利用模型思想巧解數學題的策略

孫鵬飛

摘? 要：模型思想是培養學生數學應用能力的重要思想方法，是與數學建模競賽相聯系的，并逐步在中小學教育中得到越來越多的重視.高中數學的理論概念和生活實際的聯系較為緊密，教師指導學生在理解和掌握必要的數學知識的基礎之上，培養學生關于數學的模型思維以及將數學理論和生活實際相結合的數學能力.在新課改的實施進程中，數學思想的應用也被納入了高中數學課堂的教學目標中.如何利用模型思想解決高中數學的具體問題，從而達到優化解決問題的目的，是高中數學教師需要思考的問題之一.

關鍵詞：模型思想；簡化假設；模型識別

建模通俗地講就是建立模型，本質地說是一種思考方法，是對實際問題進行抽象、假設、簡化，運用適當的數學工具得到的一個數學框架或結構，進而求解模型、驗證模型解的全過程.而建模思想就是利用模型的結論、模型的假設、模型的特征、模型的背景等去解決問題的一種方法，下面我將分享建模思想在解題中的一些初步應用.

1? 模型結論的識別

1.1? 當且僅當

^^（2014年高考數學全國Ⅰ卷理科·16）&&已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C的對邊，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則△ABC面積的最大值為??? .

解析：顯然面積模型為三角形，要求面積最大，往往會想到等邊三角形.均值不等式定理就是利用“當且僅當”實現的，所以這道題只需要驗證60°的存在問題.顯然角為60°成立，所以面積為3.這樣的秒殺就是建模思想的充分利用.

1.2? 三點共線

圖1

（1）如圖1，已知橢圓C：x27+y23=1的左、右焦點分別為F1，F2，點M在橢圓C上，點N（-1，1），則|MN|+|MF1|的最大值為??? .

解析：利用橢圓的定義轉化，由幾何法求出|MN|+|MF1|的最大值.|MN|+|MF1|=|MN|+27-|MF2|≤|NF2|+27=

（2+1）2+（0-1）2=10+27（當M，F2，N三點共線時，等號成立），所以|MN|+|MF1|的最大值為10+27.

（2）如圖2，已知橢圓C：x24+y23=1的右焦點為F，點P在橢圓C上，若點A（5，8），則|PA|-|PF|的最小值為??? .

圖2

解析：由橢圓的定義知，|PF1|+|PF|=4，所以|PF|=4-|PF1|，

因此|PA|-|PF|=|PA|-（4-|PF1|）=|PA|+|PF1|-4，而|PA|+|PF1|的最小值是當P，A，F1三點共線時AF1的長，因此|PA|-|PF|≥|AF1|-4.又F1（-1，0），因此|AF1|=（5+1）2+82=10，所以|PA|-|PF|≥6，因此|PA|-|PF|的最小值為6.

2? 假設簡化的識別

2.1? 模型假設

如圖3，已知橢圓：x2a2+y2=1（a＞1）的離心率為12，則a等于（? ）.

A. 233

B. 2

C. 3

D. 2

圖3

解析：常規解法為a2-1a=12，兩邊平方求解.當有模型假設時，就變為比例關系13=a2，解得a=233.

2.2? 簡化假設

^^（2023年高考數學全國Ⅰ卷理科·21）&&甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

2024年第3期數學建模

數學建模2024年第3期

（1）求第2次投籃的人是乙的概率.

（2）求第i次投籃的人是甲的概率.

（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則E（ni=1Xi）=ni=1qi，記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數為Y，求E（Y）.

解析：第一問其實就是第二問必要的簡化與引子，第二問只需要模型假設即可.設甲第i次投籃的概率為pi，則甲第（i+1）次投籃的概率為pi+1=0.6pi+0.2（1-pi），通過構造即可求解，但是閱卷的零分率卻很高，不得不讓我們反思，數學建模教學存在嚴重的不足.

3? 特征結構的識別

^^（2023年高考數學全國Ⅰ卷理科·16）&&如圖4，已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2.點A在C上，點B在y軸上，F1A⊥F1B，F2A=-23F2B，則C的離心率為??? .

圖4

解析：從-23的特征結構出發，結合對稱性建立直角模型.假定AF2=2，則BF2=3，BF1=3，AF1=4，2a=2，a=1，由cosA=45=16+4-4c216=5-c24，c2=95，所以

ca=

c2a2=355.

參考文獻

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