用向量工具探究圓錐曲線對定點張直角弦的性質

李習凡　朱勝強

[摘要]圓錐曲線對定點張直角弦的問題一般視為直線與圓錐曲線的交點問題，可通過聯立方程，化為一元方程后求解．向量是溝通幾何與代數的橋梁．運用向量工具也可以有效地揭示對定點張直角弦所具有的一般性質．

[關鍵詞]圓錐曲線；對定點張直角弦；性質；向量；探究

問題提出

“圓錐曲線對定點張直角弦的性質”指的是對圓錐曲線上某定點張直角的弦所在直線必過定點或固定方向（為簡便起見．下文稱該性質為“弦的性質”）．

多年來．弦的性質一直受到關注，許多研究者從不同角度對其進行了拓展研究．獲得了諸多有價值的結論．弦的性質還不時被作為背景材料出現于一些解析幾何試題中，雖然性質的條件與結論均簡潔明了．但推導過程相對復雜．由于它并非教材所明確的圓錐曲線的幾何性質．因此在許多場合不宜作為推理的依據直接使用，需要給出結論產生的過程．

弦的性質所涉及的問題可視為直線與圓錐曲線的位置關系問題．對于解析幾何中的這類問題有常用的求解思路．

記圓錐曲線為C，A（s，t）是其上一定點，弦MN的端點分別為M（x1，y1），N（x2，y2），并有MA⊥NA．

先設直線MN的方程.M，N是直線MN與圓錐曲線C的兩個交點，它們的坐標是直線方程與圓錐曲線方程聯立所得方程組的解．由方程組消元可得關于x或y的一元二次方程．

幾何條MA⊥NA也可用M，N的坐標表示，即用x1，x2或y1，y2表示．這也是上述一元二次方程有解應滿足的條件．

依據方程的根與系數之間的關系．可得一元二次方程的系數應滿足的條件，進而得到直線MN方程的系數所滿足的關系，在此基礎上便可推導出所需結論（思路如圖1所示）．

這個思路充分體現了解析幾何的基本特征．也就是用代數法解決幾何問題，實現數形結合，雖然這個思路十分明確．但運算過程比較煩瑣，簡潔是數學發展永遠追求的一個目標，因此，當面對熟悉、不斷重復且煩瑣的流程時，很自然會提出這樣—個問題：弦的性質有其他簡潔的推導方法嗎？

基金項目：江蘇省教育科學“十三五”規劃課題“通過微型探究培養學生數學核心素養的實踐研究”（B-b/2018/02/78），江蘇省教育科學“十二五”規劃課題“高中數學課堂實現教學目標的問題驅動策略研究”（B-b/2015/02/261）．