數學概念的內涵與外延的教學創設

趙三洪

對于某一數學概念的掌握過程需要從類比與遷移、抽象與概括、拓展與歸納等多思維層面協調認知.以“反比例函數”的概念為例，在教學中要求學生及時準確地找出函數式中自變量和因變量的關系，以及從事例中領悟和總結反比例函數的概念.為此，教師在課堂教學中把認知和建構反比例函數的概念作為難點；通過類比、遷移、形象的觀察與實踐，親身經歷新概念生成的過程，為學生創造必要的情境分解難點.

1 “導”——創設新概念的外延情境

問題觀察下列函數（其中a，b，c為常數）：

（1）y=2 023x+2 024；（2）y=2 0232 024x；（3）y=axb+c（a≠0，b≠0）；（4）y=ax2-c；（5）ax+by=c（a≠0，b≠0）；（6）y=ax3+bx+c（a≠0）.

其中是一次函數的有哪些？

預設結果：（1）（3）和（5）是一次函數，從圖象看，它們都是線性關系.

創設目的：課堂伊始創設問題情境是數學概念教學的起點.

創設好的問題情境能為學生提供激活思維活動的平臺，引導學生確定新概念的建構方向.這也是數學課堂教學良好的導入新課的環節，以問題探究驅動學生的求知欲望.這樣的教學設計以一次函數的概念作為新概念的外延，使學生在反復類比、辨認和分析等活動中可以確定（1）（3）和（5）是一次函數，初步體驗在一次函數之外還存在其他函數關系，為下一環節認知反比例函數概念奠定基礎.

達成結果：（2）與（3）兩個函數的結構非常相似，引導學生類比分析，找出自變量位置的不同.再通過這一變化，說明函數特性的變化，從而自然而然地生成新概念——反比例函數，激發學生對比兩個函數的探究興趣，也讓學生成為課堂活動的主角.

2 “悟”——搭建新概念的實踐平臺

問題我們學校距火車站大約8 km，想一想，從學校有哪些方式到火車站？

預設結果：乘公交車、騎自行車、坐出租車、步行……

電子白板展示：請大家完成表格的填寫.

活動1：從杭州到大理全程2 500 km，按照同學們的想法出行，具體速度（單位：km/h）見下表1：

想一想1：能確定一個函數關系嗎？自變量和因變量分別是什么？

預設結果：①能，時間是因變量，速度是自變量，因為速度在變化，時間也在變化；②不能，因為對于四種交通工具都有唯一的取值，也只有唯一的時間與之對應……

想一想2：從表中可以發現v和t這兩個變量之間存在什么樣的關系？

預設結果：①隨著v的增大，t逐漸減小.

②兩個變量之積是2 500或t=2 500v……

活動2：給你一張21 cm×30 cm（16K型）紙，能設計一個面積為63 cm2的矩形嗎？

追問：是不是16K型紙只能設計2個面積為63 cm2的矩形紙片？

想一想1：矩形的寬是長的函數嗎？為什么？

預設結果：對于長x的每一個確定值，寬y都有唯一確定的值與之對應.

想一想2：在活動1和活動2的問題中，兩個變量之間的關系相同嗎？

預設結果：①不相同，活動1中兩個變量之積等于2 500，活動2中兩個變量之積等于63；②2 500和63都是常量，所以兩個變量的關系是相同的.

課堂小結：從學生對上述兩個問題的解決情況來看，事件的情境雖然不同，但抽象出來的兩個變量之間的關系是相同的，即兩個變量之積是常量（數）.因此，我們把其中一個變量稱為另一個變量的反比例函數.

出示關系式：y=kx（k≠0）.

創設目的：引導學生親歷新概念的形成過程，讓學生逐步理解反比例函數概念是在什么條件下得到的，函數的變化特征是什么，經過與一次函數的分析對比，抽象歸納構建數學新概念的本質內涵.

本環節是通過常見的生活事例促成學生形成新概念.反比例函數概念比較抽象，如果教師一味地在課堂上給出新概念，不利于學生理解和認知.因此，從學情出發，聯系實際生活，即可激發學生探究新概念的興趣.創設的兩個情境都是學生熟悉的、涉及反比例函數關系的事例，利用學生熟知的一次函數作外延鋪墊，可調動學生參與數學活動的熱情，在親歷探討兩個變量之積是常量這一相同的特殊內涵后，能夠初步實現反比例函數概念的形成.

備課組交流感悟：通過備課組集體備課發現，“反比例函數”新概念生成環節，除了創設具體的生活事例外，還可以通過物理實驗等其他方式來形成概念.將內涵式發展與外延式建構類比，是幫助學生形成數學新概念的有效手段，但對數學新概念的本質進行深刻的內化還需要學生的自主認知，而創設教學實踐活動情境是絕佳的途徑.

3 “議”——內化新概念的本質特征

議一議1：在下列函數表達式中，x為自變量，請填表2：

預設結果：①反比例函數未選xy+37=0，y=29x-1.

②將反比例函數y=2 02310x的k填成2 023（應為202.3）.

議一議2：小明看到，工人師傅將一根1 000m長的光纜纏繞到固定盤上，固定盤外剩余光纜長度隨著時間推移而逐漸減少.小明認為固定盤外剩余光纜長度是時間的反比例函數，這種判斷正確嗎？

預設結果：判斷正確，兩個變量中一個增加，另一個減少，二者“成反比”，是反比例函數.

探究活動：驗證（假設固定盤每分鐘纏繞光纜20 m）.請設計表格，并找出t與L的關系式，判斷關系式屬于什么函數.

預設結果：t與L的實驗數據如表3：

通過學生演算探究得出的結果，學生對“成反比”的特點有了質疑.經過小組討論交流，最后發現該函數關系為：L=1 000-20t，其中t與L的關系式是一次函數.

創設目的：創設議一議環節是實現“理解與辨識能力”的檢測，其中議一議1的判斷是形成新概念的重要環節，反映了學生在前面的課堂環節中對反比例函數概念的理解程度.雖然題目中xy+37=0，y=29x-1的形式與一般的反比例函數式“迥然不同”，但都是反比例函數表達式的一種變式，所反映的本質特征是相同的.通過議一議1的判斷可以拓寬學生的視野，深化學生對反比例概念的認知.

創設議一議2環節的目的是有意誘導學生誤入歧途——“剩余光纜長度隨著時間的推移而逐漸減少”，誤認為固定盤外剩余光纜長度與時間“成反比”，讓學生通過小組討論交流，親身體驗知識的遷移，深刻感悟反比例函數的本質特征.

備課組交流感悟：數學新概念的本質特征在于概念的內涵，需要學生在構建過程中“摸爬滾打”.學科組成員一致認為，創設一些讓學生容易“誤入歧途”的情境，突出非本質因素的干擾，對發掘數學新概念的內涵會更加深刻.如建議創設“100 m3的儲水池，盛滿水，當放水時，池中的水每10 min減少一半，余下的水量與時間的關系是否是反比例函數”，因為這個函數關系式學生不易列出，因此放棄了.

總之，初中數學概念課教學設計重在優化課堂環節的創設情境，盡管課堂不同、課型不同，設計的環節的創設情境也不盡相同.筆者認為，在教學“反比例函數”這一概念時，教師需要精準把握三個方面：第一是“導”——創設新概念的外延情境；其次是“悟”——搭建新概念的實踐平臺；最后是“議”——內化新概念的本質特征.只要將這三個環節的創設情境設計得恰如其分，學生通過親身經歷新概念構建過程，再經過新概念的認知和運用，才能夠將所學的知識內化為學科能力和素養.