馬爾可夫跳變系統的有限時間保性能控制

摘要本文主要研究具有時變時滯的脈沖隨機馬爾可夫跳變系統的有限時間保性能控制問題．通過選取模態相關的李雅普諾夫泛函，使用線性矩陣不等式（LMI）、平均駐留時間方法等技術，得到一些新的充分條件來確保系統有限時間穩定，并給出了系統的上界性能指標．基于該充分條件設計了系統的狀態反饋保性能控制器．最后，利用Matlab的LMI工具箱進行數據仿真，得到相應的均方軌跡圖．數值例子結果表明，得到的仿真結果和理論結果一致，驗證了文中理論的有效性．關鍵詞有限時間穩定;馬爾可夫跳變;線性矩陣不等式

中圖分類號TP273

文獻標志碼A

0引言

作為一類特殊的混雜系統，馬爾可夫跳變系統常用于描述系統結構或參數因擾動而突變的動態系統，受到學者們的廣泛關注［1-4］，如Yan等［1］研究了具有馬爾可夫跳變的隨機系統的有限時間穩定性和鎮定問題．傳統的李雅普諾夫穩定性很難達到預期的效果，特別是對于關注快速響應和工作時間的系統，如機器人控制、通信系統、航天等領域［5-7］．人們更關注系統短時間內的特性，即暫態性能，這就要求系統的狀態在有限時間內不超過某一界限．張維海等［8］研究了轉移概率部分信息未知的隨機馬爾可夫跳變系統的有限時間控制問題;Yan等［9］研究了具有馬爾可夫切換的伊藤型隨機系統的有限時間穩定和鎮定問題，利用模態相關參數法給出了有限時間穩定的充分條件;Amato等［10］研究了線性系統的有限時間有界性，得到了保守性較小的有限時間有界性條件，但未考慮隨機干擾對系統的影響．

在實際工程中，控制的目標不僅要保證系統的穩定性，而且要滿足優異的性能，保證性能函數不超過一個界限．周紅艷等［11］給出了廣義網絡控制系統滿足二次型性能指標的狀態反饋控制器設計方法;Du等［12］利用模態相關駐留時間方法研究了具有不確定項的線性切換離散系統的保性能控制問題;Liu等［13］研究了伊藤型馬爾可夫跳變系統的有限時間保性能控制問題，得到了狀態反饋保性能控制器的設計方法，但沒有考慮脈沖擾動對系統的影響．脈沖擾動現象在許多工程系統中無法避免，是導致系統不穩定的主要原因之一［14-19］．高麗君等［16］研究了具有馬爾可夫切換的隨機脈沖時滯系統的均方指數穩定，得到依賴脈沖上界的穩定性條件;姚鳳麒等［17］建立了一類脈沖隨機系統有限時間有界性定理;魯成甜等［18］研究了脈沖隨機神經網絡的有限時間穩定性問題，考慮了反鎮定型脈沖;崔瑤等［19］研究了鎮定型脈沖和反鎮定型脈沖對具有時滯脈沖的線性隨機時滯系統的影響．到目前為止，對于帶馬爾可夫跳變的脈沖隨機系統的保性能控制研究成果還較少．

針對具有時變時滯的脈沖隨機馬爾可夫跳變系統，本文通過選取適宜的李雅普諾夫泛函，使用平均駐留時間等方法，設計保性能控制器，并用一個例子來驗證其有效性．

1系統描述

Mgt;0（M≥0）表示矩陣M是正定的（半正定的）;MT表示矩陣M的轉置;λmax（M）和λmin（M）分別表示矩陣M的最大特征值和最小特征值;符號*表示對稱矩陣中的對稱項;diag｛…｝表示塊對角矩陣;（Ω，F，P）為完備概率空間，其中，Ω，F，P分別代表樣本空間、事件代數和定義在F上的概率測度;E［·］是［·］的數學期望．

考慮一類具有時變時滯的脈沖隨機馬爾可夫跳變系統：

dx（t）=［Aσ（t）x（t）+Bσ（t）x（t-τ（t））+Cσ（t）u（t）］dt+

［Dσ（t）x（t）+Eσ（t）x（t-τ（t））］dw（t），t≠tk，t≥t0，

x（tk）=Fσ（t）x（t-k），k∈N，

x（t）=（t），t∈［t0-τ，t0］.（1）

其中：x（t）∈Rn，u（t）∈Rm分別是系統的狀態和控制輸入;Aσ（t），Bσ（t），Cσ（t），Dσ（t），Eσ（t），Fσ（t），是已知的適維矩陣;時滯τ（t）滿足0≤τ（t）≤τ且（t）≤hlt;1，其中，τ，h是給定常數;初始值（t）是定義在［t0-τ，t0］的連續函數;w（t）是定義在概率空間（Ω，F，P）上的一維維納過程，假定其滿足：E［dw（t）］=0，E［d2w（t）］=dt;σ（t）是有限狀態空間S=｛1，2，…，N｝上取值的右連馬爾可夫鏈，其轉移概率為

P｛σ（t+Δ）=j|σ（t）=i｝=rijΔ+o（Δ），i≠j;1+rijΔ+o（Δ），i=j.

式中：Δgt;0，rij≥0（i≠j），rii=-∑i≠jrij．假設馬爾可夫鏈σ（t）和維納過程w（t）是相互獨立的．設計反饋控制器

u（t）=Kσ（t）x（t）.（2）

其中，Kσ（t）是控制器增益．將（2）代入系統（1）中，得到如下閉環系統：

dx（t）=［（Aσ（t）+Cσ（t）Kσ（t））x（t）+Bσ（t）x（t-τ（t））］dt+［Dσ（t）x（t）+Eσ（t）x（t-τ（t））］dw（t），t≠tk，t≥t0，x（tk）=Fσ（t）x（t-k），k∈N，x（t）=（t），t∈［t0-τ，t0］.（3）

定義性能函數如下：

Γ（x（·），Kσ（·））=E∫T0xT（t）［M1σ（t）+KTσ（t）M2σ（t）Kσ（t）］x（t）dt.（4）

式中，M1σ（t）和M2σ（t）是適維的正定矩陣．

為了方便，將Aσ（t），Bσ（t），Cσ（t），Dσ（t），Eσ（t），Fσ（t），Kσ（t），M1σ（t），M2σ（t）分別表示為Ai，Bi，Ci，Di，Ei，Fi，Ki，M1i，M2i．證明系統有限時間穩定前，將會用到下列定義和引理．

定義1［18］給定正數c1，c2，T且c1lt;c2，若

E［supt0-τ≤θ≤t0|（θ）|2］≤c1

E|x（t）|2lt;c2，t∈［t0，T］，（5）

則稱系統（1）（u（t）≡0）是關于（c1，c2，T）有限時間均方穩定的．

定義2［13］若存在一個正數Γ*和控制器（2），使得：

1）閉環系統（3）是有限時間穩定的，

2）Γ（x（·），Ki（·））≤Γ*，

則稱控制器（2）是系統（3）的有限時間保性能控制器，Γ*為系統（3）的一個性能上界．

定義3［17］對于脈沖序列｛tk｝k∈N，若存在正整數N0和正數τa，使得：

N（t，s）≤t-sτa+N0，tgt;s≥t0，（6）

則該脈沖序列的平均脈沖區間為τa.N（t，s）表示脈沖序列在區間（s，t］內的發生次數．

引理1［17］對實數矩陣N，M=MT，R=RT，以下條件等價：

1）MNNTRlt;0;

2）Rlt;0，M-NR-1NTlt;0;

3）Mlt;0，R-NTM-1Nlt;0．

引理2［13］給定正數a，b，如果g（t）滿足：

0≤g（t）≤a+b∫t0g（s）ds，t∈［t0，T］，

則有

g（t）≤aebt．

2主要結果

在本節中，將設計保性能控制器來確保閉環系統（3）有限時間穩定．應用平均駐留時間等方法推導出開環系統（1）有限時間穩定的充分條件，結合線性矩陣不等式（LMI）等技巧給出閉環系統（3）有限時間穩定及保性能控制器存在的充分條件，最后求出性能函數的最小上界．

定理1假設脈沖序列滿足式（6）．給定正數c1，c2，T且c1lt;c2，若存在正標量α，μ≥1和適維矩陣Pigt;0，Qigt;0，i∈S，使得：

Φ1iPiBiDTiPi

*-（1-h）QiETiPi

**-Pilt;0，（7）

∑Nj=1rijQj-αQi≤0，（8）

FTiPiFi-μPi≤0，（9）

N0ln μ+（T-t0）α+ln μτalt;ln（c2λ1）-ln（c1λ2+c1τλ3），（10）

其中

Φ1i=PiAi+ATiPi+Qi+∑Nj=1rijPj-αPi，

λ1=mini∈S｛λmin（Pi）｝，

λ2=maxi∈S｛λmax（Pi）｝，

λ3=maxi∈S｛λmax（Qi）｝，

則開環系統（1）（u（t）≡0）是關于（c1，c2，T）有限時間均方穩定的．

證明令σ（t）=i，i∈S，選取Lyapunov泛函：

Vi（t）=xT（t）Pix（t）+∫tt-τ（t）xT（s）Qix（s）ds．（11）

對式（7）應用引理1，得到

Φ=Φ1i+DTiPiDiPiBi+DTiPiEi

*-（1-h）Qi+ETiPiEi≤0．（12）

通過伊藤公式，計算隨機微分算子LV，得到

LVi（t）=xT（t）Qix（t）-（1-（t））xT（t-τ（t））Qix（t-τ（t））+2xT（t）Pi［Aix（t）+

Βix（t-τ（t））］+［Dix（t）+Eix（t-τ（t））］TPi［Dix（t）+Eix（t-τ（t））］+

∑Nj=1rijVj≤

xT（t）（Φ1i+DTiPiDi）x（t）+

2xT（t）（PiBi+DTiPiEi）x（t-τ（t））+

xT（t-τ（t））（-（1-h）Qi+ETiPiEi）x（t-τ（t））+

αxT（t）Pix（t）+∑Nj=1rij∫tt-τ（t）xT（s）Qjx（s）ds=

ηΦηT+αxT（t）Pix（t）+∑Nj=1rij∫tt-τ（t）xT（s）Qjx（s）ds≤

αxT（t）Pix（t）+∑Nj=1rij∫tt-τ（t）xT（s）Qjx（s）ds，t≠tk，k∈N．（13）

其中，η=［xT（t）xT（t-τ（t））］．結合式（8）可得：

LVi（t）≤αxT（t）Pix（t）+α∫tt-τ（t）xT（s）Qix（s）ds=αVi（t），t≠tk，k∈N．（14）

對式（14）兩端從tk到t積分并取數學期望，應用引理2，得到：

EVi（t）≤EVi（tk）+α∫ttkEVi（s）ds≤

eα（t-tk）ΕVi（tk），t∈［tk，tk+1），k=0，1，2，….（15）

當t=tk時，由條件（9），得到：

Vi（tk）=xT（tk）Pix（tk）+∫tktk-τ（tk）xT（s）Qix（s）ds≤

xT（t-k）FTiPiFix（t-k）+∫t-kt-k-τ（t-k）xT（s）Qix（s）ds≤

μxT（t-k）Pix（t-k）+μ∫t-kt-k-τ（t-k）xT（s）Qix（s）ds=μVi（t-k），k∈N．

兩邊取期望，有

EVi（tk）≤μEVi（t-k），k∈N．（16）

假設下式成立：

EVi（t）≤μN（t，t0）eα（t-t0）EVi（t0），t≥t0．（17）

實際上，當t∈［t0，t1）時，N（t，t0）=0．由式（15）知式（17）顯然成立．假設，當t∈［tk-1，tk），k∈N時，式（17）成立，即

EVi（t）≤μk-1eα（t-t0）EVi（t0）．

特別地，EVi（t-k）≤μk-1eα（t-t0）EVi（t0），則當t∈［tk，tk+1）時，由式（15）、（16）可知：

EVi（t）≤eα（t-tk）EVi（tk）≤μeα（t-tk）EVi（t-k）≤

μμk-1eα（tk-t0）eα（t-tk）EVi（t0）=μkeα（t-t0）EVi（t0）．

由數學歸納法知，對于任意的t≥t0，式（17）成立．當t∈［t0，T］時，結合式（6）和（17），有

EVi（t）≤μN0+t-t0τaeα（t-t0）EVi（t0）≤μN0eα+lnμτa（T-t0）EVi（t0）．（18）

其中

EVi（t0）=E［xT（t0）Pix（t0）］+

E∫t0t0-τ（t0）xT（s）Qix（s）ds≤

λ2E［|x（t0）|2］+λ3E∫t0t0-τ（t0）|x（s）|2ds≤

λ2E［supθ∈［t0-τ，t0］|（θ）|2］+λ3τE［supθ∈［t0-τ，t0］|（θ）|2］=

（λ2+τλ3）E［supθ∈［t0-τ，t0］|（θ）|2］． （19）

將式（19）代入（18），得到EVi（t）≤μN0（λ2+τλ3）E［supθ∈［t0-τ，t0］|（θ）|2］eα+ln μτa（T-t0），t≥t0．

結合（5）和（10），當E［supθ∈［t0-τ，t0］|（θ）|2］≤c1時，有

EVi（t）≤μN0（λ2+τλ3）c1eα+ln μτa（T-t0）lt;λ1c2，

t0≤t≤T．

因為λ1E|x（t）|2≤E［xT（t）Pix（t）］≤EVi（t），結合上式，有

E|x（t）|2lt;c2，t0≤t≤T．

因此，系統（1）（u（t）≡0）是關于（c1，c2，T）有限時間均方穩定的．證明完畢．

注1因為αgt;0，μ≥1，故α+ln μτagt;0，由式（18）知系統（1）是李雅普諾夫不穩定的．定理1表明一個李雅普諾夫不穩定的系統可以是有限時間穩定的，因此有限時間穩定性和李雅普諾夫穩定性是兩個獨立的概念．

注2當μgt;1時，表示脈沖為擾動因素，會破壞系統的穩定性，因此干擾脈沖不允許發生得太頻繁．式（10）可寫為τagt;（T-t0）ln μ/[ln（c2λ1）-ln（c1λ2+c1τλ3）-N0ln μ-α（T-t0）]，即對平均脈沖區間的下界施加了限制．當μ=1時，文獻［13］中的定理1可視作本文的特例．

定理2假設脈沖序列滿足式（6）．給定正數c1，c2，T且c1lt;c2，若存在正標量α，μ≥1和適維矩陣Pigt;0，Qigt;0，i∈S，使式（8）—（10）及以下不等式成立：

Φ2iPiBiDTi Pi

*-（1-h）QiETiPi

**-Pilt;0.（20）

其中，Φ2i=Φ1i+PiCiKi+KTiCTiPi+M1i+KTiM2iKi，

則閉環系統（3）是關于（c1，c2，T）有限時間均方穩定的，控制器（2）是有限時間保性能控制器，相應的性能函數上界為

Γ（x（·），Ki（·））≤Γ*=eαT（c1λ2+c1τλ3）1+N0+Tτa（μ-1）μN0+TτaeαT．（21）

證明選取Lyapunov泛函Vi（t）=xT（t）Pix（t）+∫tt-τ（t）xT（s）Qix（s）ds．將式（7）中的Ai替換為Ai+CiKi，結合式（13）和（20），因為M1i，M2i≥0，可得：

LVi（t）≤αVi（t）-

xT（t）［M1i+KTiM2iKi］x（t）≤αVi（t）．

類似于定理1的證明，可證閉環系統（3）是關于（c1，c2，T）有限時間均方穩定的．將上式進行整理后，有：

xT（t）［M1i+KTiM2iKi］x（t）≤αVi（t）-LVi（t）．（22）

式（22）兩側同時乘e-αt，得到：

e-αtxT（t）［M1i+KTiM2iKi］x（t）≤-L［e-αtVi（t）］．（23）

注意到eαt≥1，結合式（16）、（18）和（23）可得：

Γ（x（·），Ki（·））=E∫T0xT（t）（M1i+KTiM2iKi）x（t）dt=

∑Nk=0E∫t-k+1tkxT（t）（M1i+KTiM2iKi）x（t）dt≤

-eαT∑Nk=0E∫t-k+1tkL（e-αtVi（t））dt≤

eαTEVi（t0）+∑Nk=1（（μ-1）EVi（t-k））≤

eαTEVi（t0）+e2αTN0+Tτa（μ-1）μN0+TτaEVi（t0）．

根據式（19），得到：

Γ*=eαT（c1λ2+c1τλ3）1+N0+Tτa（μ-1）μN0+TτaeαT．

因此，閉環系統（3）是關于（c1，c2，T）有限時間均方穩定的，控制器（2）是閉環系統（3）的有限時間保性能控制器，相應的性能上界為（21）．證明完畢．

定理3假設脈沖序列滿足式（6）．給定正數c1，c2，T且c1lt;c2，若存在正標量α，μ≥1和適維矩陣Xigt;0，Zigt;0，Yi，i∈S，使式（10）及以下不等式成立：

Φ3iBiXiXiDTiΦ4i

*-（1-h）ZiXiETi0

**-Xi0

***-Φ5ilt;0， （24）

kiZiΦ4i

*Φ6i≤0， （25）

-μXiXiFTi

*-Xi≤0，（26）

其中

Φ3i=AiXi+XiATi+CiYi+YiCTi+XiM1iXi+YTiM2iYi+riiXi+Zi-αXi，

Φ4i=［ri1Xi…ri（i-1）Xiri（i+1）Xi…riNXi］，

Φ5i=diag｛X1，…，Xi-1，Xi+1，…，XN｝，ki=rii-α，

Φ6i=diag｛Z1-2X1，…，Zi-1-2Xi-1，Zi+1-2Xi+1，…，ZN-2XN｝，

λ1=mini∈S｛λmin（X-1i）｝，λ2=maxi∈S｛λmax（X-1i）｝，λ3=maxi∈S｛λmax（X-1iZiX-1i）｝，

則存在保性能控制器（2）使得閉環系統（3）關于（c1，c2，T）有限時間均方穩定，性能函數上界滿足（21），控制增益為Ki=YiX-1i．

證明令Xi=P-1i，Zi=XiQiXi，應用引理1，式（24）等價于

Φ3i+∑Nj≠irijXiX-1jXiBiXiXiDTi

*-（1-h）ZiXiETi

**-Xilt;0．

對上式分別左乘和右乘diag｛X-1i，X-1i，X-1i｝，得到式（20）．對于Q-1j （j≠i），因為Z-12iXi-Z12i T·Z-12iXi-Z12i ≥0，有以下不等式成立：

-Q-1j=-Xj（XjQjXj）-1Xj≤Zj-2Xj．

因此，由式（25）可得：

kiΖiΦ4i

*-Φ7i≤0.（27）

式中，Φ7i=diag｛Q-11，…，Q-1i-1，Q-1i+1，…，Q-1N｝．應用引理1，式（27）等價于

Xi∑Nj≠irijQjXi+kiZi≤0．

對上式左右同乘X-1i ，可以得到式（8）．相應地，對式（26）應用引理1，再左右同乘X-1i，可以得到式（9）．

因此，由定理2可知，閉環系統（3）關于（c1，c2，T）有限時間均方穩定，性能函數上界滿足（21）．證明完畢．

3數值例子

設馬爾可夫鏈的狀態空間為S=｛1，2｝，其轉移矩陣R=-111-1．考慮系統（3）具有以下參數：

A1=-1.31.10.50.2，

B1=0.20.10.10.2，

C1=1.10.30.90.7，

D1=0.1-0.20-0.1，

E1=0.10.20.20.3，

F1=1.05001.05，

M11=0.5000.5，

M21=0.2000.1，

A2=-110.30.2，

B2=0.30.10.10.3，

C2=1.30.511.1，

D2=0.3-0.20-0.5，

E2=0.10.40.40.2，

F2=1.05001.05，

M12=0.6000.6，

Μ22=0.2000.2．

取c1=0.1，c2=10，T=2，μ=1.1025，α=1，τ（t）=0.9+0.1sin（t），有τ=1，h=0.1滿足條件0≤τ（t）≤τ，（t）≤hlt;1．取N0=3，τa=0.22gt;0.212，系統的脈沖序列如圖1所示．

使用LMI工具箱求解定理1中的式（7）—（9），得到一組可行解：

P1=1.005 30.452 3

0.452 31.471 4，

Q1=1.161 0-0.090 7

-0.090 70.867 4，

P2=2.463 10.822 1

0.822 12.983 8，

Q2=2.700 4-0.011 6

-0.011 61.840 8.

取初始狀態x0（s）=0.1-0.2T，s∈［-1，0］．開環系統的均方狀態軌跡如圖2所示，可見開環系統（1）（u（t）≡0）是關于（0.1，10，2）有限時間均方穩定的．下面將設計保性能控制器．取N0=3，τa=0.11gt;0.101，求解定理3不等式（24）—（26），得到一組可行解：

X1=13.811 4-0.619 3

-0.619 313.068 2，

Y1=0.461 5-7.824 0

-7.824 0-19.008 1，

X2=11.592 6-0.537 1

-0.537 110.563 1，

Y2=-5.149 4-0.653 7

-0.653 7-16.224 3.

得到設計保性能控制器的增益矩陣為

K1=［0.006 6-0.598 4;-0.633 1-1.484 5］，

K2=［-0.448 1-0.084 7;-0.127 9-1.542 4］．

仍取x0（s）=0.1-0.2T，s∈［-1，0］．由圖3可見，閉環系統（3）是關于（0.1，10，2）有限時間均方穩定的．性能函數（4）的最小上界為Γ*=35.9，這表明控制器u（t）=K1（t）和u（t）=K2（t）是閉環系統（3）的保性能控制器．

4結論

本文研究了一類具有時變時滯的脈沖隨機馬爾可夫跳變系統的有限時間保性能控制問題．通過構建李雅普諾夫泛函，結合線性矩陣不等式等技巧，得到脈沖隨機馬爾可夫跳變系統有限時間穩定性及保性能控制器存在的充分條件，并給出了系統性能指標的上界．最后，通過數值例子和仿真驗證了提出方法的有效性．

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Finite-time guaranteed cost control for Markov jump systems

WANG Jun1YAO Fengqi2CHENG Pei2

1School of Electrical and Information Engineering，Anhui University of Technology，Maanshan 243032，China

2School of Mathematical Sciences，Anhui University，Hefei 230601，China

AbstractThe finite-time guaranteed cost control problem is studied for impulsive stochastic Markov jump systems with time-varying delays.By selecting mode-dependent Lyapunov functionals，using techniques such as Linear Matrix Inequality （LMI） and average dwell time，we obtain some new sufficient conditions to ensure finite-time stability and the upper bound performance index of the system，hence design a guaranteed cost controller with state feedback.Finally，the LMI toolbox of Matlab is used for data simulation，and the corresponding mean-square trajectory plots are obtained.Numerical examples show that the obtained simulation results are consistent with the theoretical results，which verifies the effectiveness of the proposed approach.

Key wordsfinite-time stability;Markov jump;linear matrix inequality （LMI）