關于均值不等式拼湊簡化方法的舉例探究與思考

馮雯霞

［摘? 要］ 均值不等式可用于最值問題中，具體求解時可采用合理的方法進行拼湊簡化，構建滿足均值不等式使用的形式. 常見的均值不等式拼湊簡化方法有“定積”和“定和”、常數代換、代入消元、換元構造以及連續均值. 文章利用實例解析構建思路，結合教學實踐提出相應建議.

［關鍵詞］ 均值不等式；方法； 拼湊；連續

均值不等式廣泛應用于最值問題中，可利用其性質特征直接求解得到答案. 具體使用時需要關注問題條件，合理配湊簡化方法. 均值不等式的配湊方法較多，下面結合實例具體講解.

■ 配湊簡化方法的探究

方法1 “拼湊定和”與“拼湊定積”.

歸納總結 上述求解立體幾何中的線段最值問題時，采用的是均值不等式的“拼湊定和”模型. 使用“拼湊定和”模型與“拼湊定積”模型求最值，需要先觀察積與和哪個是定值，然后根據“和定積動，積定和動”來完成. 不滿足模型的可以拼湊補形. 對于與函數有關的題型，還可以用到配系數法、正負變法、添項法、拆項法等.

方法2 常數代換.

歸納總結 本題為圓錐曲線中與特征參數相關的最值問題，解題關鍵是掌握圓上的點到定點距離的最值求解方法，推導a，b之間的關系，利用常數代換配湊出符合均值不等式的形式.

利用常數代換拼湊出符合均值不等式的形式，關鍵是找到有常數的式子（最好是結果為1的式子）. 解題時需要注意兩個方面：①注意目標代數式的結構特征，確認是否需要整體乘“1”；②注意常數的獲得方法，可根據已知代數式的結構特征靈活處理.

方法3 代入消元.

代入消元，即求解多元不等式、多元函數最值問題時，先用一個參數來表示其他參數，減少變量的個數，再用均值不等式獲得答案. 解題時要注意“一正、二定、三相等”這三個核心條件.

歸納總結 上述求解代數式的最大值時，采用的是代入消元法. 代入消元的方式有多種，常用的有：①把其中一個變量用其他變量表示后代入消元；②對齊次式構造比值消元.

方法4 換元構造.

換元構造對圓錐曲線中的無理數問題有著廣泛應用，具體求解時可先整理代數式，關注其結構特征，提取相關變量，再進行變量代換，構造符合均值不等式的形式獲得答案. 具體求解時還可結合圓錐曲線的相關知識構建函數，結合函數圖象輔助分析.

例4 已知函數

f（x）=ln2x，0

解析 因為ln（2－x）+ln2=ln2（2－x），可推知y=ln2x與y=ln（2－x）+ln2的圖象關于直線x=1對稱，作出函數y=f（x）的大致圖象（如圖2所示）.

歸納總結 上述求解代數式的取值范圍時，采用的是換元構造法，即通過變換主元、整體代換的方式來構造符合均值不等式的形式. 常用的換元構造法有兩種形式，一是代數換元，具體求解時先對等式進行拼湊補形，再進行換元，結合函數以及導數確定單調性進而求解最值；二是三角換元，具體求解時結合三角函數知識，將已知的多個變量轉化和化歸為三角函數，結合三角函數求最值的方法來求解.

方法5 連續均值.

解法教學探討

上述深入探究均值不等式的使用方法，結合實例具體分析，并歸納總結方法策略. 在實際教學中，要立足不等式的性質，開展均值不等式的推理證明，引導學生理解其使用條件；歸納總結拼湊簡化方法，幫助學生構建解題思路；開展應用探究，提升學生的解題能力.

1. 立足不等式的性質，開展均值不等式的推理證明

均值不等式對求解最值問題有重要作用，不等式的性質是建立均值不等式的基礎，因此開展均值不等式的論證推導要從不等式的性質入手. 教學時要引導學生深刻理解均值不等式使用條件的含義：“一正”，指的是各項必須為正數；“二定”，指的是積為定值和有最小值，和為定值積有最大值；“三相等”，指的是用均值不等式求最值時，需要討論等號成立的條件.

2. 歸納總結拼湊簡化技巧，幫助學生構建解題思路

上文歸納總結了均值不等式拼湊簡化五種方法，分別為“定積”和“定和”、常數代換、代入消元、換元構造以及連續均值，需要從以下三個方面探究學習：一是挖掘方法內容，總結相應模型；二是結合實例具體分析，開展過程探究；三是歸納方法技巧，總結解題注意點，形成相應的解題思路. 教學中要把握方法內涵，挖掘思想方法，解題時引導學生關注問題特征，思考均值不等式拼湊簡化方法，內化形成解題策略.

3. 開展應用探究，提升學生的解題能力

教學中要引導學生掌握方法并內化方法，充分提升學生的解題能力. 均值不等式除了可應用于參數取值、不等式恒成立等問題外，還可應用于圓錐曲線、立體幾何、數列特征方程、平面向量等問題（其應用不局限于常規的最值問題）. 探究教學時要注意以下三點，一是精選問題，問題要有代表性，難度適中，不宜過偏過難；二是解題時的思維引導，要給予學生充足的時間供學生充分思考；三是解后反思，要及時總結方法經驗.