淺談在高等數學教學中培養(yǎng)學生舉一反三能力

摘要：對于大學數學而言，提高教師的授課水平，培養(yǎng)學生的理性數學思維和創(chuàng)新能力，是當前大學數學的教學目的。本文通過對高等數學中比較典型的概念和案例等知識點分析探討，列舉出教師在高等數學教學中培養(yǎng)學生舉一反三能力的方法。通過這些方法，教師要做到引導學生主動思考，培養(yǎng)學生學會對所學知識點遷移類推，從多角度分析問題，最終做到觸類旁通、舉一反三。

關鍵詞：高等數學；教學；舉一反三

A?brief?discussion?on?cultivating?students'?ability?to?draw?inferences?from?one?case?in?the?teaching?of?higher?mathematics

Dong?Lihua

School?of?Physical?and?Mathematical?Science，?Nanjing?Tech?University，?JiangSuNanJing?211816

Abstract：?For?university?mathematics，?improving?the?teaching?level?of?teachers?and?cultivating?students'?rational?mathematical?thinking?and?innovation?ability?are?the?teaching?purposes?of?current?university?mathematics.?Through?the?analysis?and?discussion?of?typical?concepts?and?cases?in?higher?mathematics，?this?paper?lists?the?methods?for?teachers?to?cultivate?students'?ability?to?draw?inferences?from?one?case?to?another?in?the?teaching?of?higher?mathematics.?Through?these?methods，?teachers?should?guide?students?to?think?actively，?train?students?to?learn?to?transfer?analogies?to?the?knowledge?points?they?have?learned，?analyze?problems?from?multiple?angles，?and?finally?achieve?bypassing?and?drawing?inferences?from?one?example.

Keywords：?Higher?mathematics;?Teaching;?Draw?inferences

在教育部印發(fā)的《高等學校課程思政建設指導綱要》明確指出對于理學和工學類專業(yè)課程，教師要在課程教學中提高學生正確認識問題、分析問題和解決問題的能力，平時要注重培養(yǎng)學生探索未知、追求真理、勇攀科學高峰的責任感和使命感，激發(fā)學生科技報國的家國情懷和使命擔當。高等數學是高等院校理學和工學類相關專業(yè)的學生進行專業(yè)學習和研究的一門重要基礎理論課，它為學生提供了一種通用的思維方式，幫助他們學習和理解抽象的概念和復雜的系統(tǒng)，也潛移默化影響著學生的價值觀、人生觀和世界觀。對于教師而言，要牢牢抓住育人的主陣地即課堂教學，要在高等數學教學中培養(yǎng)學生舉一反三的能力，這樣不僅可以讓學生對該課程的知識點掌握的更快，理解的更深入，學得更輕松，還可以讓學生擁有數學獨特的理性思辨精神。《論語》：“舉一隅不以三隅反，則不復也”。舉一反三是指從一件事物的情況、道理類推而知道許多事物的情況、道理。形容善于類推，能由此及彼。高等數學的舉一反三是從常見的舉措和想法入手，提煉想法背后的原理，并依此類推，尋找解決問題的替代方案或從不同角度探索更多的可能性。它不僅能夠提高學習效率和思維能力，而且可以提高解決學習和生活中問題的能力。在高等數學教學中，要讓學生“舉一反三”，是需要教師花時間下功夫專研的。接下來說明教師應該如何在高等數學教學中培養(yǎng)學生舉一反三的能力。

對于高等數學的所有知識點，教師首先必須了解并且知道相關定義和定理的來龍去脈即背后的原理。要培養(yǎng)學生的舉一反三的能力，教師本身自己得學會舉一反三。舉一，是要做到對高等數學這門課透徹理解，明白所有相關知識的來龍去脈，然后再清晰地傳授給學生，這是“反三”的基。比如一元函數的連續(xù)、可導和可微之間的關系以及二元函數這三者之間的關，教師必須對每個概念熟悉掌握，清楚理解它們之間的聯系和區(qū)別，詳細比較一元函數和二元函數的微分學的相似和不同之處。只有教師吃透教材，深刻理解知識點，才能清楚的傳授給學生。

在高等數學教學過程中，教師首先不能機械的灌輸的知識，比如具體講授解題步驟時要著重介紹該題解法的原因，讓學生知其然也知其所以然。教師要多要求學生多問幾個為什么，不能只記住答案就行，要學會厘清思考問題，尋找答案背后的原理。其次，對于高等數學中相關知識的要點，教師也需要時刻點撥學生。要讓學生對高等數學的相關知識要點的定義和概念了解清楚不能只知道大概，只有基礎知識牢固才能提高對問題的辨析能力，從而做到舉一反三。下面舉例說明。

案例1?證明?.

對于這個極限的證明，是利用無窮小和正弦函數的有界性得到，即無窮小與有界函數的乘積仍為無窮小。這個極限的證明或者類似極限是在高等數學內容中經常碰到，學生證錯的概率大。很多學生證得答案是1是錯誤地利用下面這個重要極限，即

=1.

這個重要極限是在高等數學極限章節(jié)非常重要的，因此教師在教學的過程中應該把該極限證明過程詳細地解釋并且講解的過程中要引導學生主動對該問題進行引伸，比如探索當變量??趨向于無窮大該極限的存在性等。這樣就可以避免學生只會記住結論而不會巧妙利用該結論去解決問題。

案例2?設函數??在區(qū)間??上可導，且?，?證明：對任意的?，?總存在?a，b），?使得

解?令?，??由已知條件，可得到??因為?，?由導數零點定理，存在?，?使得?，?即

該題稱為導數介值定理，它的證明方法本質上是導數零點定理。在這里，需要注意的是連續(xù)函數的介值定理不適用，因為一階導數沒有假定連續(xù)。從而教學的過程中，教師應讓學生明白每個定理使用的前提條件以及要求學生對這兩個定理進行對比，從而可以更深刻理解它們之間的區(qū)別。

在高等數學教學過程中，教師要善于通過用反例進行教學。通過對相關性質舉出反例，能夠加強學生對基本概念、定理的理解和掌握，能夠幫助打破習慣的思維定勢，能夠促進思考擴大知識面。巧用反例可以有效地提升學生的逆向思維能力，而這種逆向思維能力又往往會促進對學生創(chuàng)新思維能力的培。學會反例構造的思維方法可以幫助學生認識問題的本質，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力，激發(fā)學生的創(chuàng)新意識，從而做到觸類旁通，舉一反三。

案例3?若級數??收斂，則必有?=0.?那么若有?能否推出級數??收斂。若??則級數??必發(fā)散。同樣反之是否成立。

反例展示：調和級數??是發(fā)散的，但是??=0.?從而可得上述反之都不成立。

案例?4?偏導數存在的多元函數不一定可微。

解?反例：考察函數

易得??計算得到

可得

因此該函數在點??處不可微。從而可見多元函數偏導數存在只是函數可微的必要條件。

在教學中，使用簡單明了的反例便于記憶，也可以幫助學生借助具體實例理解抽象的結論。在教學中多列舉出一些反例以及反例構造的緣由是可以幫助學生認識知識的本質，從而可以靈活運用知識，進而對其進行創(chuàng)新。

在高等數學教學過程中，教師要引導學生多角度思考問題，尋找多種解決問題的方法。對于同一個知識點，從不同的角度去講解，激發(fā)學生思考，擴大學生知識面。從問題的不同方面、不同角度思考，才能在掌握“一”的本質下做到“反三”。

案例5?設?，?證明?<.

解法一?令?（-）-2?可得

以及

由于??可推出??再根據??得到??因為??所以??則有?<.

解法二?令??由微分中值定理，?使得??因為

，?所以?，?故有

對于該題，教師應該總結出關于兩個常數的不等式通用的方法。一個是使其中一個變量為變量??構造輔助函數，利用單調性證明。另外一個常用的方法就是微分中值定理。對于同一個問題，從不同角度思考，尋找不同解決方法，歸納總結其中原理，才可以觸類旁通，舉一反三。

在高等數學的教學過程中，教師講解的過程中要用啟發(fā)式，由淺入深，循循善誘，啟發(fā)學生對問題進行推廣，引申或發(fā)。這樣才會使得學生懂得一個問題推廣到熟悉一類問題，即個別類推到一般。這可以讓學生在掌握該知識的基礎上對其進行遷移類推并且創(chuàng)新，從而做到活學活用。

案例6?求??之值。

解?===5.

對于該題，教師在講解時可以引導學生進行推廣和引申，提出下面的例子。求??之值和??之值。這兩個例子和案例5解法類似。對案例5進行這種推廣，學生對該問題也會有更全面的認識，思考問題也會更加深入透徹。

案例?7?討論反常積分??的斂散性?.

解?由于??則??是被積函數在積分區(qū)間??中唯一瑕點。計算可得

故得到這個反常積分發(fā)散。

同樣對于該題，教師在講解時可以引導學生把它引申到一般，提出下面的例子。

案例?8?求反常積分??的斂散性?（，?且??）.

解法和案例?6類似，立即可得

故當??時，這個反常積分發(fā)散。當?1?時，這個反常積分收斂。

總的說來，上述列舉的在高等數學教學中培養(yǎng)舉一反三能力的方法本質上是同步挖掘出思考的深度和廣度。這里的深度是垂直思考，廣度是發(fā)散性思考即舉一反三的能力。垂直思考是一種邏輯式思考，講究順序嚴謹、邏輯推理的合理性。也就是思考的深度，養(yǎng)成追根究底的精神，運用判斷力一步步地進行，每一個步驟都必須說得出原因，而且要正確。強調深入問題找出答案，并把焦點放在找出最好的方法上。發(fā)散性思考也就是水平思考，意思就是加大思考的廣度，突破自我設限的思考。在思考的過程中強調通過自由聯想讓思考像脫韁野馬一樣，想到什么寫什么。強調思考的數量與流暢度，想得越多越好。這種能力，在我們解決問題時，并不是只找出一個正確答案。思考不是一種單向或者是單層次的思考，而是形成一種思考的網絡。在解決問題時，應該避免完全依賴垂直思考，要結合輔助以水平思考方法。

結語

在高等數學教學中，培養(yǎng)學生舉一反三的能力是教師教學的任務之一。但是這不是一蹴而就的事情，需要師生持之以恒。教師在教學內容和教學方式上多琢磨，引導學生主動思考，讓學生學會對所學知識點遷移類推，從多角度分析問題。當然，學生自己也要主動多和教師交流，學會獨立思考和自主探索，自己尋找解決問題的方法。只有這樣學生終將在高等數學課程學習過程中養(yǎng)成舉一反三的習慣。

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作者簡介：董麗華（1991—?），女，漢族，江西撫州人，博士，講師，研究方向：基礎數學。