圓錐曲線一類斜率乘積為定值、動點軌跡為圓的優美性質

重慶市綦江中學(401420) 晏炳剛 劉燕

圓錐曲線運動試題模型中,隨著點或線的運動,整個體系中關聯的點、線、角度、斜率、距離、面積等跟著聯動起來.運動變化過程中幾何特征或數值的不變性是值得思考和關注的.因此定點、定值等不變特征問題成為這類題目教學研究、考試命題的重要素材.基于此,本文對一道高三聯考雙曲線題目作背景探究和類比推廣,得到了運動中不變性即斜率乘積為定值和到定點距離為定長(點在圓上)的結論.

1 題目分析

題目(23 年11 月浙江9+1 聯盟高三聯考) 已知雙曲線E:=1(a ＞0,b ＞0)過點Q(3,2),且離心率e=2.F2,F1是雙曲線E的上下焦點,雙曲線E在Q處的切線與圓F2:x2+(y-c)2=10 交于A,B兩點.

(1)求ΔF1AB面積;

(2)點P為圓F2上的一動點,過P作雙曲線E的兩條切線,切點分別為M,N,記F1M,F1N的斜率分別為k1,k2,證明k1k2為定值.

分析第(1)問先求雙曲線方程為y2-=1,再由切點求出切線方程為2y-x=1,最后由切線方程和圓方程聯立求得面積為第(2)問是因點P在圓F2上運動而產生的運動系統,并證明運動系統中的不變性即斜率乘積為定值.解答此問路徑為: 先設P坐標P(x0,y0),并由切點弦知識寫出切點弦MN方程,再聯立直線MN與雙曲線方程得韋達定理,最后用韋達定理和P(x0,y0)滿足的式子代入k1k2的式子化簡得定值為詳細過程略.

2 結論探究

中國高考評價體系要求“設置新穎的試題呈現方式,促使學生主動思考,發現新問題、找到新規律、得出新結論”[1],結合閱讀文獻[2-3]的研究思路,做完此題,不難有以下思考:

(1)在一般的雙曲線背景下是否有斜率積為定值;

(2)點P運動的圓F2半徑有無具體要求;

(3)雙曲線焦點在x軸后,結論會有什么變化.帶著這些問題研究后有下面結論.

結論證明過程略,由結論知道焦點在x軸和y軸時,斜率積互為倒數,且式子結構都為有關離心率的一個對稱優美簡潔的式子.

3 橫向類比

橫向類比到橢圓中有以下結論3 和4.

需要注意的是結論1-4 中,沒有指出的特殊情況即直線中有一條斜率不存在時,此刻另一條直線斜率為0.

4 逆向探索

需要說明的是,結論5 和8 中,特殊情況即直線F1M,F1N中有一條斜率不存在時,另一條直線斜率為0,此刻正好可以把P的軌跡補足為整圓.

5 優美結果

由8 個結論知道:

(1)焦點在x軸時,雙曲線和橢圓結論是一致的;焦點在y軸,結論也是一致的.區別是焦點在x軸和在y軸時,斜率積互為倒數.

(2)點P所在圓半徑平方為2(a2+c2),此結構形式簡潔優美.

(4)直線F1M,F1N中當一條斜率不存在時,另一條斜率為0.在橢圓背景中,當考慮這個因素,那么P的軌跡為整圓.

6 結束語

圓錐曲線運動體系下的定點定值定線問題,以其題目多樣、背景豐富、理論經典、結果優美而得以長盛不衰.師生在解析幾何的題目探究中,無論題目運動變化怎樣,尋找變化中的不變性,得到優美簡潔的結論,是數學解題的美妙所在,也是培養訓練學生數學關鍵能力的重要途經.教師在此類題目教學上,學生在此類題目的解答里,就不能僅僅思考一般解答過程,更應探究一般情況下的變化中的不變性,若能尋找優美簡潔結論更好.只有如此,才能高效培養學生核心素養,并使得考題研究真正能走到“立德樹人、服務選材、引導教學,實現高考的核心功能”這一步.