協同擬凸函數的Riemann-Liouville分數階積分不等式

鄭 茜，王淑紅

（內蒙古民族大學數學科學學院，內蒙古 通遼 028043）

函數的凸性是一個經典的概念，其在數學規劃論、博弈論、數理經濟學、逼近論、變分學、最優控制論等領域具有基礎性的作用［1］，而在經濟學中大量理論和實際問題所遇到的函數并非是經典的凸函數類，只能退而求其次，考慮較弱的廣義凸性。1949年DE［2］提出歷史上第一種廣義凸函數，FENCHEL［3］于1951年將其命名為擬凸函數。擬凸性是凸性的放寬，保留了凸函數的一些重要性質。

2001年DRAGOMIR［4］給出了平面R2上二元函數的凸性和協同凸性的定義，并建立了二元協同凸函數的Hermite-Hadamard型積分不等式。2012年，?ZDEMIR等［5］定義了協調擬凸函數，并建立了協同擬凸函數的Hermite-Hadamard 型積分不等式。2014年，SAR?KAYA［6］利用Riemann-Liouville 分數階積分建立了協同凸函數的Hermite-Hadamard型積分不等式。筆者將利用平面R2上二元函數的協同擬凸性建立若干個協同擬凸函數的Riemann-Liouville分數階積分不等式。

1 預備知識

定義1［5］設f:Δ=[a,b] ×[c,d] ?R2→R是平面R2的一個二元函數，對于任意(x,y),(z,w)∈Δ 和λ∈[0 ,1] ，如果不等式

成立，則稱二元函數f為Δ 上的擬凸函數。

定義2［5］設二元函數f(x,y):Δ=[a,b] ×[c,d] ?R2→R，對于y∈[c,d] ，定義偏映射fy:[a,b] →R,fy(u):=f(u,y)；對于x∈[a,b] ，定義偏映射fx：[c,d] →R，fx(v):=f(u,v)。

若偏映射fy(u)和fx(v)分別在[a,b]和[c,d]上是凸函數，則稱二元函數f(x,y)為Δ 上的協同擬凸函數。

協同擬凸函數的等價定義如下：

定義3［5］設f:Δ=[a,b] ×[c,d] ?R2→R是平面R2的一個二元函數，對于任意(x,y),(z,w)∈Δ 和s,t∈[0 ,1] ，如果不等式f(tx+(1-t)z,sy+(1-s)w)≤max{f(x,y),f(x,w),f(z,y),f(z,w)}成立，稱二元函數f(x,y)為Δ 上的協同擬凸函數。

顯然若二元函數f(x,y)為Δ 上的擬凸函數，則其也為Δ 上的協同擬凸函數。反之不一定成立。

定義4［6-9］設f∈L1[a,b] ，其中階α＞0 和a≥0，Riemann-Liouville積分Jaα+f和Jbα-f被定義為

和

其中Γ(α)是Gamma函數。

定義5［6-9］設f∈L1([a,b] ×[c,d] )，其中階α,β＞0 和a,c≥0，Riemann- Liouville積分和被定義為

和

其中Γ(α)是Gamma函數。

顯然有

定理1［10-11］（Hermite-Hadamard不等式）設函數f(x)是區間I?R上的凸函數，a,b∈I，a＜b，則

定理2［6］設f:Δ:=[a,b] ×[c,d] ?R2→R在Δ 上是協同擬凸函數，且0 ≤a＜b,0 ≤c＜d,f∈L1( Δ )，則

引理1［6］設f:Δ:=[a,b] ×[c,d] ?R2→R在Δ上是偏可微映射，且0 ≤a＜b,0 ≤c＜d。若，則

其中

2 主要結論

定理3設f:Δ:=[a,b] ×[c,d] ?R2→R在Δ 上是偏可微映射，且0 ≤a＜b,0 ≤c＜d。若在Δ 上是協同擬凸函數，則

其中

證明由引理1和的協同擬凸性，有

推論1在定理3的條件下，

定理4設f:Δ:=[a,b] ×[c,d] ?R2→R在Δ 上是偏可微映射，且0 ≤a＜b,0 ≤c＜d。若在Δ 上是協同擬凸函數，則

其中

證明由引理1、H?lder不等式及的協同擬凸性可以得到

推論2在定理4的條件下

定理5設f:Δ:=[a,b] ×[c,d] ?R2→R在Δ 上是偏可微映射，且0 ≤a＜b,0 ≤c＜d。若在Δ 上是協同擬凸函數，則

其中

證明由引理1和的協同擬凸性，有

推論3在定理5的條件下，

3 結論

結合Riemann-Liouville分數階積分和經典不等式，建立了若干協同擬凸函數的Riemann-Liouville分數階積分不等式，推廣了文獻［4］和文獻［6］的相關結論。