逆向思維：開辟初中數學解題教學的另類思維

摘? 要：逆向思維是一種與常規思維相反的思維方式.在解題遇到難以突破的瓶頸時，逆向思維能夠起到出乎預料的作用.文章首先梳理了逆向思維在初中數學解題教學中的應用價值，然后分別從創設情境，了解逆向思維；問題啟發，促進深度思考；方法總結，掌握解題技巧；拓展訓練，促進鞏固遷移；綜合評價，注重歸納總結五個方面，探討了初中數學解題教學中培養學生逆向思維的有效策略.

關鍵詞：逆向思維；初中數學；應用價值；解題；策略

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）14-0018-03

收稿日期：2024-02-15

作者簡介：林雨菲（1996.4—），女，山東省臨沂人，中小學二級教師，本科，從事初中數學教學研究.

逆向思維可以幫助研究者另辟蹊徑，靈活運用所學知識找到問題的解決方案［1］.在初中數學教學中，教師指導學生合理運用逆向思維，對培養學生良好的學習品質具有重要意義.基于此，筆者結合具體案例，探究初中數學解題教學中培養學生逆向思維的有效策略.

1 逆向思維在解題教學中的應用價值

1.1 拓展思維空間

回顧傳統的數學教學，初中生在解答問題時，因受傳統解題思路的影響，習慣按照條件推導結論的學習方式，鮮少采用先假設結論，后證明條件的逆向解題方法.長此以往，不利于學生思維能力的發展.合理應用逆向思維，可以有效拓展學生的思維空間，強化學生的思考能力.與傳統的解題思路不同，逆向思維會引導學生朝相反的方向思考，幫助學生深入分析問題，從中找出合乎邏輯的解決方案.在此過程中，可以改變學生解題思維僵化的情況，幫助學生跳出常規解題思路的框架，迅速求出問題的正確答案.

1.2 發展創造能力

通過逆向思維，不僅能幫助學生發散思考，讓解題思維變得發散，使學生的學習充滿創造力，還能在潛移默化中豐富學生的想象力，使其思維變得更為靈活，形成獨特的學習見解［2］.對此，教師可以精選一些適用于逆向思維的經典例題，讓學生在思考、分析、解決的過程中打破思維的桎梏，對數學知識進行靈活應用、拓展探索.

1.3 提升學習效率

相比過去的數學題目，現今初中數學練習題的解析難度明顯有所提升.通過引入逆向思維，可以充分調動學生的學習興趣，激發其探究學習熱情，逐漸形成良好的自主學習習慣.

2 培養學生逆向思維的有效策略

2.1 創設情境，了解逆向思維

在實際教學中，許多學生對于逆向思維的了解不足，在解題過程中不習慣使用這種思考方式.因此，教師需要先讓學生對逆向思維產生初步的學習印象，打好運用的基礎.針對以上目標，教師可以采用創設情境的方式，讓解題教學更為直觀化、情境化，將逆向思維有效融入解題過程之中，簡化題目的分析難度.在情境的渲染下，可以促進學生的數學思維不斷發散，在潛移默化中達成逆向思考的目的.

例1? 在一處池塘中存在某種水生植物，每生長一天，它的覆蓋面積都會達到上一次的2倍，假如20天它能長滿整個池塘，試問經過多少天之后，這種水生植物能長滿整個池塘的1/16？

分析? 針對這道問題，許多學生會產生無從下手的感覺.教師可以通過多媒體設備展示圖片模型，并結合逆推的方式，將水生植物的增減變化效果呈現出來，讓解題過程變得更為直觀化.根據題干條件，水生植物每生長一天，覆蓋面積都會變成上一次的2倍，到20天剛好長滿池塘.如果進行逆向推導，第19天，水生植物會覆蓋池塘的1/2，18天覆蓋到池塘的1/4，17天覆蓋到池塘的1/8，16天覆蓋到池塘的1/16.由此即可求出答案.

例2? 在某個容器桶中裝有若干升酒精，如果第一次倒出三分之一，再倒進40升，第二次倒出當前酒精的一半還多43升，桶里還剩酒精37升，試問容器桶中最開始的酒精有多少升？

分析? 按照正向的解題思路，本題可以通過列一元一次方程的方式求出答案，但列式過程和運算過程均十分繁瑣.如果采用逆推法，可以簡化解析思路，迅速推導出正確結果.比如，如果第二次倒酒精時只倒一半，容器中所剩酒精應當為43+37=80（升）.因此，若第二次不倒酒精，桶里應當還剩80×2=160（升）.再反推一個環節，如果第一次倒出酒精之后，不倒入40升，酒精量應當有160-40=120（升）.這就是最開始酒精的23，所以最開始的酒精應當有180升.

通過情境的展示，可以提高解題教學的趣味性.將逆向思維的推導過程以圖片的形式展示出來，可以點燃學生的學習興趣，給予學生良好的學習體驗，讓學生認識到逆向思維在解題中的重要作用.

2.2 問題啟發，促進深度思考

由于逆向思維的運用難度相對較高，初中生在剛接觸這種解題思路時，往往缺乏應用意識或對基礎知識掌握不牢固，導致自己仍舊采用正向思維思考問題，這會使解題過程變得十分繁瑣，還會提高學生出錯的概率.因此，在解題教學中，教師應當有意識地采用問題教學法，借助問題促進學生的深度思考，引導學生積極交流互動，分享彼此的學習心得，營造集思廣益的學習環境.由此，可以有效激發學生的思維活力，幫助學生逐漸掌握逆向思維.

例3? 已知平面直角坐標系中有A（1，2），B（5，n）兩個點，n＞0，在線段AB上存在一個動點P，反比例函數y=kx（x＞0）的圖象剛好經過點P.針對這道題，小剛說：點P從A到B，運動過程中，k值會不斷增大，在點A最小，在點B最大.

根據以上題干條件，教師可以按照循序漸進的方式，引出多個思考問題：

（1）令n=1，試求直線AB的函數表達式；

（2）你認為小剛的說法是否正確？說明你的理由.如果不正確，試分析什么時候k最大，什么時候k最小，并求出對應的最值；

（3）若小剛說法沒有錯誤，試求n的取值范圍.

以上幾道問題的難度依次遞增，問題（1）和問題（2）相對比較簡單，通過正向思考，可以迅速列出函數表達式，證明小剛的結論是否正確.問題（3）則與常規提問有所不同.在多數情況下，題目會給出一個固定的范圍，要求學生求出對應的值，而本題則反其道而行之，要求學生求出n的范圍.對此，教師可以通過逆向思考的方式，分別列舉n=2和n≠2這兩種不同的情況，進行分類討論，并根據k的取值情況，推導出n的取值范圍.在此過程中，學生會逐漸熟悉逆向思維的運用，理清解題思路，產生良好的逆向思維應用意識.

2.3 方法總結，掌握解題技巧

逆向思維在解題中的實踐應用，并非單純地硬想硬算，其中也有一些科學的解題技巧，可以充分展現逆向思維的解題優勢.在實際教學中，教師可以幫助學生做好歸納總結，提煉高效的解題方法，讓學生在潛移默化中掌握良好的解題技巧，從而提高其分析問題和解決問題的能力.

例4? 已知某四邊形ABCD，存在兩個點M，N，二者分別為AB，CD的中點.MN與AD、BC線段之和的一半恰好相等，求證：AD∥BC.

分析? 對于這道例題，可以通過常規的方式加以推導.當學生證明結論之后，教師可以趁熱打鐵，提示學生通過逆向思維進行反證.比如，如圖1所示，假設AD與BC不屬于平行關系，如果將B，D連接，令P為線段BD的中點，將P點與M、N分別連接.在△ABD中，因為M為AB中點，P為BD中點，則MP∥AD，MP=AD/2.同理，PN∥BC，PN=BC/2，所以MP+PN=（AD+BC）/2.根據先前的假設AD與BC不平行，可知BD中點不在MN上.否則，根據“三角形兩邊中點連線平行于第三邊”的性質，可以推導出MN分別與AD、BC平行，則AD∥BC，與假設明顯矛盾.進一步推導，由于M、P、N三點不屬于共線關系，則三點可以構成三角形，其中兩邊之和大于第三邊，即MP+PN＞MN.將之前推導出的等式代入其中，可知（AD+BC）/2＞MN.這與題干中的條件“MN與AD、BC線段和的一半剛好相等”相互矛盾，故而假設不成立.

綜上所述，教師通過講解例題幫助學生梳理思路時，可以巧妙引入另辟蹊徑的推導方式——反證法，幫助學生掌握逆向思維的妙用.

2.4 拓展訓練，促進鞏固遷移

若想讓學生熟練掌握逆向思維，教師不能只重視課堂上的教學分析，更要加強課后的指導練習.對此，教師可以通過拓展訓練的方式，推薦一些有關逆向思維的經典例題，為學生提供充足的實踐機會.

例5? 計算（5-3）2（8+215）.

分析? 按照常規的教學思路，學生通常會按照固定的運算順序，先計算（5-3）2，再結合多項式乘法法則展開，進行合并和化簡.如果學生善用逆向思維，可以觀察到8+215這個式子可以轉化為（5+3）2.由此，就能將原式轉化成（5-3）2（5+3）2.再逆用積的乘方公式，就能順利求出結果.

例6? 已知三個方程x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一個方程有實數根，試求實數a的取值范圍.

分析? 對于這道題目，若從正向思維的角度考慮，可能情況一共有七種.如果學生逐一分析，分別求出取值范圍，再取并集.不僅討論情況十分復雜，計算錯誤的概率也會顯著提升.相反，若采用逆向思維，從三個方程均沒有實根切入思考，只需要考慮一種情況即可.

對于拓展訓練而言，教師應當謹記，所選的題目應盡量簡練，應當針對所教的逆向思維解題方法，引入類型相似的練習題，開展專項訓練.教師切記不要采用題海訓練的方式，要求學生反復刷題.這樣不僅不能讓學生得到良好的練習效果，甚至弄巧成拙，給學生帶來巨大的解題負擔.

2.5 綜合評價，注重歸納總結

在初中數學解題教學中，培養學生的逆向思維是一個循序漸進的過程，教師需要實時了解學生的實際學情，判斷學生是否吃透、掌握了逆向思考的方式.對此，教師需要完善教學評價環節，通過綜合性的評價方式，加強歸納總結，為優化下階段的解題提供良好的參考幫助.

3 結束語

在新課程改革背景下，初中數學教學內容發生了較大的變動.學生不能只采用直來直往的方式解決問題，而是要學會善用逆向思維，從另一個角度切入問題.這不僅能提高學生的解題效率，強化學生的學習基礎，也有助于發展學生的核心素養.

參考文獻：［1］ 夏云云.初中數學教學中學生逆向思維能力的培養［J］.基礎教育論壇，2023（15）：95-96.

［2］ 黃圣杰.逆向思維在初中數學解題中的應用［J］.數理天地（初中版），2023（13）：35-36.

［責任編輯：李? 璟］