兩種高階非線性偏微分方程組守恒律的構造

劉亞峰，額爾敦布和，2，趙巧紅

（1.內蒙古工業大學理學院，內蒙古 呼和浩特 010051；2.呼和浩特民族學院數學科學學院，內蒙古 呼和浩特 010051）

守恒律是非線性偏微分方程組（PDEs）最重要的解析性質之一，可以幫助對高階PDEs進行求解和約化。學者們從20世紀初開始對PDEs守恒律進行研究，經過一個多世紀的不懈努力已經建立了乘子法［1-3］、對稱作用于已知守恒律［4］、遞推公式［5］、對稱-共軛對稱‘對’方法［6-9］以及Ibragimov新守恒定理［10-12］等一系列有效方法。此外，自20世紀80年代以來隨著數學軟件的不斷發展，陸續問世了Maple、Mathematica 等數學軟件，成為推導PDEs守恒律的強有力工具。筆者將分別使用Ibragimov 新守恒定理和對稱-共軛對稱‘對’方法推導3階形變Boussinesq型方程［13］和耦合KdV方程［14］的守恒律，并對2種方法進行分析比較，揭示2種方法的內在聯系。

1 預備知識

現給出一個PDEs

其中自變量x=(x1,x2,…,xn)，因變量u=(u1,u2,…,uN)，且?ku表示u對x的所有k階偏導數（k為正整數），即（以下表示為）。

下面，給出幾個定義：

定義1定義

為xi的全導數算子，其中i,j,k=1,2,…,n，α=1,2,…,N。

定義2假設

為PDEs（1）的一個單參數Lie點變換群，其中ξ(x,u)=，η(x,u)=，并且可以使PDEs（1）保持不變，則Lie點變換群（3）稱為PDEs（1）的點對稱。

點對稱（3）的無窮小生成元為：

下面分別是無窮小生成元式（4）的特征形式（5）和k階延拓式（6）：

定義3假設u(x)為PDEs（1）的解，則存在下面的散度表達式

式（7）中Φi[u]稱為局部守恒量。

2 對稱-共軛對稱‘對’方法

對稱-共軛對稱‘對’方法是利用PDEs線性化系統的解以及PDEs線性化系統的伴隨系統的解來推導PDEs的守恒律。具體的步驟是：（a）通過Fréchet導數將PDEs線性化，求得PDEs的線性化系統；（b）對線性化系統使用共軛Fréchet導數，求得其共軛系統；（c）求解PDEs的線性化系統，即將PDEs擁有的點對稱轉化為局部對稱的特征形式；（d）求解PDEs線性化伴隨系統；（e）將（c）、（d）求得的解任意配對代入給出的斜對稱公式中構造出PDEs的守恒律。

下面，介紹上述方法構造PDEs守恒律所涉及的一些計算公式。

1）步驟（a）中提到的Fréchet導數，其計算公式為

其中U(x)=(U1(x),…,Um(x))，V(x)=(V1(x),…,Vm(x))為2個任意的函數。

由于式（4）是點對稱（3）所對應的無窮小生成元，而式（3）是PDEs（1）的點對稱，則公式（8）中為確定方程的解，所以有（其中也可以由公式（5）給出）。

2）步驟（b）中提到的共軛Fréchet導數，其計算公式為

其中σ=1,…,r，且ω(x)=(ω1(x),…,ωr(x))是任意函數。

設U(x)=u(x)為PDEs（1）的解，如果它滿足[u]ωσ[u]=0,ρ=1,…,N，則函數集就是PDEs（1）的共軛對稱。

3）對于PDEs（1），公式（8）中求得的與公式（9）中求得的組成的任意一對滿足守恒定律恒等式：

其對應守恒量為：

其中j1,…,jq和i1,…,ip是指標的有序組合，且1 ≤j1≤…≤jq≤i≤i1≤…≤ip≤n。

下面，將利用上述方法構造2個高階PDEs的守恒律。

2.1 3階形變Boussinesq型方程的守恒律

Boussinesq方程描述水波的運動情況，在很多非線性系統里面都能找到其變形方程。下面，將構造3階形變Boussinesq型方程［13］

的守恒律。

根據式（8）、式（9）分別求得方程組（12）的線性算子和共軛算子

可求得方程組（12）擁有以下4個點對稱：

再結合公式=ηρ(x,u)-，使得方程組（12）對應的線性系統的解：

由公式[u]ωσ[u]=0 及共軛算子（14）可以得到關于函數的共軛系統

經求解共軛系統（17），得到如下4組解：

由解（16）、解（18）可以看出方程組（12）有4組對稱特征形式和4組共軛對稱，它們可以有16種配‘對’，也就是有16 組對稱-共軛對稱‘對’。以解（16）中這一對為例，將這一對代入公式（11）中，可得如下守恒量：

將其他組合也分別代入公式（11）可得其他6個非平凡守恒量：

2.2 耦合KdV方程的守恒律

KdV方程是用來刻畫水波運動狀態的非線性偏微分方程，隨著對KdV方程的深入研究，逐漸發現了耦合KdV方程，而耦合KdV方程描述一些長波在相互作用時傳播的運動狀態，并且這些長波都具有不同的色散關系。耦合KdV方程在物理領域有廣泛的應用，下面將構造以下耦合KdV方程

的守恒律。其中q、r、u、v是4個位勢函數，k為任意常數。

根據公式（8）求得方程組（21）的線性算子：

其中

根據公式（9）求得方程組（21）的共軛算子：

其中

可求得方程組（21）擁有以下5個點對稱：

經求解共軛系統（26），得到如下5組解：

由解（25）、解（27）可以看出方程組（21）有5組對稱特征形式和5組共軛對稱，它們可以有25種配‘對’，也就是有25組對稱-共軛對稱‘對’。以解（25）中這一組合為例，將這一組代入公式（11）中，可得如下守恒量：

將其他‘對’也分別代入公式（11）可得其他6組非平凡守恒量：

3 Ibragimov新守恒定理的主要思想和運用

著名學者Ibragimov為了克服Noether定理［15］依賴變分對稱的局限性而提出了新守恒定理。

下面，介紹一些該方法相關的定義和定理。

定義4PDEs（1）的拉格朗日函數表示為

式中{vα} 為一個新的因變量，稱為勢函數組。

歐拉微分算子的定義為

將上述算子作用于拉格朗日函數公式（30），可以得到PDEs（1）所對應的共軛方程組

定理PDEs（1）的任意一個點對稱都能得到一組守恒律，其對應守恒向量公式為

其中對稱特征形式wα=ηα-ξjuαj。

下面，將利用該方法構造3階形變Boussinesq型方程和耦合KdV方程的守恒律。

3.1 3階形變Boussinesq型方程的守恒律

通過將方程組（12）代入公式（30），可以得到其拉格朗日函數為

式中m=(t,x,u,v)，n=(t,x,u,v)為勢函數。

根據公式（32），得到方程組（12）的共軛方程組為

求解方程組（35），得到如下解

以式（15）中X1和解（36）中為例，將它們代入公式（33）中，可得如下守恒量：

3.2 耦合KdV方程的守恒律

通過將方程組（21）代入公式（30），可以得到其拉格朗日函數為

其中m=(t,x,u,v,q,r)，n=(t,x,u,v,q,r)，h=(t,x,u,v,q,r)，l=(t,x,u,v,q,r)。

根據公式（32），得到方程組（21）的共軛方程組為：

求解方程組（40），得到如下解

以式（24）中的X3和解（41）中(m1,n1,h1,l1)=(0,v,0,r)為例，將這一對代入公式（33）中，可得如下守恒量：

4 結論

筆者運用對稱-共軛對稱‘對’方法和Ibragimov的新守恒定理推導出2個高階非線性偏微分方程的守恒律，通過觀察2個方程的守恒定律發現(Φtk,Φkx)=(Ψtk,Ψxk)(k=1,2,…,7),說明2種方法構造的守恒律完全一致。其中，對稱-共軛對稱‘對’方法是借助Fréchet導數以及共軛Fréchet導數計算出目標PDEs的對稱特征形式和共軛對稱，然后任意配對代入公式（11）導出目標PDEs的守恒律；而Ibragimov新守恒定理主要是基于拉格朗日函數、PDEs的點對稱以及其共軛系統的勢函數，借助公式（33）推出目標PDEs的守恒律。雖然兩者在原理上是不一樣的，但可以看出對稱-共軛對稱‘對’方法中共軛系統的解ω^σ跟Ibragimov新守恒定理中共軛系統的勢函數(mj,nj)（或(mj,nj,hj,lj)）是相同的，并且在2種方法的計算過程中也可以看出對稱一共軛對稱‘對’方法中與新守恒定律中[Xi,(mj,nj)]（或[Xi,(mj,nj,hj,lj)]）相互對應，說明2種方法是等價的，同時也驗證了2種方法推導高階PDEs守恒律的可行性和可操作性。