貼近主線并聚焦目標：單元復習課的選題追求

錢后義

摘要：七年級的綜合題中有一類“數軸上雙動點”問題，更適合在七年級上學期期末階段的復習選用，而不太適合在有理數或整式加減這兩章就急于選、練、講.這類“數軸上雙動點”綜合題的解題關鍵是“數形結合”，將動點所對應的“數”（用含未知數的字母）表示出來，然后抓住運動中的等量關系列出方程求解.

關鍵詞：貼近主線；聚焦目標；單元復習課；數軸雙動點習題

最近，學校教導處組織工作三年之內的年輕教師上匯報課，筆者有機會參加聽課、評課活動.教學內容是七年級上學期有理數和整式加減兩章的復習.老師們精心備課、精彩展示，看得出年輕教師努力上進的專業追求．當然，教學是遺憾的藝術，其中有一位教師在復習課的學案上選編了一道數軸上的雙動點綜合題，雖然也有少數學生在課堂上能挑戰成功，并與全班講解分享，但這道習題的講評并沒有突出數軸的本質，解法也只是重復了小學階段行程問題的思路，不夠貼近本課復習目標．本文中先概述筆者的觀課與隨感，然后給出單元復習課選題的建議和教學思考，供討論．

1 數軸上雙動點習題講評及聽課隨感

習題 如圖1，在數軸上有C，D兩點，它們分別對應著數－10，5．現有一只電子螞蟻H從點C出發，以每秒1個單位長度的速度沿數軸負方向向左運動，同時另一只電子螞蟻Q從點D出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸負方向向左運動．

（1）設兩只電子螞蟻在數軸上的點E處相遇，求點E對應的數；

（2）經過多少秒，兩只電子螞蟻在數軸上相距9個單位長度，并求此時電子螞蟻Q在數軸上對應的數．

學生獨立練習5 min左右，教師挑選了一個學生的解題過程進行投影，并安排學生Z上臺講解：

第（1）問，兩只電子螞蟻的初始距離即C，D兩點間的距離是5+10＝15個單位長度，兩只電子螞蟻在15÷（4-1）＝5秒后相遇．所以點E對應的數是5－4×5＝－15.

第（2）問，當兩只電子螞蟻未相遇時相距9個單位長度，它們的相遇時間為（15－9）÷（1+4）＝1.2秒，這時電子螞蟻Q所在點表示的數為：5－1.2×4＝0.2.

當兩只電子螞蟻相遇后相距9個單位長度時，它們的相遇時間為（15+9）÷（1+4）＝4.8秒，這時電子螞蟻Q所在點表示的數為：5－4.8×4＝－14.2．

老師聽了之后連連搖頭說：“第（2）問的解答不正確，

你把動點問題淺顯地看作行程問題來解，十分容易出現把公式套用錯誤的情況，比如你就把追及問題當作相遇問題，兩點相向而行來思考，大錯特錯了！”

于是學生Z重新畫圖分析后，修正第（2）問的答案如下：

如圖2，當兩只電子螞蟻未相遇時相距9個單位長度，它們的相遇時間為（15－9）÷（4－1）＝2秒，這時電子螞蟻Q所在點表示的數為：5－2×4＝－3.

如圖3，當兩只電子螞蟻相遇后相距9個單位長度時，它們的相遇時間為（15+9）÷（4－1）＝8秒，這時電子螞蟻Q所在點表示的數為：5－8×4＝－27．

聽課隨感：近年來，這類動點問題在七年級上學期比較“流行”，且不論這些流行的“人為編造”的數學習題是否“有趣”或“無趣”．觀課中可發現學生Z在小學階段已深刻理解行程問題，當動點問題“生長在”數軸上，他能迅速轉化為小學階段就很熟悉的行程問題，不必管數軸的“包裝”，排除干擾，善于轉化，精選工具（算術），快速解決．遺憾的是看錯行程問題的類型，導致錯誤，隨后教師點評并啟發“以形助數”，在圖形直觀啟示之下，解題步驟展現出“讓思維可見”的“好的表達”！

對于執教老師的課堂表現來說，也顯得教法相對“單一”，比如從上文觀課記錄可以看出，該教師與學生Z的對話基本上是“一對一”的，忽略了其他同學的課堂參與．如果教師在學生Z出錯后，能圍繞這個錯誤、化用這個“錯誤資源”，組織全班同學討論、糾錯并究錯，則會是一次更有價值的“化錯教學”（小學數學特級教師華應龍老師積極倡導）．

本質上說，上述方法仍然是小學階段就已經（或應該）訓練了的，還沒有顯示出數軸作為“數形結合”重要工具的價值．比如，我們可以設運動時間為t秒，則點H，Q對應的數分別是－10－t，5－4t．由兩點間的距離公式，可得HQ＝|（－10－t）－（5－4t）|＝9，化簡得|3t－15|＝9，即3t－15＝9或3t－15＝－9，解得t＝8或t＝2．

這種思路能很好地體現了數軸上的點與所對應的數（含t的式子表示）之間的關系，然后借用兩點之間的距離公式列出含絕對值的方程，這些知識或解法背后展現的數學思想對于八、九年級的函數問題，或者坐標系下的求解都是非常有發展性的．當然，由于學生才學到有理數、整式加減這兩章，上述“好的方法”（更體現數軸價值）可能涉及到方程的解法，“急于拋出”這種解法有“超進度”之嫌，待整式加減、一元一次方程學習之后的階段復習或期末復習，再適當安排專題講評，或許是更合適的選擇.

2 關于單元復習課選題的幾點思考

（1）選題之前要明確單元復習的目標

單元復習課的教學設計或備課要明確教學目標，而不只是羅列知識點、選幾道例題和習題就是備課工作．具體來說，圍繞單元復習課的內容，查閱課程標準和教材，然后擬定3～4條復習目標（復習課的教學目標不同于新授課）.比如，數軸、相反數、絕對值這些內容在新授課時的教學目標就要細化處理，而在有理數單元復習時，往往只是一句話“理解有理數及相關概念”．再如，整式加減中第1課時學習單項式、多項式及相關概念時，有很多零碎的知識點，在單元復習時只能濃縮為“理解整式及相關概念”，而需將有理數、整式的運算作為階段復習或單元復習的重要目標進行表述．

（2）選題改編要圍繞單元復習的重點

在明確了復習課的教學目標之后，選題就要圍繞教學目標有序展開，由易到難、漸次展開．以有理數、整式加減的階段復習課為例，復習重點應該是有理數、整式加減的運算，這節課中選題的重心也要落在運算上.具體來說，例習題的選編要體現在運算上，但并不全部是以前練習過的運算習題的拼湊，反復練容易形成審美疲勞，也是一種“內卷”.教學中可以將運算訓練類習題進行變式改編，比如摘選新授課期間學生的一些運算錯誤進行展示，安排學生參與糾錯、究錯［1］，并交流運算心得或分享經驗．再如，數學來源于生活、服務于生活，針對有理數、整式加減的復習重點，還可適當選編生活實際問題，讓學生運用這一階段所學習的內容、工具、模型來解決問題，突出應用能力、數學建模能力的訓練．

（3）較難題內容效度要聚焦本課主線

復習課在“后半段”一般都會選編一、兩道較難的例習題，以便讓學生在問題漸次展開的過程中，由易到難、拾級而上［2］、挑戰自我．這些較難題的選編非常考驗教師備課選題的基本功，很容易出現隨手選編“流行考題”“名校考題”之類的做法，而這些考題往往來源于期末試卷（甚至是中考試卷），其命題人對這些題的命題定位是整個學期（或初中學段），這樣選編成單元復習時這類問題的內容效度往往有較大的偏差．比如上文提及的數軸上的雙動點問題，在有理數、整式加減之后就匆忙選編訓練就不太恰當，因為這類問題“較好的解法”（或者有“初中味道”的方法）需要學生有扎實的方程、線段和差倍分等知識儲備．又如，學生在初學全等三角形之后，有些教師對一些同步教輔書上的習題不加取舍，沒有認真研究教材上新授課期間全等三角形的習題要求，人為拔高全等三角形的練習難度，增加學生對幾何學習的畏難情緒．

參考文獻：

［1］華應龍．華應龍與化錯教學［M］．北京：北京師范大學出版社，2015.

［2］劉東升．問題驅動漸次展開，開放對話查漏補缺——以勾股定理復習課為例［J］．中學數學，2021（18）：6-7，75．