高職數(shù)學(xué)中函數(shù)求極限方法總結(jié)

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2312-5042-3602

作者簡介：馬文慧（1993—），女，碩士，研究方向?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)、數(shù)學(xué)建模、圖論。

摘 ?要：極限是高職數(shù)學(xué)課程中最為基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，它既是前面函數(shù)這部分內(nèi)容的加深與延續(xù)，又是后續(xù)連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等知識(shí)的前提與基礎(chǔ)。因此，函數(shù)極限在整個(gè)高職數(shù)學(xué)中的重要性不言而喻，而求函數(shù)極限的方法種類繁多、靈活多變，對(duì)此高職學(xué)生不易熟練掌握，往往感到束手無策。筆者總結(jié)出一些高職學(xué)生能理解的求函數(shù)極限的常用方法，并結(jié)合例題解析每種方法的適用極限類型和注意事項(xiàng)，旨在幫助高職學(xué)生能更好地理解與解決函數(shù)求極限的問題。

關(guān)鍵詞：高職數(shù)學(xué) ?函數(shù)極限??方法總結(jié)??洛必達(dá)法則

中圖分類號(hào)：O174

極限是高職數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，它不僅是研究微積分學(xué)的重要工具，而且還是許多重要概念——微分、導(dǎo)數(shù)、定積分等的定義基礎(chǔ)。因此，掌握求函數(shù)極限的方法是學(xué)好高職數(shù)學(xué)課程的關(guān)鍵。本文根據(jù)高職學(xué)生的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，按照由易到難、學(xué)習(xí)的先后順序總結(jié)出幾種常用的求函數(shù)極限的方法，同時(shí)給出每類方法的注意事項(xiàng)以及優(yōu)缺點(diǎn)，使得高職學(xué)生對(duì)函數(shù)極限有全面深入的理解，從而達(dá)到快速求解、簡化計(jì)算的目的。

1 ?定義法

一般情況下，為了高職學(xué)生能夠更好地理解函數(shù)極限的概念，教師在授課時(shí)往往為學(xué)生講解函數(shù)極限的描述性定義，而不是本科學(xué)生接觸的函數(shù)極限的嚴(yán)格定義——“”定義。函數(shù)極限的描述性定義[1]，其核心思想就是當(dāng)自變量存在以下6種變化過程中的任何一個(gè)時(shí)（、、、、、），函數(shù)無限地接近于一個(gè)確定的常數(shù)，這即為函數(shù)的極限。定義法又名觀察法，顧名思義就是利用一些數(shù)學(xué)軟件如GeoGebra、Mathfuns等描繪出函數(shù)的圖像并觀察，然后再結(jié)合函數(shù)極限的描述性定義、函數(shù)的性質(zhì)、特征等，得出函數(shù)極限的一種方法。

例1 ?求極限

解析：是的反函數(shù)，學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)極限之前，已經(jīng)了解了其大致圖像和性質(zhì)。因此，通過數(shù)學(xué)軟件GeoGebra或者利用反函數(shù)的性質(zhì)可得到的圖像，如圖1所示，通過觀察圖像，該函數(shù)的極限一目了然。

解：由函數(shù)的圖像及特點(diǎn)，可知當(dāng)時(shí)，無限地接近于，故由極限的描述性定義知：。

上述例子使用的定義法，是高職學(xué)生接觸的第一個(gè)求函數(shù)極限的方法，它不僅可以很好地幫助高職學(xué)生理解函數(shù)極限的內(nèi)在涵義，還可在無形之中鍛煉學(xué)生動(dòng)手操作數(shù)學(xué)軟件畫圖的能力，更能為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的水平漸近線打下基礎(chǔ)。但定義法也有局限之處，就是它依賴于用數(shù)學(xué)軟件來描繪函數(shù)圖像，所以學(xué)生僅能在平時(shí)練習(xí)時(shí)使用，無法在考試中通過觀察函數(shù)圖像獲取函數(shù)極限。所以這也是此種方法的缺點(diǎn)——高度依賴數(shù)學(xué)軟件，但它可以在很大程度上幫助學(xué)生理解函數(shù)的極限。

2 代入法

在函數(shù)的連續(xù)性這部分內(nèi)容中，有如下定義[1]：如果函數(shù)在某點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，且有該點(diǎn)的極限值等于其函數(shù)值，即，則稱函數(shù)在該點(diǎn)處是連續(xù)的。代入法又稱利用函數(shù)連續(xù)性求極限，根據(jù)此定義，只要能夠判定函數(shù)是連續(xù)的，就可以把求函數(shù)極限的問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算函數(shù)值的問題。

對(duì)復(fù)合函數(shù)，若，且函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則函數(shù)符號(hào)可以和極限符號(hào)交換次序，即。據(jù)此，可以簡化求函數(shù)極限的過程。

例2 ?求極限

解析：因?yàn)?img alt="" height="19" src="file：///C：/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml1164/wps376.png" width="67"/>是復(fù)合函數(shù)，且是連續(xù)的，所以其在處的極限值等于函數(shù)在處的函數(shù)值。

解：。

在使用代入法求函數(shù)極限時(shí)，要特別注意以下幾點(diǎn)。（1）只有連續(xù)函數(shù)的極限值才等于其函數(shù)值。例如：當(dāng)分段函數(shù)在分點(diǎn)處不連續(xù)時(shí)，其在分點(diǎn)處的極限就需要求在該點(diǎn)的左右極限，而不是令極限值直接等于其在分點(diǎn)處的函數(shù)值。（2）只有復(fù)合函數(shù)的外層函數(shù)在內(nèi)層函數(shù)的極限處是連續(xù)的，函數(shù)運(yùn)算才可以和極限運(yùn)算交換順序。代入法雖然降低了計(jì)算難度，但它只能解決連續(xù)函數(shù)求自變量趨于有限值時(shí)的極限，適用范圍較窄。

3 無窮小的運(yùn)算性質(zhì)

關(guān)于無窮小的運(yùn)算性質(zhì)，有如下定理[1]：無窮小與有界量的乘積是無窮小。根據(jù)這一定理，可以求一些符合定理?xiàng)l件的兩個(gè)函數(shù)乘積的極限。

例3 ?求極限

解析：函數(shù)可以看成兩個(gè)函數(shù)與的乘積，其中時(shí)，是無窮小，是有界量，根據(jù)定理，它們的乘積仍為無窮小。

解：時(shí)，是無窮小，是有界量，故。

一般情況下，高職學(xué)生能夠比較容易地判斷出函數(shù)在的某一個(gè)變化過程中是否為無窮小，但對(duì)于有界量的判定不是很熟練。這就要求高職學(xué)生要熟記一些常見的有界量，如、、、、、等。

4 無窮小與無窮大的關(guān)系

由無窮小與無窮大的定義[1]，可知如下定理：在自變量的同一個(gè)變化過程中，無窮大的倒數(shù)是無窮小，恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大。由此定理可知，如果所求函數(shù)其倒數(shù)的極限為無窮小，那么原函數(shù)的極限就為無窮大。

例4 ?求極限

解析：當(dāng)把2帶入所求極限的函數(shù)后，發(fā)現(xiàn)分子極限為8，分母極限為0，因此屬于“”型極限。根據(jù)上述定理，可以考慮先求原函數(shù)倒數(shù)的極限，再利用無窮大與無窮小的關(guān)系，便可得出原函數(shù)的極限。

解：因?yàn)?img alt="" height="32" src="file：///C：/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml1164/wps401.png" width="86"/>，所以是時(shí)的無窮小，所以其倒數(shù)是時(shí)的無窮大，即，極限不存在。

像這樣，分子極限為常數(shù)，分母極限為0的極限類型可記為“”型極限，這里1是泛指分子極限為常數(shù)而不僅僅是1，利用無窮小與無窮大的關(guān)系，該類型的極限結(jié)果均為。

5 極限的四則運(yùn)算法則

在自變量的同一個(gè)變化過程中，若兩個(gè)函數(shù)都有極限，則其和差的極限等于極限的和差，乘積的極限等于極限的乘積，商的極限等于極限的商，其中分母的極限不為零。能直接利用法則的情況與代入法類似，比較簡單。但大部分都需要經(jīng)過約分（十字相乘法，平方差、立方差公式）、有理化、通分、三角函數(shù)恒等式[2]等恒等變形后，才能使用法則。

例5 ?求極限

解析：該極限為“”型極限，觀察發(fā)現(xiàn)分子、分母可以用“十字相乘法”進(jìn)行因式分解，約去極限為0的因式后，便可使用法則求極限。

解：

例6 ?求極限

解析：該極限為“”型極限，觀察發(fā)現(xiàn)分母可通過有理化去掉根號(hào)，進(jìn)而約去極限為0的因式，可直接使用法則求極限。

解：

例7 ?求極限

解析：時(shí)，括號(hào)內(nèi)兩式的極限均為，即不存在，故此極限為“”型極限。觀察發(fā)現(xiàn)可以先通分合二為一，轉(zhuǎn)化成“”型的極限，再利用法則。

解：

如果所求極限類型為“”“”型，無法直接使用極限的四則運(yùn)算法則，必須先對(duì)原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃危s去極限為0的因式后，才可使用法則求極限。

6 有理分式函數(shù)

當(dāng)時(shí)，“”型的有理分式函數(shù)極限有如下結(jié)論：

，其處理方法就是分子、分母同時(shí)除以的最高次冪[3]。

例8

該方法的結(jié)論可在解決客觀題時(shí)提高解題效率。

7 兩類重要極限

第一類重要極限的特點(diǎn)為：（1）該極限是“”型的極限；（2）該極限所有的位置都可被替換；（3）分式的分子中包含。

第二類重要極限的特點(diǎn)為：（1）該極限類型為型極限；（2）括號(hào)內(nèi)兩式子之間為“+”；（3）該極限所有的位置都可被替換；（4）括號(hào)內(nèi)除1外的式子和指數(shù)位置的式子互為倒數(shù)[4]。

例9 ?求極限

解析：該極限滿足第一類重要極限的前2個(gè)特點(diǎn)，故只需要利用三角恒等變形，讓分子上出現(xiàn)即可。

解：

例10 ?求極限

解析：該極限符合第二類重要極限的前2個(gè)特征，只需要把指數(shù)位置的式子改造成括號(hào)內(nèi)除1外式子的倒數(shù)，然后前后維持恒等即可。

解：

8 等價(jià)無窮小的代換

在計(jì)算兩個(gè)無窮小比值的極限時(shí)，有如下定理：如果，，且存在或?yàn)?img alt="" height="12" src="file：///C：/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml1164/wps446.png" width="14"/>，則有。這里要注意等價(jià)代換具有整體性，要么替換整個(gè)分子或整個(gè)分母，要么替換分子、分母的因式。簡單來說就是等價(jià)無窮小的代換只能發(fā)生在“×、÷”之間，不能發(fā)生在“+、-”之間。

例11 ?求極限

解析：雖然時(shí)，有、，但不能直接代換，因?yàn)?img alt="" height="15" src="file：///C：/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml1164/wps452.png" width="30"/>、不是分子的因式，且其前面的符號(hào)為“+、-”。觀察發(fā)現(xiàn)分子可通過提取公因式后，利用、進(jìn)行代換。

解：

等價(jià)無窮小的代換極大地簡化了一些極限的求解[5]，高職學(xué)生需要牢記一些常用的等價(jià)無窮小的代換公式[6]：即時(shí)，有，，。

9 洛必達(dá)法則

洛必達(dá)法則是在滿足一定條件下，把兩個(gè)函數(shù)商的極限轉(zhuǎn)化為其對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)商的極限，從而解決“”或者“”型函數(shù)求極限的問題。其他類型的極限需要先做恒等變形，轉(zhuǎn)化極限類型后，再使用洛必達(dá)法則，如“”“”“”[7]。

例12 ?求極限

解析：該極限類型為“”，分子、分母及其導(dǎo)數(shù)都可求導(dǎo)，且它們的導(dǎo)數(shù)都有極限，直接使用三次洛必達(dá)法則即可求出極限。

解：

例13 ?求極限

解析：該極限類型為“”，不符合洛必達(dá)法則的條件，但可以通過恒等變形，轉(zhuǎn)化極限類型為“”，再使用洛必達(dá)法則。

解：

例14 ?求極限

解析：這是“”型的極限，不能直接應(yīng)用洛必達(dá)法則，但可通過適當(dāng)變形，先通分，把極限轉(zhuǎn)化為“”型，再使用洛必達(dá)法則。

解：

在使用洛必達(dá)法則解決“”型極限前，要先借助對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，把其轉(zhuǎn)化為型函數(shù)，再利用“”型極限的解法繼續(xù)求極限，如，其他“”型類似。

10 結(jié)語

求函數(shù)極限的題目種類繁多，涉及到高職數(shù)學(xué)中的許多知識(shí)點(diǎn)，這就意味著學(xué)生要掌握的知識(shí)從函數(shù)極限一直延伸到導(dǎo)數(shù)、定積分等，因此高職學(xué)生熟練掌握起來有一定困難。本文按照由易到難的順序闡述了上述幾個(gè)理解和計(jì)算函數(shù)極限的方法，并給出了分析過程。綜合來看，沒有一種求函數(shù)極限的方法是萬能的，能夠解決所有題目；一個(gè)題目或許需要幾種方法才能求出極限。因此，高職學(xué)生在面對(duì)求函數(shù)極限的題目時(shí)，要根據(jù)其極限類型靈活地選用方法，從而達(dá)到簡化計(jì)算、快速求解的目的。

參考文獻(xiàn)

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