創設有效問題 引領數學探究

陳燕

［摘? 要］ 在研究雙曲線的定義及其標準方程的過程中，教師應將研究的主動權交給學生，通過創設有效的問題情境引領學生經歷動手實驗、自主探究、合作交流等活動，以此充分體驗數學研究的樂趣，促進探究性學習和深度學習的真正發生，有效提高課堂教學有效性.

［關鍵詞］ 類比；探究性學習；深度學習

雙曲線是高中數學的重要內容之一，雙曲線的定義及其標準方程更是重中之重. 若教學中直接呈現定義及標準方程讓學生理解和記憶，則難以引發深度學習，不利于學生學習能力的提升. 因此，在日常教學中，教師應結合教學實際創設有效問題，讓學生在問題的驅動下主動參與定義及標準方程形成的過程，以此深化學生對知識的理解，提高學生的學習能力及數學素養.

教學分析

雙曲線是繼橢圓后又一重要的圓錐曲線，它在生活中有重要的應用價值. 在研究雙曲線之前，學生研究過橢圓，兩者既有聯系又有區別，因此教學中應有意識地引導學生進行新舊知識的類比，讓學生將橢圓的學習經驗順利地遷移到雙曲線中，以此增強學生的自主學習意識，提升學生的數學素養.

高中生雖然具備一定的空間想象、數學抽象、邏輯推理等素養，但是面對抽象的定義和性質時依然會產生畏難情緒，因此教學中應提供更多機會讓學生去實驗、去觀察、去類比，以此通過多感官的協同發展促成探究性學習、深度學習，提高課堂教學有效性.

教學過程

1. 新舊聯系，有的放矢

引例 如圖1所示，用一個平面去截兩個對頂圓錐的組合體，圓錐的表面和截面相交的曲線可能是什么曲線？

設計意圖 根據最近發展區理論，從學生熟悉的問題入手，讓學生觀察抽象幾何圖形，學生自然會提出疑問：這個曲線我們研究過嗎？它是如何定義的？會有怎樣的特征呢？

問題1 類比橢圓的定義，你能直接給雙曲線下定義嗎？

問題2 如何用符號語言來表示雙曲線的定義呢？

問題3 類比研究橢圓的經驗，知道雙曲線的定義后，還要研究哪些內容？

設計意圖 運用“開門見山”的問題點明本節課研究的主題，激發學生的探究欲. 在探究欲的驅動下，學生會主動與橢圓定義的研究方法和經驗相類比，為接下來研究雙曲線的定義做鋪墊.

2. 動手實驗，直觀感知

問題4 如果讓你畫出雙曲線的圖形，你會嗎？

3. 數學建構，解鎖方程

問題5 如何求雙曲線的標準方程呢？

師生先共同回顧橢圓的標準方程的推導過程，然后預留時間讓學生自行推導雙曲線的標準方程，教師巡視指導.

設計意圖 學生已經理解并掌握了橢圓的標準方程的推導過程，且具有一定的邏輯推理和數學運算能力，因此教師放手讓學生獨立推導雙曲線的標準方程，以此提高學生的邏輯推理能力，訓練學生的數學運算能力，提升學生的數學素養.

經過幾分鐘思考與探究后，大多數學生已經完成了雙曲線的標準方程的推導，教師鼓勵學生提出自己在推導過程中遇到的問題.

生1：兩次平方后整理得到（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2），感覺有點不太對，怎么和橢圓的方程一樣呢？難道是我運算出錯了？

師：大家真的太棒了. 結合雙曲線與橢圓的相同點和不同點，得到了雙曲線的標準方程. 類比橢圓的標準方程可知，雙曲線的標準方程也分為焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種，那么焦點在y軸上的雙曲線的標準方程又會是什么呢？

設計意圖 呈現學生的思維過程，通過有效的啟發和引導，幫助學生排疑解惑. 學生推導焦點在x軸上的雙曲線的標準方程后，教師引導他們對比分析，發現焦點在y軸上的雙曲線的標準方程.

4. 知識應用，深化理解

例1 以下方程是雙曲線嗎？如果是，請指出a，b，c的值及焦點的坐標.

設計意圖 通過具體練習引導學生思考辨析，進一步強化學生對雙曲線的概念及其標準方程的理解與記憶.

例2 已知雙曲線的焦點坐標分別為（－3，0），（3，0），雙曲線上一點P到兩焦點的距離差的絕對值為4，求雙曲線的標準方程.

設計意圖 通過適度練習達到鞏固“雙基”的目的，同時通過變式訓練揭示問題的本質，提高學生的學習品質，增強學生的解題信心.

5. 反思提煉，升華認知

問題6 回顧探究過程，你有哪些收獲？

設計意圖 預留時間讓學生回顧反思，歸納總結本節課學習了哪些知識，掌握了哪些方法，還有哪些困惑，通過深度交流進一步了解學生所思、所想、所惑，為針對性練習提供依據，促進“減負增效”的落實.

教學思考

1. 貫徹“以生為本”教學理念，引導自主探究

課堂教學的主體是學生，因此課堂教學應貫徹“以生為本”教學理念，從學生的認知水平出發，設計符合學生實際學情的教學活動，以此來提高學生的學習能力，提升學生的數學素養. 在本節課教學中，教師為學生營造了一個和諧、平等的學習氛圍，通過適時的啟發和點撥，引導學生積極思考、主動探究. 在這樣的情境下學習，學生的思維是活躍的，課堂氛圍是愉悅的，有利于學生的學習能力和思維能力的發展與提升.

2. 關注數學思想，引發深度學習

在本節課的探索過程中，教師引導學生類比橢圓相關內容，這樣既促進舊知的鞏固，又為新知的探究指明了方向. 類比思想是數學中的重要思想方法，教學中教師要有意識地引導學生對相關或相似內容進行類比，以此通過對相同點與不同點的深度探究，逐漸形成觀察發現、積極思考的習慣，提升學生的數學素養.

3. 合理設計問題，發展數學思維

在本節課教學中，教師沒有直接將內容呈現給學生，而是以學生的認知水平為出發點，精心設計問題，讓學生在問題的驅動下積極思考、主動操作、積極交流，以此啟迪學生的思維，激發學生的探究欲. 同時，通過問題的解決加深學生對雙曲線本質的理解，提高學生分析和解決問題的能力. 在教學中，教師應認真研究學生，了解學生的實際學情，以便通過最近發展區問題的設置來引發深度學習，提高教學的有效性.

4. 鼓勵合作學習，培養合作意識

動手實踐、自主探究與合作交流是數學學習的重要形式. 在教學中，教師要為學生營造合作氛圍，培養學生主動獲取知識的能力和創新思維. 在本節課教學中，教師讓學生以小組為單位繪制雙曲線，自主設計實驗方案與策略，為學生營造了良好的合作氛圍，提高了課堂教學效率.

總之，在數學教學中，教師不能大包大攬，而應多提供一些機會給學生自主探究與合作交流，以此通過學習形式的多樣化來調動學生參與課堂的積極性，提高課堂教學的有效性.