關注章起始課教學，發展數學學科核心素養

周康

[摘要]章起始課具有統領整個章節、搭建知識架構、發展學生的數學學科核心素養等重要作用．研究者以“圓錐曲線”的章起始課為例，從“創設情境，揭露現實意義”“材料分析，了解主要內容”“探究定義，感知基本方法”“歸納總結，勾勒知識脈絡”“拓展延伸，開闊認知空間”等方面展開教學設計與分析．與同行交流．

[關鍵詞]章起始課；核心素養；圓錐曲線

數學教材第一單元的第一課時基本上都與數學分支初始概念相關，不少教師因為這部分內容相對簡單，且在高考試題中鮮少出現，因此課堂中常以“快進”的模式處置．這種“重解題，輕結構”的行為．導致學生對知識的理解為碎片狀．難以建立完整的認知結構，事實上．章起始課是溝通本章節知識的紐帶．是建構完整知識體系、完善認知結構的基礎．

教學簡錄

1．創設情境．揭露現實意義

多媒體播放我國自主研發的月球探測器嫦娥五號發射過程．讓學生從直觀中感知嫦娥五號的升空過程與應用裝置.

設計意圖氣勢恢宏的嫦娥五號順利拉開了新章節的序幕，學生在這個充滿科技感的視頻中燃起了探究熱情與愛國情懷．為接下來研究圓錐曲線奠定了基礎．

2．材料分析，了解主要內容

（1）問題導讀，名稱追溯.

要求學生自主閱讀教材的章引言．并思考如下問題．

問題1哪幾種曲線屬于圓錐曲線？圓錐曲線和圓錐有什么聯系？怎樣改變平面和圓錐軸線的夾角來獲得圓錐曲線？

如圖1所示．為了增強學生的理解，教師借助多媒體用動畫的方式展示“當平面和圓錐軸線的夾角α發生改變（截面不過定點）時，截口曲線是如何變化的”．

當學生順利解決以上問題后．教師向學生介紹公元前200年左右，古希臘數學家阿波羅尼奧斯（Apollo-nius）是如何借助幾何法系統研究圓錐曲線的.

設計意圖以問題導讀的方式引發學生理解什么是圓錐曲線．動畫演示與史料滲透．意在深化學生對圓錐曲線由來的認識．為后續深入探究奠定基礎．

（2）實例應用，揭露性質.

問題2請列舉圓錐曲線可應用在哪些方面？

圓錐曲線不僅廣泛應用在人類生活與生產中．還應用在科技研究中．在學生列舉的基礎上．教師分別介紹彗星、行星與人造天體在運動過程中所形成的軌跡，讓學生感知三者圍繞太陽運動所形成的軌跡各不一樣，揭露橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線的特性，由此引入著名的“開普勒三大定律”，以豐富學生的認知體系.

此例成功驅動了學生的學習動力．讓學生對圓錐曲線產生了研究興趣．此時教師趁熱打鐵．分別展示探照燈、橄欖球等生活物品，讓學生再次感知生活中無處不在的橢圓、拋物線等．

設計意圖從科研、生活、生產等出發，引導學生了解“為什么要學習圓錐曲線”“學的內容是什么”，使學生從這些素材中初步感知圓錐曲線的特性與學習價值．以及更直觀地體會圓錐曲線的現實意義．對主要內容形成大概印象．

3．探究定義，感知基本方法

受傳統教學理念與應試教育的影響．當下仍有些教師存在“考試至上”的心理．殊不知．這種理念會令課堂喪失生命力．學生會因為課堂過于枯燥而喪失學習興趣．長期的被動學習會嚴重消減學生的學習效率．研究表明，在課堂上增加探究活動，借助問題驅動學生的探究行為．不僅能增強學生的學習體驗．還能讓課堂充滿智慧．師生則在富有生命力的課堂中實現教學相長．

（1）探究類比，提煉定義．

探究1若一根繩子上拴一支鉛筆，將繩子的一端固定住，另一端的鉛筆最大邊界是什么形狀？

探究2如果將一根繩子的兩端固定住（固定點的距離小于繩長）．在繩子上套一個環．將鉛筆拴在這個環上．在這種背景下鉛筆活動的最大邊界是什么形狀？

要求學生以小組合作學習的模式進行操作探究．學生在互相配合的基礎上獲得相應的結論．

問題3說說這兩個探究活動的區別在哪兒？通過探究活動的開展，嘗試總結橢圓的扁平程度與什么有關系？

問題4若探究2中固定兩根繩子的兩點距離大于或等于繩長．可畫出什么圖形？

設計意圖問題引領互動．學生在豐富的探究活動中進一步深化對橢圓定義、繪制要領以及扁平程度的理解，初步感知探索橢圓的基本方法，為接下來的驗證與應用夯實基礎．

（2）雙球探究，驗證定義．

探究3如圖2所示，在圓柱內放兩個球．兩個球與圓柱側面均相切．借助多媒體的動畫功能展示一個斜截圓柱的平面在運動過程中始終保持橢圓的形狀.

在動畫演示過程中．教師引導學生一起探索證明方法，并鼓勵學生基于合作交流展示結論，派一名代表到講臺上詳細介紹證明過程．順利完成以上環節之后．教師向學生滲透相應的數學文化．詳細介紹此為數學家丹德林（Dandelin）的雙球證明法．（其實，丹德林還借助單球明確了截口曲線為拋物線的事實．若學生對此感興趣，則鼓勵學生課后查閱資料進行了解．）

設計意圖這是一個驗證定義的過程．通過數學家的研究方法的展示．成功啟發了學生的思維．使學生對橢圓產生了探索興趣．感知一個定義的形成是多么有趣．同時又遵循了數學獨有的嚴謹性與科學性，在探索中，學生的自主講解可進一步鞏固對橢圓定義的認識．不僅認識到橢圓的來龍去脈，還能發展科學精神．感知每一個數學定義的背后都有嚴謹的論證過程．

（3）方程推導，方法探索．

引導學生深入探索圓錐曲線方程的推導過程．可拔高學生的思維．讓學生進入深度學習的狀態．由此提升實踐技能與創新意識，此處．側重圓錐曲線方程的推導方法的探索．引發學生自主探究與合作交流，充分凸顯學生是課堂真正的主人．學生主動執行教學任務．完成探究過程．不僅能完善認知結構．還能有效提升核心素養.

問題5圓的方程的推導是大家熟悉的過程．如果與之進行類比．該怎樣借助坐標系為圓錐曲線構建方程呢？

設計意圖類比思想作為重要的數學思想之一，它幫助學生從已有的認知經驗出發．通過知識或方法的遷移來探索新知，因此．類比思想的應用屬于一個“從已知出發．探索新知”的過程．圓的方程的探索是學生熟悉的過程，以此為出發點．通過遷移法的應用，學生能基于新舊知識的異同點發現端倪．為構建橢圓的方程奠定基礎．

操作活動：準備圖釘、40厘米長的繩子、紙、筆等工具，為學生設定好圖釘之間為20厘米的距離．讓學生按照要求畫橢圓，邊畫邊思考．并與圓的方程的探索過程進行類比，在合作探索的模式下推導橢圓的方程.

學生自主選建的平面直角坐標系有兩類：①以兩個定點F1，F2所在的直線作為橫軸，以線段F1，F2的中垂線作為縱軸；②以兩個定點F1，F2所在的直線作為橫軸，以點F作為原點.

展示：選擇典型的建系方式進行投影展示，要求學生講解建系方法、列式、化簡等，類比不同方程的優劣，引發學生反思．另外，要求學生分析和思考：若將以上探索過程中的具體數據更換成2a．2c．那么橢圓的方程是什么？

探索發現：橢圓的一般方程為特殊的二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0（*）．

設計意圖緊扣不同的建系方式，促使學生自主提煉數形結合思想，并讓學生在拓展延伸中進行推測．在比較中進行辨析，為形成辯證思維奠定基礎.

問題6類比之前研究函數的過程，橢圓的方程同樣滿足（*）式，那么（*）式是否具備代表圓錐曲線方程的功效呢？

在這個問題的驅動下．學生很快就想到用列舉法來分析，即借助“反比例函數”與“二次函數”來探索．具體方法為：xy-1=0是反比例函數y=1/x所對應的方程；ax2+bx+c-y=0（a≠0）是二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）所對應的方程．坐標系的平移或旋轉（可用多媒體演示）可將它們變成標準方程，據此，推測出（*）式的系數在滿足特定關系時．可用來表示相應的圓錐曲線，因此圓錐曲線又被稱為二次曲線．

設計意圖結合建構主義理論．由舊知引發新知．讓學生從真正意義上明確“如何學”．圓錐曲線從“形”與“數”兩方面的展示．為形成統一定義奠定了基礎．

4．歸納總結，勾勒知識脈絡

問題7本節課我們學習了哪些內容？用了什么數學思想和方法？請用導圖表示．

設計意圖學生用語言與圖示等總結課堂所學，提煉出相應的知識結構（見圖3），對本章節的知識體系有了初步認識．

5．拓展延伸，開闊認知空間

（1）若一個三角形的一條邊為6，周長為16，則這條已知邊所對應的頂點運動的曲線是怎樣的？要求學生基于平面直角坐標系探索待求的曲線方程．

（2）查閱丹德林研究不同截口曲線的資料．探尋最簡方法．

設計意圖拓展問題的設計．意在開闊學生的思維．進一步激發學生的探索欲，尤其是思考題的設計，彰顯了課堂的前后呼應．為后續教學埋下了伏筆．

幾點思考

1．多種手段．豐富教學模式

章起始課具有統領整個章節的作用．因此教師不能將目光只聚焦于本節課核心知識的探索上．還應從整體視角帶領學生通過多種方式感知單元知識結構．為初步形成良好的探究方法奠定基礎．如本節課就應用了合作交流、自主查閱資料、實踐操作等方式，在教師的引導下，學生在展示中充分體現了數學學科的“探究性”特征．

嫦娥奔月、畫橢圓、數學史的滲透等．促使學生對圓錐曲線的來龍去脈有了深刻理解．讓章起始課實現了“起—啟”的變化，整個課堂緊緊圍繞“什么是圓錐曲線”“為什么要學圓錐曲線”“如何學”等問題而定位，在多種手段的并用下有效完成了教學任務．

2．實驗探究，尊重數學事實

數學是一門嚴謹的學科．從具體情境與實操活動中抽象圓錐曲線的定義是尊重數學事實的體現，雖然學生在日常生活中對橢圓的形狀已經有了一定的感知．但對橢圓所滿足的幾何與代數特征并不了解，因此，教師借助丹德林的雙球模型展開教學．讓學生對橢圓的認識由感性上升到理性．

3．以生為本．核心素養為綱

新課標再三強調學生是課堂的主人，章起始課亦不例外．本節課的每個環節都將學生的自主思考、合作交流、操作實踐放在首位，教師只是起到組織與引導的作用，尤其是數學史的滲透．對培養學生的數學文化具有重要意義．這是“以生為本”理念的體現，也是將核心素養作為教學綱領的表現．對發展學生的關鍵能力具有重要價值與意義．

總之．關注章起始課教學．可從鏈接章節素材、活化知識結構、有機滲透數學文化等方面著手．實踐證明．章起始課是章節教學的“指南針”，對發展學生的數學學科核心素養具有重要意義．