關于立體幾何最值問題的解法探究與教學建議

徐靜

[摘要]立體幾何最值問題是高中數學的重難點問題，探究解析問題、總結解題方法、生成解題策略是課堂教學重點．文章引例探究，總結解法，結合實例強化應用，并提出相應的教學建議．

[關鍵詞]立體幾何；最值；構造；參數；特殊位置

將平面圖形空間化是立體幾何問題構建的重要形式．對于該類立體幾何最值問題．可將空間圖形平面化．降低思維難度，利用平面幾何相關知識來解析．該策略適用于折疊型空間幾何問題、規則型空間幾何問題，解析過程分兩步：

第一步．把握幾何特征，展開圖形；

第二步，把握性質間的關系．利用幾何知識解析最值．

策略2：構造函數，妙求最值

函數也可作為解析工具．應用于立體幾何最值問題的求解中，即利用函數的性質（函數的值域、單調性等）分析最值．或構造函數后利用均值不等式求最值，解析過程分兩步：

第一步，分析幾何條件．設定變量，構造該變量的函數；

第二步，根據函數特征，確定求解方法，如“配方法”“求導法”“單調性法”“均值不等式法”等，解析最值．

策略3：特殊位置，確定最值

對于空間幾何最值問題．還可以通過研究特殊位置來解析，如通過分析動點、動線段的軌跡求最值，解析過程也分兩步：

第一步，分析幾何運動，準確把握運動中的臨界點、極限點，構建模型；

第二步．根據模型分析運動變化，確定最值情形．求解最值．

應用探究

上面總結了三種立體幾何最值問題解析策略．下面結合實例展開應用探究．

1．側面展開．巧求最值

例1如圖2所示．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，點P在側面BCC1B1內運動且D1O⊥OP，則點P到底面BCD的距離與它到點B的距離之和最小是_____.

分析本題以正方體為背景．構建空間動態模型．求解距離之和的最小值，求解時可采用“側面展開”策略．將正方體展開為平面圖形．利用空間與平面的性質關系，構建距離模型，解析最值.

評析上述求解先設定具體幾何模型，分析點的運動軌跡，以及圖形周長的變化規律．然后結合幾何周長與面積之間的關系確定最值情形．

教學建議

上面針對立體幾何最值問題展開解法探究，總結了三種常用策略，下面結合教學實踐提幾點建議．

1．挖掘問題特征．提取幾何模型

立體幾何最值問題是高中數學的重難點問題，其題設條件、圖形特征較為特殊．串聯了代數與幾何相關知識．探究解析時要理解立體條件．挖掘特性特征．結合關聯知識轉化問題：要注意提取幾何模型，如上述提取的翻折模型、正方體截面模型等，教學引導分三個階段：第一階段，理解題干條件，讀懂空間幾何；第二階段，挖掘幾何特征、性質；第三階段，數形結合，構建解題模型．

2．總結問題解法，形成解題策略

立體幾何最值問題類型多樣．解法也不唯一（上述探究就總結了三種常用策略）．因此，在解題教學中，教師要引導學生主動總結問題解法．完善對應策略，方法探究總結可按如下思路進行：引例探究—解后分析—方法總結—應用強化．即提煉解法，生成策略．拓展應用．強化解法．方法探究總結要注意兩點：一是探究總結要包括方法含義、解題思路、問題題型等內容；二是細化構建過程，完善分步策略．

3．感悟解題方法．體會數學思想

解法探究是拓展學生思維、提升學生解題能力的重要方式，在探究教學中，教師要引導學生感悟解法．體會其中的數學思想．例如“構造函數”策略．就隱含了構造思想、化歸與轉化思想等．教學引導可從以下三個方面進行：一是從思路過程進行引導．讓學生思考構造函數的方法；二是從思想內涵進行引導．讓學生感悟“構造”的含義；三是從思維層面進行引導．讓學生體驗構造過程．感知應用思想方法解題的便利．