(guò)多導(dǎo)致重復(fù)和遺漏；另一方面，有利于引導(dǎo)學(xué)生有梯度、有增量、有系統(tǒng)、有結(jié)構(gòu)地進(jìn)行學(xué)習(xí)。

（二）路徑建構(gòu)：厘清倍概念的建構(gòu)路徑

要想建構(gòu)正確的概念，首先要讓學(xué)生經(jīng)歷從“差比”到“率比”的討論過(guò)程，從而規(guī)避知識(shí)的負(fù)遷移。

1.經(jīng)歷從“相差”到“比率”的辨析過(guò)程，消除知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移

在第1課時(shí)的教學(xué)中，筆者用前測(cè)第1題中四名學(xué)生的作品作為活動(dòng)一的材料，其中三人的作品是相差關(guān)系，一人的作品是比率關(guān)系，也就是倍數(shù)關(guān)系（如圖3）。

筆者讓學(xué)生用分類(lèi)、對(duì)比的方式對(duì)這四幅圖進(jìn)行學(xué)習(xí)，感知“倍”也是兩數(shù)關(guān)系的一種，且與比大小有所不同。

2.經(jīng)歷從“具象”到“抽象”的概括過(guò)程，剔除非本質(zhì)因素的干擾

在第1課時(shí)中，學(xué)生在認(rèn)識(shí)到倍是一種新的兩個(gè)數(shù)量之間關(guān)系后，聚焦圖3的第3幅作品深入討論“什么是倍？”。

在第1課時(shí)活動(dòng)二教學(xué)過(guò)程中，聚焦第3幅作品，圍繞為什么說(shuō)“蘋(píng)果是香蕉的3倍”開(kāi)展討論。教師在此時(shí)為學(xué)生提供操作支架“圈一圈”，以及語(yǔ)言支架，即“香蕉有（）根，蘋(píng)果有（）個(gè)（），所以（）的數(shù)量是（）的數(shù)量的（）倍”，幫助學(xué)生清晰、準(zhǔn)確地建立“倍”的具象概念。

接著，筆者出示前測(cè)中學(xué)生的其他四幅作品（圖略）。筆者先帶領(lǐng)學(xué)生圍繞“這些數(shù)量是不是3倍關(guān)系？”“怎么看出3倍關(guān)系？”兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行辨析、討論、思考，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生用圈一圈的方式來(lái)清晰表達(dá)3倍關(guān)系，接著讓學(xué)生圍繞“這四幅圖都表示3倍關(guān)系，它們有什么共同點(diǎn)？”進(jìn)行討論。通過(guò)隱去圈內(nèi)的圖形，啟發(fā)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)3倍關(guān)系的特征（如圖4）。

最后讓學(xué)生重點(diǎn)圍繞圖3的第4幅作品進(jìn)行討論。這幅圖中，香蕉和蘋(píng)果可能有幾個(gè)？通過(guò)討論明確香蕉與蘋(píng)果的個(gè)數(shù)有無(wú)數(shù)種可能，從而剔除非本質(zhì)因素的干擾，逐漸將“倍”的具象概念過(guò)渡為“倍”的抽象概念。

3.經(jīng)歷從“認(rèn)識(shí)”到“運(yùn)用”的關(guān)系建構(gòu)，認(rèn)識(shí)倍中的三者關(guān)系

本單元第2課時(shí)活動(dòng)一和活動(dòng)二的具體設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)如圖5所示。

在第2課時(shí)的活動(dòng)一中，學(xué)生圍繞同一題材，提出三個(gè)不同的求倍數(shù)問(wèn)題，經(jīng)歷數(shù)量由少變多的過(guò)程，體驗(yàn)將數(shù)量圖轉(zhuǎn)化為線段圖的過(guò)程，用語(yǔ)言、畫(huà)圖、算式表示求倍數(shù)就是“求比較量里面有多少個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量”。橫向?qū)Ρ热齻€(gè)問(wèn)題的求解過(guò)程，總結(jié)比較量和標(biāo)準(zhǔn)量的關(guān)系。

活動(dòng)二則通過(guò)改變已知條件，引出求比較量和求標(biāo)準(zhǔn)量的兩種應(yīng)用。其中，求比較量被作為重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行探究，通過(guò)語(yǔ)言、畫(huà)圖、算式等方式體驗(yàn)求比較量就是求幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量是多少。在滲透求標(biāo)準(zhǔn)量的過(guò)程中，逐步完善“倍”的概念中三個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系建構(gòu)。

4.經(jīng)歷從“一般”到“特殊”的演變過(guò)程，了解倍的內(nèi)涵與外延

第3課時(shí)的安排是在整倍數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)上，對(duì)“比較量的數(shù)量”進(jìn)行調(diào)整。學(xué)生的學(xué)習(xí)順序是從“香蕉是蘋(píng)果的3倍”到“香蕉比蘋(píng)果的2倍多4個(gè)”或者“香蕉是蘋(píng)果的3倍少2個(gè)”，即當(dāng)數(shù)量不是整倍的時(shí)候，可以用幾倍多幾或者幾倍少幾來(lái)表示關(guān)系。這樣，學(xué)生對(duì)“倍”的認(rèn)識(shí)就有了新的突破。具體設(shè)計(jì)如圖6所示。

5.經(jīng)歷從“零散”到“結(jié)構(gòu)”的關(guān)聯(lián)過(guò)程，促進(jìn)倍的概念結(jié)構(gòu)形成

在經(jīng)歷了多次比較、擴(kuò)充概念學(xué)習(xí)活動(dòng)后，學(xué)生對(duì)“倍”的認(rèn)識(shí)雖是連續(xù)的，但不夠系統(tǒng)。因此在第4課時(shí)設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)課，以進(jìn)行溝通和整理。本課時(shí)活動(dòng)一設(shè)計(jì)如圖7所示。

在活動(dòng)二中，教師列舉了4種不同情境下成倍數(shù)的數(shù)量關(guān)系，旨在讓學(xué)生活用“倍”的概念解決問(wèn)題，體驗(yàn)不同情境中倍的表征。雖然在第2課時(shí)中學(xué)生對(duì)“倍”的三類(lèi)應(yīng)用已經(jīng)有了比較全面的學(xué)習(xí)，但第4課時(shí)不僅對(duì)倍的應(yīng)用進(jìn)行了鞏固，還和生活中其他倍的應(yīng)用進(jìn)行了統(tǒng)整與聯(lián)系。這不僅豐富了倍的概念的應(yīng)用，還完善了學(xué)生的學(xué)習(xí)建構(gòu)體系，使學(xué)生達(dá)到觸類(lèi)旁通的效果。

（三）階梯推進(jìn)：有序促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)提升

在本單元的學(xué)習(xí)中，從用圈一圈來(lái)理解倍，到用簡(jiǎn)單的符號(hào)畫(huà)數(shù)量圖來(lái)解決倍的問(wèn)題，再到用線段圖來(lái)解決倍數(shù)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的圖文轉(zhuǎn)化能力和用畫(huà)圖的方法來(lái)幫助思考的意識(shí)。整條線層層推進(jìn)，逐步深入，最終指向核心素養(yǎng)“幾何直觀”的培養(yǎng)。具體推進(jìn)路線如圖8所示。

1.關(guān)注標(biāo)準(zhǔn)量：細(xì)化畫(huà)圖方法的指導(dǎo)

這個(gè)單元指向的核心素養(yǎng)主要是“幾何直觀”，具體表現(xiàn)為用圖來(lái)表征倍的能力、用圖來(lái)培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力和數(shù)形結(jié)合意識(shí)。在前測(cè)中，筆者發(fā)現(xiàn)利用圖形表征能夠明顯幫助學(xué)生更好地理解兩數(shù)之間的關(guān)系，從而解決問(wèn)題。

先定標(biāo)準(zhǔn)量的指導(dǎo)。在第1課時(shí)中主要指導(dǎo)學(xué)生用圈的方法表示倍，引導(dǎo)學(xué)生先圈標(biāo)準(zhǔn)量，再圈比較量，有幾個(gè)這樣的標(biāo)準(zhǔn)量就是幾倍。在圈畫(huà)過(guò)程中，學(xué)生理解了“倍”的概念，建立了“倍”的模型，感受了“倍”與圖形之間的聯(lián)系。

數(shù)量圖到線段圖的指導(dǎo)。在第2課時(shí)中，主要落實(shí)從數(shù)量圖到線段圖的指導(dǎo)。對(duì)于比較小的數(shù)量之間的關(guān)系，學(xué)生習(xí)慣于用數(shù)量圖的方式呈現(xiàn)其關(guān)系。但是數(shù)量一旦增大，學(xué)生會(huì)自然而然地運(yùn)用線段圖代替數(shù)量圖。在后續(xù)的3個(gè)課時(shí)中，也持續(xù)用線段圖表示兩數(shù)之間的關(guān)系，便于更清晰地表達(dá)倍的關(guān)系，更快地建立“倍”的模型。

2.正逆結(jié)合：加強(qiáng)圖文轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練

在前面的課時(shí)中比較側(cè)重對(duì)文字轉(zhuǎn)化成圖形的指導(dǎo)，即指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)怎么畫(huà)圖。在第3課時(shí)，則側(cè)重對(duì)圖形轉(zhuǎn)化成文字的指導(dǎo)，讓學(xué)生看圖說(shuō)意思、看圖解決問(wèn)題、看圖編題等。

3.變式運(yùn)用：新問(wèn)題中培養(yǎng)畫(huà)圖意識(shí)

筆者在教學(xué)第4、第5課時(shí)側(cè)重指導(dǎo)學(xué)生用畫(huà)圖解決新問(wèn)題。當(dāng)學(xué)生遇到新問(wèn)題而束手無(wú)策的時(shí)候，畫(huà)圖能成為突破問(wèn)題、厘清數(shù)量關(guān)系的重要抓手。學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路，有助于把握問(wèn)題的本質(zhì)、明確思維。

教學(xué)中，教師要對(duì)教材進(jìn)行整體把握，形成抓本質(zhì)教學(xué)的能力，統(tǒng)籌安排，建構(gòu)路徑，階梯推進(jìn)，始終以核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為目標(biāo)促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)施。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

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［2］ 斯苗兒.整合與拓展課例精選［M］.上海：文匯出版社，2020.

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（責(zé)編 吳美玲）