創新定義設置，數學思維發散

梁麗

摘? 要：高考綜合改革的不斷推進與平穩過渡，是“三新”背景下高考改革的一個重要動向.本文結合2024年九省聯考數學試卷中的一道最值求解的填空題，以創新定義的形式來設置，從不同思維來切入與發散，剖析問題的內涵與實質，探求問題的求解與突破，引領并指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：創新定義；思維；最值

由教育部命題考試中心于2024年1月命制的九省聯考數學試卷填空題中，

壓軸題是一道以創新定義為情境，結合三變量的不等關系來創設，進而確定代數式的最值問題，是集基礎性、綜合性、應用性、創新性等于一體的代數問題，值得深入研究.

1? 問題呈現

^^（2024年九省聯考高考數學適應性試卷·14）&&以maxM表示數集M中最大的數.設0

此題是考查涉及三個變量所對應的多個代數式間的最值問題，一直是高考命題中的一類熱點與難點之一.此類問題的設置場景多樣，本題通過新定義“maxM”來創設，同時結合兩個并列的不等條件合理設置，優化問題場景，開拓創新性應用.

2? 問題破解

2.1? 平均值原理思維

方法1：（換元法）

解析：設m=a，n=b－a，p=c－b，q=1－c，則有m+n=b，p+q=1－b，此時max{b－a，c－b，1－c}=max{n，p，q}.

由b≥2a或a+b≤1可知，n≥m或2m+n≤1，

可得max{n，p，q}≥maxn，p+q2=maxn，1-b2=maxn，1-（m+n）2.

若n≥m，則有maxn，1-（m+n）2≥n+1-（m+n）22=1+n-m4≥14.

若2m+n≤1，由于n+4×1-（m+n）2=2－（2m+n）≥1，則有maxn，1-（m+n）2≥n+4×1-（m+n）25=2-（2m+n）5≥15.

綜上分析，可知maxn，1-（m+n）2≥15，當且僅當2m+n=1且n=15，即a=25，b=35，c=45時，等號成立，所以max{b－a，c－b，1－c}的最小值為15.

解后反思：合理消元是處理多變量代數式的最值問題中最為常用的一類技巧方法，而結合代數式的結構特征，有時通過換元可以給消元開拓一個全新的局面，也是處理問題的一種“通性通法”.本題中消元的基本工具就是利用平均值的性質max{a，b}≥a+b2加以合理放縮，借助巧妙的配湊與放縮，從而實現消元的目的.

方法2：（分類討論法）

解析：設M=max{b－a，c－b，1－c}.

由平均值原理，可得M≥（b-a）+（c-b）+（1-c）3=1-a3，整理，得a≥1－3M.

又M≥（c-b）+（1-c）2=1-b2，整理，得b≥1－2M.

若b≥2a，結合b－a≤M，則知M≥b－a≥a≥1－3M，解得M≥14.

若a+b≤1，則知1－2M≤b≤1－a≤1－（1－3M）=3M，解得M≥15.

綜上可知，M≥15，當且僅當a=1－3M=25，b=1－2M=35，c=45時，等號成立.

所以max{b－a，c－b，1－c}的最小值為15.

解后反思：挖掘創新定義的內涵，結合題設條件加以合理推理與論證，往往是解決此類問題最為常見的基本思路.而本題中，結合兩個并列的涉及參數取值的不等式條件，推理時需要加以分類討論，當然在推理分析時離不開不等式的基本性質的靈活應用.而本題的主要解題思路就是多次利用平均值原理（即若干個數的平均值介于最大值和最小值之間）即可嚴格論證.

2024年第3期解題探索

解題探索2024年第3期

2.2? 不等式性質思維

方法3：（不等式性質法）

解析：設M=max{b－a，c－b，1－c}，由創新定義知，M≥b－a，M≥c－b，M≥1－c.

若b≥2a，則b－2a≥0，對不等式M≥b－a，M≥b－a，M≥c－b，M≥1－c同向相加，可得4M≥1+b－2a≥1，從而M≥14.

若a+b≤1，對不等式M≥b－a，M≥c－b，M≥c－b，M≥1－c，M≥1－c同向相加，可得5M≥2－a－b=2－（a+b）≥1，從而M≥15.

綜上可知，M≥15，當且僅當a+b=1且b－a=c－b=1－c，即a=25，b=35，c=45時，等號成立，所以max{b－a，c－b，1－c}的最小值為15.

解后反思：回歸創新問題的本質以及相應代數式的結構特征，利用不等式的基本性質來分析與處理，是問題考查的本質所在.而該解法中，通過不同條件下不等式的情形，合理構建與之相吻合的不等式個數，進行同向相加處理，達到巧妙化歸與轉化的目的，是該解法的關鍵所在.

2.3? 數形結合思維

方法4：（數形結合法）

解析：設M=max{b－a，c－b，1－c}.

如圖1所示，要確定M的最小值，即確定圖中b－a，c－b，1－c所對應的三條線段中最長的線段長的最小值.

圖1

首先，假設固定參數a所對應的點的位置，此時1－a為定值，此時所分析的b－a，c－b，1－c所對應的三條線段的總長度為定值1－a.

依創新定義知，b－a≤M，c－b≤M，1－c≤M，這三個不等式同向相加，可得1－a≤3M，即M≥1-a3，亦即M=max{b－a，c－b，1－c}≥1-a3.

而要求1-a3的最小值，只要求參數a的最大值即可，取b－a=1-a3，可得b=2a+13.

結合題設條件b≥2a或a+b≤1，則有2a+13≥2a或a+2a+13≤1，解得a≤14或a≤25.

所以參數a的最大值為25，此時M的最小值為1-a3=15.

所以max{b－a，c－b，1－c}的最小值為15，當且僅當a=25，b=35，c=45時，等號成立.

解后反思：根據創新定義的內涵，化“代數”為“幾何”，利用幾何圖形直觀來輔助推理，有時也是解決此類問題中比較常用的一種基本思路.

3? 教學啟示

3.1? 改革題量，引導備考

2024年九省聯考數學試卷，測試卷減少了試題數量，增加了解答題的分數占比，對數學思維過程的考查有所加強.由于試題數量減少，考查知識內容的覆蓋面受到一定影響，測試卷著重考查數學學科核心素養，充分體現基礎性、綜合性、應用性、創新性的考查要求，不受限于對某些具體知識內容的考查.

而測試卷改革的目的，其根本就是靈活改變試題順序，防止猜題押題，鼓勵考生注重素質教育，消除應試教育的弊端.可以說，2024年九省聯考數學試卷對數學高考改革做了一次有益的探索，值得關注.總結它的經驗和實踐效果，讓我們對今后的復習備考以及數學高考改革充滿期待.

3.2? 注重思維，發展素養

從以上問題（2024年九省聯考數學試卷第14題）的設置與考查的知識，也可以看出，高考改革對高中數學教學的指導更加明確，注重數學思維品質的培養，發展學生的關鍵能力，全面培養學生的學科核心素養，引導育人本位，引導基礎教育扎實實施素質教育.

3.3? 總結思路，歸納技巧

一道有價值、優美的數學題，往往是困難的題目，但衡量一道數學題目的優美及難易程度卻因人而異，比自身目前解題功力略高一籌，經過一段時間的思索，有了想法，有了思路，一番苦功做下來，一番苦汗流淌下來，困難問題的解答必定是優美的，而優美的解答必定助益于長時間思維的千錘百煉.

易見，其解題策略絕大部分并非全靠套路，而多是一題一術，就像好的木匠，因料施工；就像成熟的將軍，因勢施略、見招拆招，無招勝有招.思維如同歷經了一番春雨、扎根、抽苗，排除萬難，最終攻克這道難題，似是打通七經八脈，如感真氣流貫全身，他強由他強，清風拂山崗，他橫由他橫，明月照大江.故而這種數學題目對能力提升有難以估計的巨大功用，可謂之，好的數學題.