基于概念圖的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)模式研究

摘 要 本研究旨在探討基于概念圖的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)模式，首先分析概念圖的定義，其次對概念圖在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)模式中的重要作用進行闡述，包括促進知識結(jié)構(gòu)化整合、增強學(xué)生的問題解決能力，最后，提出了概念圖在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的應(yīng)用策略，包括概念圖在知識框架構(gòu)建、難點突破、例題歸納、錯題分析中的應(yīng)用，以期為高中數(shù)學(xué)教師提供一種有效的教學(xué)工具，也為學(xué)生提供一種新的學(xué)習(xí)策略，共同推動高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升。

關(guān)鍵詞 概念圖；高三數(shù)學(xué)；復(fù)習(xí)模式；教學(xué)研究

中圖分類號：G424 " " " " " " " " " " " " " "文獻標(biāo)識碼：A " "DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2024.12.037

A Study on the Review Model of High School Mathematics Based on Concept Maps

SUN Chuqiao

（Shenyang No.124 Senior High School， Shenyang， Liaoning 100000）

Abstract This study aims to explore the concept map based high school mathematics review mode. Firstly， the definition of concept maps is analyzed. Secondly， the important role of concept maps in high school mathematics review mode is elaborated， including promoting knowledge structured integration and enhancing students' problem-solving ability. Finally， the application strategies of concept maps in high school mathematics review are proposed， including the application of concept maps in knowledge framework construction， difficulty breakthrough， example induction， and error analysis. The aim is to provide an effective teaching tool for high school mathematics teachers and a new learning strategy for students， jointly promoting the improvement of high school mathematics teaching quality.

Keywords concept diagram; senior high school mathematics; review mode; teaching research

概念圖作為一種圖形化的知識組織工具，以其直觀展示概念之間關(guān)系的特點為高效復(fù)習(xí)提供了可能，本研究的目的在于探討基于概念圖的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)模式，通過對相關(guān)文獻的分析，結(jié)合教學(xué)實踐，詳細(xì)闡述概念圖在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的應(yīng)用策略，以期為數(shù)學(xué)教學(xué)提供新的視角和方法。

1 "概念圖的定義

概念圖是一種圖形化工具，這種圖形表示形式由節(jié)點和連接節(jié)點的線條組成，節(jié)點代表概念，而線條上通常會附有文字，用于說明節(jié)點之間的關(guān)系。概念圖的起源可追溯到20世紀(jì)70年代，由美國教育家Joseph D. Novak在其研究中提出，Joseph D. Novak受到了心理學(xué)家David Ausubel的認(rèn)知心理學(xué)理論的啟發(fā)。概念圖的主要特點包括層次性、關(guān)聯(lián)性和系統(tǒng)性，層次性是指概念圖中的概念是按照從上至下的層次結(jié)構(gòu)排列的，最一般、最包容的概念位于圖頂部，更具體、更詳細(xì)的概念則位于圖下方，此種排列方式有助于用戶理解知識結(jié)構(gòu)中的從屬關(guān)系。根據(jù)Novak和Gowin的研究，概念圖中約有10%的概念屬于高層次的抽象概念，而其他90%則是具體化和細(xì)化這些高層次概念。關(guān)聯(lián)性體現(xiàn)在概念圖中的概念之間不是孤立存在的，而是通過連接線條相互關(guān)聯(lián)，這些線條上的說明文字稱為聯(lián)結(jié)詞或短語，用于闡釋兩個概念之間的關(guān)系。例如，“水”和“冰”之間的線條可能會標(biāo)注“變成”這樣的聯(lián)結(jié)詞，表明“水變成冰”的過程。研究指出，一個有效的概念圖平均每個概念會有2到4個連接點，這樣的密度既能保證信息的豐富性，又不至于過度復(fù)雜而難以理解。

2 "概念圖在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)模式中的重要作用

2.1 "促進知識結(jié)構(gòu)化整合

在高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生需掌握大量的概念、公式、定理和解題方法，概念圖的應(yīng)用能幫助學(xué)生將這些零散的知識點結(jié)構(gòu)化，形成清晰的知識網(wǎng)絡(luò)。通過概念圖，學(xué)生可更清楚地看到不同數(shù)學(xué)概念之間的層次關(guān)系和邏輯聯(lián)系，有助于其構(gòu)建和鞏固知識框架。如在學(xué)習(xí)微積分時，學(xué)生通過概念圖將極限、導(dǎo)數(shù)、積分等核心概念串聯(lián)起來，明確它們之間的先后關(guān)系和內(nèi)在關(guān)聯(lián)。概念圖的應(yīng)用還可幫助學(xué)生識別知識間的交叉點，這對于數(shù)學(xué)學(xué)科尤為重要。數(shù)學(xué)知識點并非孤立的，而是相互關(guān)聯(lián)，比如平面幾何的知識可能會在解析幾何中得到應(yīng)用，概率論中的一些概念又會在統(tǒng)計學(xué)中使用。通過概念圖學(xué)生可清晰地看到這些交叉點，促進不同章節(jié)知識的整合，有助于學(xué)生形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維。

2.2 "增強問題解決能力

高三數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)不僅要求學(xué)生掌握知識點，還要求其靈活運用知識解決問題。概念圖在提升學(xué)生的問題解決能力方面發(fā)揮著重要作用，通過概念圖，學(xué)生將復(fù)雜的問題分解成多個小問題，明確各個部分之間的邏輯關(guān)系，這種分解與重組過程有助于提高解題效率和準(zhǔn)確性。在實際應(yīng)用中，學(xué)生利用概念圖將一個復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目拆解為多個子問題，然后逐個攻破，比如在解決一道涉及幾何和代數(shù)綜合的題目時，學(xué)生可首先構(gòu)建一個概念圖，將題目中的已知條件和求解目標(biāo)進行可視化表示，然后通過概念圖識別出解題的關(guān)鍵步驟和所需的數(shù)學(xué)工具。通過概念圖，學(xué)生還可發(fā)現(xiàn)解題過程中的知識盲點，這些盲點可能是以往學(xué)習(xí)中忽視的細(xì)節(jié)或易混淆的概念，在復(fù)習(xí)過程中，學(xué)生針對這些盲點進行復(fù)習(xí)，從而提高整體解題能力。此外，概念圖的應(yīng)用還有助于學(xué)生在面對新問題時，能快速調(diào)動相關(guān)知識點，創(chuàng)造性地思考和解決問題，這對于應(yīng)對高考可能出現(xiàn)的新穎題型至關(guān)重要。

3 "概念圖在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的應(yīng)用策略

3.1 "概念圖在知識框架構(gòu)建中的應(yīng)用

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，概念圖的應(yīng)用是一種高效的學(xué)習(xí)工具，它能夠幫助學(xué)生在視覺上整合和組織知識，從而更好地理解和記憶復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念和公式，通過概念圖，學(xué)生可清晰地看到不同數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，比如定義、定理、公式、例題等之間的聯(lián)系和區(qū)別，這種視覺化的學(xué)習(xí)方式對于構(gòu)建知識框架尤為重要，因為它不僅幫助學(xué)生在腦海中形成知識網(wǎng)絡(luò)，還促進了其深層次的思考和理解。

例如，在教“導(dǎo)數(shù)”知識點時，教師可通過以下教學(xué)實例來幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)概念。首先，簡要回顧函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基本概念，包括函數(shù)的極限和連續(xù)性，然后引入導(dǎo)數(shù)這一新概念。利用概念圖向?qū)W生展示導(dǎo)數(shù)的基本內(nèi)容和結(jié)構(gòu)，包括導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義、性質(zhì)、公式等。導(dǎo)數(shù)的定義（數(shù)學(xué)公式）是：f'（x） = lim（ x-gt;0） [f（x + x） - f（x）] / x，它表示函數(shù)在某點的切線斜率。接下來講解導(dǎo)數(shù)的一些性質(zhì)，如求和法則：（u + v）' = u' + v'，差法則：（u - v）' = u' - v'，積法則：（uv）' = u'v + uv'， 商法則：（u/v）' = （u'v - uv'） / v^2。在此基礎(chǔ)上，介紹一些常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如平方：（x^2）' = 2x，立方：（x^3）' = 3x^2，正弦：（sin（x））' = cos（x），余弦：（cos（x））' = -sin（x）。通過上述教學(xué)實例，使學(xué)生通過概念圖對導(dǎo)數(shù)的基本概念、性質(zhì)和公式有一個直觀理解。

3.2 "概念圖在難點突破中的應(yīng)用

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，概念圖不僅能夠幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系，還能在難點突破中發(fā)揮重要作用，特別是在面對高三數(shù)學(xué)的難點時，概念圖能夠突出重點，清晰地揭示問題的核心，從而有效地指導(dǎo)學(xué)生進行針對性的復(fù)習(xí)。比如在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，不等式的解法往往是一個難點，教師可以利用概念圖來幫助學(xué)生系統(tǒng)地梳理不等式的解法。首先，在黑板上繪制一個以“不等式解法”為中心的概念圖，然后從中心向外延伸出“一元一次不等式”“一元二次不等式”“絕對值不等式”“分式不等式”“含參數(shù)的不等式”等分支。在每個分支下，再進一步細(xì)化出該類型不等式的解法，如“一元一次不等式”下可以有“移項”“變號”“合并同類項”等節(jié)點。

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，概念圖的運用有助于知識框架的構(gòu)建，同時也有助于難點突破，教師在教授高三數(shù)學(xué)中的“含參數(shù)的不等式”知識點時，可以通過以下步驟來幫助學(xué)生理解并攻克此難點。首先，回顧不等式的基本概念和一般解法，然后引入含參數(shù)的不等式，解釋含參數(shù)的不等式在實際問題中的應(yīng)用和意義。利用概念圖闡述含參數(shù)不等式的關(guān)鍵點，如參數(shù)取值范圍、確定不等式性質(zhì)、參數(shù)變化對不等式的影響等。示例一種常見的含參數(shù)的不等式：ax^3+bx^2+cx+dgt;0，在具體的例子中解析不等式成立的條件，例如：若agt;0，b^2-3aclt;0，則不等式恒成立。同時，引導(dǎo)學(xué)生觀察參數(shù)變化下，不等式滿足條件的范圍。通過上述教學(xué)實例，使學(xué)生在概念圖的輔助下，對含參數(shù)的不等式及其解法有一個直觀認(rèn)識，提高其解題技巧。在實際教學(xué)中，還可結(jié)合更多實際與典型例子，使學(xué)生對含參數(shù)的不等式這一難點有更加清晰全面的理解。

3.3 "概念圖在例題歸納中的應(yīng)用

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，概念圖的使用不僅有助于知識點的系統(tǒng)梳理，而且在結(jié)合例題歸納方面尤為重要，通過概念圖的視覺化表達，學(xué)生能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)概念與具體的例題相結(jié)合，實現(xiàn)知識與實踐的有效對接，這樣的過程能夠加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和記憶，提高解題能力。在教學(xué)中，教師首先根據(jù)教學(xué)內(nèi)容繪制出包含主要知識點的概念圖。比如在復(fù)習(xí)高三數(shù)學(xué)的解析幾何單元時，教師創(chuàng)建一個中心為“解析幾何”主題的概念圖，從中心向外延伸出“點與線”“線與線”“點與面”“線與面”等關(guān)鍵知識點。在每個知識點下，進一步細(xì)分出相應(yīng)的定理、公式及其應(yīng)用。

通過運用概念圖來歸納例題，能幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識并提高解題能力。比如在教授高三數(shù)學(xué)中的“圓的方程”知識點時，教師可以通過以下步驟來幫助學(xué)生掌握圓的方程。首先回顧解析幾何的相關(guān)概念，然后介紹圓的定義和性質(zhì)。接下來引入圓的方程，解釋圓的方程的基本含義及其應(yīng)用。利用概念圖向?qū)W生闡述圓的方程的關(guān)鍵內(nèi)容，包括標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、截距式方程等。示例圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-a）^2+（y-b）^2=r^2，表示以（a，b）為圓心，r為半徑的圓。然后通過例題來讓學(xué)生熟練運用圓的方程解題，例如求圓心和半徑，求點到圓的距離，判斷點在圓內(nèi)、外或圓上等。此外，引導(dǎo)學(xué)生觀察和總結(jié)解題規(guī)律和技巧，如根據(jù)圓的條件推導(dǎo)出圓的方程，同時聯(lián)系其他幾何知識來處理復(fù)雜圓的方程問題。通過上述教學(xué)實例，使學(xué)生在概念圖的輔助下對圓的方程及其解題方法有一個直觀的認(rèn)識，從而能夠更好地解決實際問題。

3.4 "概念圖在錯題分析中的應(yīng)用

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，概念圖的應(yīng)用不僅有助于知識點的梳理和例題的歸納，而且在錯題分析中也發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。錯題分析是學(xué)習(xí)過程中的重要環(huán)節(jié)，它能夠幫助學(xué)生識別和理解錯誤的根源，進而加深對知識點的掌握。概念圖以其直觀和系統(tǒng)的特點，能夠協(xié)助學(xué)生在錯題分析中更清晰地定位問題、查缺補漏，從而有效提升學(xué)習(xí)效率。具體來說，當(dāng)學(xué)生在解題中出現(xiàn)錯誤時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生首先使用概念圖來確定錯題涉及的主要知識點，以此為出發(fā)點，學(xué)生可以沿著概念圖中的路徑，回顧相關(guān)的定義、定理、公式和解題步驟，從而找到解題過程中的錯誤和不足。

例如，假設(shè)在復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識時，學(xué)生在求解函數(shù) f（x） = x^3 - 6x^2 + 9x 在 x = 2 處的切線方程時出現(xiàn)了錯誤。首先，教師可以和學(xué)生一起繪制一個涵蓋“導(dǎo)數(shù)”的概念圖，圖中包含“導(dǎo)數(shù)的定義”“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”“導(dǎo)數(shù)的物理意義”“導(dǎo)數(shù)的運算法則”等節(jié)點，并在“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”下進一步細(xì)化出“切線斜率”“切線方程”等子節(jié)點。在分析這個錯題時，學(xué)生首先定位到“切線斜率”節(jié)點，通過計算發(fā)現(xiàn)在 x = 2 處，f'（x） 應(yīng)該是 0 而不是他們計算的 12。接著，學(xué)生回顧導(dǎo)數(shù)的計算過程，意識到在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的運算法則時忽略了常數(shù)項的導(dǎo)數(shù)為零這一關(guān)鍵點。然后，在“切線方程”節(jié)點處，學(xué)生回憶起切線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 y - y1 = m（x - x1），并利用正確的斜率和點 （2， f（2）） 重新求解切線方程，得到 y = 9x - 9。

通過這樣的概念圖輔助錯題分析，學(xué)生不僅能夠清楚地看到自己的錯誤和知識盲區(qū)，而且能夠通過圖示化的方式系統(tǒng)地修正錯誤，加深理解。概念圖幫助學(xué)生建立起知識之間的聯(lián)系，使得學(xué)生在面對相似的問題時能夠迅速調(diào)取相關(guān)知識，避免重復(fù)犯錯。

4 "結(jié)語

綜上所述，基于概念圖的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)模式為學(xué)生提供了一個清晰、系統(tǒng)的學(xué)習(xí)路徑，有助于學(xué)生構(gòu)建起數(shù)學(xué)知識的框架體系，促進了知識間的關(guān)聯(lián)和整合。概念圖不僅能夠幫助學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中更好地理解和記憶數(shù)學(xué)概念，還能有效地指導(dǎo)學(xué)生進行難點攻克和例題歸納，增強學(xué)生解決復(fù)雜問題的能力。此外，概念圖的應(yīng)用也促進了教師教學(xué)方法的創(chuàng)新，使得教師能夠更精準(zhǔn)地診斷學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，為其提供個性化的指導(dǎo)和反饋。

參考文獻

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