關注CPFS結構，完善認知結構，發展核心素養

陸莉婷

[摘要]良好的認知結構是掌握學習方法、提高教學效率的基礎．研究者從數學認知結構與CPFS結構的概念與聯系出發，分別從以下四個方面例談教學設計與思考：思維導圖提煉CPFS結構；激發式教學發展CPFS結構；問題鏈推進CPFS結構；多變式設計完善CPFS結構．

[關鍵詞]CPFS結構；認知結構；核心素養

隨著新課改的推進．基礎教育飛速發展，各種新的教育理念也陸續進入大家的視野．如今的數學教育更關注學生的學科核心素養的培養，在影響核心素養發展的諸多因素中，認知結構起著關鍵性的作用．為此筆者對學生的認知結構的發展進行了大量研究，發現從CPFS結構著手設計教學對促進學生認知結構的發展具有重要意義.

核心概念

1．認知結構

認知結構是指學生腦海中的知識結構，如對知識理解的深度、寬度、感知覺、思維等均屬于認知結構的范疇．學生已有的認知結構是探索新知的源泉．

認知結構的特性有：①能動性，認知結構與知識結構有著質的區別，知識結構是客觀存在的內容，不受主觀因素影響．而認知結構卻是學習者經過主觀改造后形成的知識結構．屬于心理與知識融合的產物．具有高度的主觀能動性．②整體性．認知結構是學習者將所學內容有機地整合在一起構建而來的．新知學習就是完善原有認知結構的過程；③發展性．心理學家認為人的認知需要經歷同化、順應與平衡三個階段，隨著認知水平的不斷改造、重組與深化，學生的認知結構得到有效發展．

2．CPFS結構

CPFS結構由概念域、概念系、命題域、命題系所組成，其作用主要是揭露概念與命題之間的聯系．CPFS結構對學習產生的影響主要有：①促進理解．學生在學習過程中不斷發展與整合CPFS結構，對問題的理解就逐漸加深．大腦中所構建的知識體系也愈發完善．②整體把握知識結構，隨著CPFS結構的不斷完善，學生可從邏輯上重新認識數學概念與命題等．實現新舊知識的有機融合，基于“再發現”與“再認識”完善認知結構.

3．CPFS結構與認知結構的聯系

CPFS結構可代表大多數數學知識體系．幫助學生更好地理解與掌握新知．促進認知結構完善．在實際教學中．教師可有意識地發展學生的CPFS結構，提升學生自主構建知識的能力．鑒于數學的邏輯性較強．想要從真正意義上掌握其本質須對知識做到融會貫通．CPFS結構就是一種邏輯清晰、節點明確、聯系緊密的網絡結構，便于學生理解、記憶與提取信息．因此．關注CPFS結構的發展對完善學生的認知結構具有重要意義.

基于CPFS結構的教學設計

實踐發現．在數學課堂中優化與完善學生的CPFS結構可從思維導圖、激發式教學、問題鏈與多變式設計等方面著手．讓學生的認知結構沿著“點一線一面一體”發展．實現思維的網格化與立體化．

1．思維導圖提煉CPFS結構

思維導圖是一種以圖象與文字共同組成的記憶鏈工具，在如今的學科教學中應用得較多．它不僅能激活左腦中關于文字、數字與邏輯的內容．還能激活右腦中關于空間、線條與圖象的內容．雙側大腦同時工作，更利于認知結構的構建．在教學中，教師有意識地引導并鼓勵學生借助思維導圖認識教學內容．可進一步增強學生對知識的理解程度．幫助學生更好地把握新知．

案例1“函數的單調性”的教學.

函數的單調性問題．可從它的概念與題型出發．借助思維導圖將其中各個節點內容提煉出來，形成直觀可視的圖形，便于長久記憶，為靈活應用夯實基礎．思維導圖的應用可以進一步完善了學生的元認知結構．讓學生對命題間的CPFS結構有更加清晰的了解（見圖1）.

2．激發式教學發展CPFS結構

激發式教學是指從學生的興趣點出發，結合學生的思維與意愿來設計教學活動．數學本就源于生活．生活中的很多現象都可以用數學來揭示．如銀行貸款、分割田地、氣溫變化趨勢等問題．將這些豐富的生活問題應用到課堂中．一方面可以激發學生的探索欲．另一方面可以提高學生的生活能力．幫助學生更好地內化新知．

案例2“數列”的教學.

為了便于學生更好地理解數列現象，教師可借助數學史上著名的“兔子問題”來激發學生的探索欲：一般情況下．兔子生長2個月就具備繁殖能力，假定1對成熟的兔子每月能生1對小兔子（一雄一雌，且均成活），由1對新出生的兔子開始，求1年后一共有多少對兔子，過第1個月，兔子還沒有繁殖能力，因此兔子仍是1對；過第2個月，開始第1次繁殖，此時共有2對兔子；過第3個月，第1對兔子又生下1對小兔子．但第2對兔子還沒有繁殖能力，此時共有3對兔子．以此類推．具體情況見表1．

觀察表1呈現的數據．發現兔子的總對數1，1，2，3，5，…是一個特征明顯的數列．即任意前兩項相鄰數字的和都等于后面一項，這是一組有趣的數據．在生活實際中遇到的概率是怎樣的呢？有沒有什么方法可以用來描述這組數據呢？這兩個問題成功激發了學生的探索內驅力．學生對此充滿了研究興趣．

為了讓學生更寬泛地理解數列，還可以借助我國數學史上的經典名言“一尺之棰．日取其半．萬世不竭”．此言源于生活．通俗易懂．卻蘊含著深刻的數學極限思想，“一尺之棰，日取其半”構成了無窮遞縮的等比數列．假設木棰的長度Z為1．那么從第一天開始往后．其長度排列在一起形成了一個無窮數列：1／2，1／4，1／8，…，1／2n（n為正整數）．

上述兩個案例都應用學生感興趣的素材作為教學起點，一方面為學生自主構建CPFS結構奠定基礎，另一方面起到滲透數學文化的作用，學生通過這兩個素材的探索與研究，能有效促進認知結構的形成與發展．為核心素養的形成夯實了基礎．

3．問題鏈推進CPFS結構

眾所周知，問題是數學的心臟，數學教學實則為不斷提出問題與解決問題的過程．縱觀整個數學史的發展．每一次“質”的飛躍都是因為解決了一個或一類新問題．由此可以看出．問題始終是激發創造、推動學科發展的原動力．如無理數的發現．就源于打破了畢達哥拉斯學派所提出的“宇宙間所有現象均為有理數”的結論．無理數的提出不僅擴充了數系．推動了數學學科的發展．還解釋了一些之前無法解釋的現象.

以問題為中心的課堂是促進師生、生生雙邊積極互動的基礎，高質量的問題可有效啟發學生的思維．讓學生對探索內容產生好奇心．提高學習成效，問題鏈一般圍繞核心問題由淺入深地設計一串小問題為學生的思維搭建“腳手架”．讓學生通過對問題的逐個突破．從而對知識形成獨特的見解，提高思維能力，這是推進CPFS結構形成于核心素養發展的關鍵．

案例3“等差數列的前n項和公式”的教學.

為了有效提高學生的認知結構．讓學生基于CPFS結構從深層次理解等差數列的前n項和公式．教師在教學時可借助問題鏈激發學生的思維，讓深度學習真實發生．

問題1木材廠堆放了一堆圓木，從側面來看，圓木由上到下的數量分別為1，2，3，…，10．求這堆圓木的數量．

問題2據說，10歲的高斯用下面的方法迅速計算出了1+2+3+…+100的和：（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050．如果讓你計算1+2+3+-+98+99的和，你會怎么計算？

生1：（1+2+3+…+99+100）-100.

生2：（1+2+3+…+98）+99．

生3：（1+2+3+…+98+99+99+98+…+2+1）÷2．

生4：0+1+2+…+98+99．

生5：設S=1+2+…+99，S=99+98+…+2+1，則2S=（1+99）+（2+98）+…+（98+2）+（99+1），所以S=（100×99）÷2=4950．

問題3若想計算1+2+3+…+（n-1）+n的和，以上幾位同學的算法，哪種更簡便？

學生一致認為最后一種方法更簡便，其他幾種方法相對煩瑣，計算量大且容易出錯．基于此．為了進一步幫助學生構建“等差數列的前n項和公式”．教師可繼續以問題鏈的形式與學生互動.

問題4嘗試用最后一種方法求1+2+3+…+（n-1）+n的和．

問題5這個待求數列存在什么特點？（是公差為1的等差數列）

問題6通過以上問題的解決．你有什么發現或結論？（等差數列的和可用首項、末項與項數來計算）

問題7嘗試將以上求和問題進行推廣，形成一般形式．假設數列{an}是一個等差數列，其公差為d．首項為a1，用以上方法嘗試求Sn=a1+a2+a3+…an-1+an．

學生經合作探索與交流，獲得結論為：Sn=（a1+an）n/2.

問題8若把通項公式an=a1+（n-1）d代入上述結論，可獲得Sn的新形式嗎？（Sn=na1+[n（n-1）/2]d）

問題9結合以上推理過程與結論，完成如下練習……

問題鏈的設計，讓學生循序漸進、由淺入深地探索新知．學生的探索意識與探索能力隨著問題的逐漸深入而成熟，認知結構也逐漸趨于完善．在探索過程中．有些學生也會自主生成一些問題，教師可將有探索價值的問題延伸開來．順應學生的思維進行拓展分析，使得課堂動態生成．同時．CPFS結構在問題鏈的牽引下愈發豐滿．學生的認知結構也愈發完善．

4．多變式設計完善CPFS結構

多變式教學是指借助問題情境讓學生自主發現問題．在問題的探索中建構新知的教學方法，學生在這種教學模式下可通過多種渠道獲得新知．因此這是一種降低學習難度的方法．也是一種凸顯學生為課堂主體的教學方法，多變式設計完善CPFS結構對教師的專業素養有較高的要求．具體表現在如下兩個方面．

（1）了解學情.

課前．教師要在研讀新課標與教材的基礎上“備學生”，只有充分了解學生的最近發展區才能創設出恰當的情境引發學生課堂參與的積極性．同時．教師還要了解學生的思維習慣，盡可能預見學生在知識的探索過程中出現的各種可能，當然．課堂是動態變化的．就算基于精心預設的背景下，也很難做到面面俱到，這就要求教師擁有過硬的專業素養來靈活應對課堂中的突發情況，這些突發情況往往是促使課堂動態生成的契機，對拔高學生的思維具有重要意義．

（2）巧設情境.

情境是多變式教學的背景．恰當的問題情境能成功激發學生的思維．挖掘學生的潛能．引發學生思考．學生置身于豐富的情境中積極探索．教師可在適當時機給予點撥，根據學生的實際表現調控課堂．如數學史、數學小故事、生活熱點等，都是引發學生思考的好情境．情境展示除了教師的口頭描述外．還可以借助多媒體的播放功能、幾何畫板的演示功能等，讓學生在視覺化情境中感知學科魅力．

例如“解三角形”的教學．就可以通過生活實際情境如計算河兩岸建筑物的距離，激發學生的興趣，帶領學生從多個角度出發探索結論：如等比數列前n項和公式的探索，可以借助一些小故事揭露原理．提高課堂探索氛圍；再如線性規劃問題的教學．可以借助多媒體展示科學技術的高超之處，讓學生感知數學學科的趣味性與實用性等．

多變式設計，不僅可以豐富課堂，激發學生的學習欲．還能完善學生的CPFS結構．讓學生對知識做到“知其然且知其所以然”，使學生的認知在豐富的教學手段中得以長效發展．

總之，結合學情、教情與考情選擇不一樣的教學方式．不僅能讓抽象的數學變得趣味十足．還能讓學生對數學學科產生親近感．從而更加樂學、善學．因此，高中數學教學中關注CPFS結構的構建．是完善學生認知結構的基礎，也是發展學生數學學科核心素養的關鍵．