關于圓錐曲線中的四邊形問題的探究

陸燁

［摘? 要］ 破解圓錐曲線問題時，要整合幾何與代數知識考點，采用合理方法構建模型，利用代數分析推導結論. 文章以圓錐曲線中的四邊形問題為例，開展問題評析、知識歸納、方法總結、拓展探究，并提出相應的教學建議.

［關鍵詞］ 圓錐曲線；四邊形；模型；面積；方程

圓錐曲線中的四邊形問題較為常見，該類問題的綜合性強，涉及眾多知識考點、方法模型，開展問題評析、歸納總結、拓展探究可提升學生的解題能力. 本文以一道典型問題為例，展開具體評析和探究.

引例探究，問題評析

（1）求E的方程；

解析 （1）整合條件，構建方程組求解.

（2）該問以橢圓為背景構建幾何圖形，探究四邊形面積的最大值. 可分兩步求解：第一步，構建四邊形面積模型；第二步，解析面積的最大值.

評析 上述例題為圓錐曲線綜合題，其中第（2）問為核心之問——探究四邊形的最大值. 解析按照的思路是“問題轉化→模型構建→最值分析”，即先將四邊形問題轉化為三角形問題，然后構建面積模型，代入線段的長度，轉化為關于參數的函數，最后利用均值不等式的性質求解最值. 在整個過程中，模型的構建是解題關鍵，均值不等式的性質是最值分析的核心知識.

知識歸納，方法總結

上述例題為圓錐曲線綜合題，充分整合圓錐曲線相關知識構建模型，結合函數、不等式、方程等知識來破解. 解題中的知識、模型與思路是探究學習的關鍵，下面開展知識歸納、方法總結.

1. 知識點：直線與曲線的方程聯立

直線與曲線的方程聯立是解題的常規環節，該環節中需要合理整合方程，將其轉化為二次函數，方便后續設而不求、整體代入. 以直線與橢圓的方程為例，整合過程如下：

注意點：若直線沒有過橢圓內的一個定點，則不能說明直線與橢圓有兩個交點，須確保Δ>0，才可滿足有兩個交點.

2. 知識點：根的判別式和韋達定理

注意點：若橢圓的焦點在y軸上，只需把a2，b2的位置互換即可.

歸納總結 韋達定理聯系了題干條件與方程中的參數，因此，在處理如向量、面積、三點共線、角度等相關問題時，可按如下步驟來完成.

第一步，挖掘題目中的核心信息，用坐標表達；

第二步，聯立整合方程，用韋達定理提取根與系數的關系；

第三步，將相關代數式用韋達定理形式整體替換.

3. 模型構建

圓錐曲線中的四邊形問題，有如下兩種模型構建策略.

策略1 直接構建.

策略2 關系轉化.

模型①：分析圖形是否存在“同底”或“等高”的特點，若存在，則可將其轉化為對角線互相垂直的四邊形，再利用相應模型求解.

歸納總結 構建四邊形面積模型時，需關注圖形的特點、特征，結合題設條件完成構建. 具體可按如下步驟進行：

第一步，理解題意，解析圖形，挖掘其幾何特征；

第二步，根據幾何特征確定構建策略；

第三步，結合公式構建模型，將問題轉化為關于參數的函數問題.

拓展探究，應用舉例

上述歸納總結了破解圓錐曲線綜合題的核心知識，以及四邊形面積模型構建策略. 在實際探究時，要根據問題中的圖形靈活調整模型構建策略.

1. 直接構建面積模型

分析 本題為圓錐曲線綜合題，第（1）問為常規問題，利用條件可直接求解；第（2）問探究的是四邊形ACBD面積的最大值，求解此問的關鍵是構建面積模型，可通過“四邊形的對角線相互垂直”直接構建.

將②③兩式代入上式，得（k2+1）·（2m2－3）+km（－4km）+m2（2k2+1）=0，整理得m2=k2+1④. 將④式代入①式，得Δ=4（4k2+1）>0恒成立，則k∈R.

評析 上述探究橢圓背景下的四邊形面積最值問題時，把握“四邊形的對角線互相垂直”的特性，直接構建面積模型，再結合坐標將面積模型轉化為關于參數的函數，最后結合均值不等式的性質推導最值. 整個過程分三步完成：第一步，聯立方程，簡化推導條件；第二步，構建面積模型，將面積模型轉化為關于參數的函數；第三步，利用均值不等式的性質分析面積最值.

2. 割補構建面積模型

（1）試求橢圓C的方程；

分析 本題為圓錐曲線綜合題，以直線與橢圓相交為背景. 第（1）問求橢圓的方程，可結合弦長公式求解. 第（2）問添補了四邊形APBQ，可設定其面積求直線l的方程，求解的關鍵是構建面積模型，在此采用面積割補策略.

評析 上述對四邊形面積問題的探究，采用的是面積割補策略，即先將四邊形拆解成兩個一般三角形，再結合相關條件求解. 整個過程分為三步：第一步，聯立方程，整合方程；第二步，面積割補，構建面積模型；第三步，結合韋達定理和相應條件構建關于參數的方程，解方程完成求解.

解后反思，教學建議

上文以一道圓錐曲線中的四邊形問題為例，開展思路突破、過程解析，詳細總結了四邊形面積模型的構建策略，并結合實例拓展強化，總結問題破解步驟. 在解題教學中，可參考“引例分析→歸納總結→拓展應用”的思路設計教學環節，下面提幾點建議.

1. “引例分析”中注意過程講解

“引例分析”是解題教學的重要環節，該環節需要教師精選問題，所選問題要有代表性、典型性，問題特征要突出，解法要有廣泛適用性. 教學時要注意過程講解，即要讓學生體驗解題過程，掌握解題步驟. 可把握以下兩點設計引例分析環節：一是按照“分析知識考點→思考解題方向→分步構建過程→解后評析反思”的思路進行設計；二是合理設問，引導學生思考解題方向.

2. “歸納總結”時構建知識網絡

“歸納總結”是解題教學的核心環節，該環節需要教師引導學生深入反思問題，歸納總結問題的知識考點、解題方法，構建完整的知識網絡. 具體教學可按照如下幾個階段進行：第一階段，讓學生歸納問題特征、所涉知識點；第二階段，引導學生關注解法，總結方法特點；第三階段，幫助學生詳細總結方法，提煉解題模型、解題策略；第四階段，幫助學生構建同類問題的求解思路，完善知識網絡. 在個各教學階段中，教師要靈活調整策略，注意提升學生的總結歸納能力.

3. “拓展應用”中培養解題思維

“拓展應用”是解題教學的關鍵環節，該環節需要教師結合問題開展應用探究，指導學生掌握同類問題的求解思路，逐步培養學生的解題思維. 具體教學時需要注意以下三點，一是適度拓展問題，不能過度發散，否則易造成學生解題障礙；二是要選取覆蓋面廣、代表性強、涉及知識點多的問題；三是培養學生思維，要給學生留足思考時間和空間，讓學生獨立思考，教師適度啟發即可.