數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延的教學(xué)創(chuàng)設(shè)

趙三洪

對(duì)于某一數(shù)學(xué)概念的掌握過程需要從類比與遷移、抽象與概括、拓展與歸納等多思維層面協(xié)調(diào)認(rèn)知.以“反比例函數(shù)”的概念為例，在教學(xué)中要求學(xué)生及時(shí)準(zhǔn)確地找出函數(shù)式中自變量和因變量的關(guān)系，以及從事例中領(lǐng)悟和總結(jié)反比例函數(shù)的概念.為此，教師在課堂教學(xué)中把認(rèn)知和建構(gòu)反比例函數(shù)的概念作為難點(diǎn)；通過類比、遷移、形象的觀察與實(shí)踐，親身經(jīng)歷新概念生成的過程，為學(xué)生創(chuàng)造必要的情境分解難點(diǎn).

1 “導(dǎo)”——?jiǎng)?chuàng)設(shè)新概念的外延情境

問題觀察下列函數(shù)（其中a，b，c為常數(shù)）：

（1）y=2 023x+2 024；（2）y=2 0232 024x；（3）y=axb+c（a≠0，b≠0）；（4）y=ax2-c；（5）ax+by=c（a≠0，b≠0）；（6）y=ax3+bx+c（a≠0）.

其中是一次函數(shù)的有哪些？

預(yù)設(shè)結(jié)果：（1）（3）和（5）是一次函數(shù)，從圖象看，它們都是線性關(guān)系.

創(chuàng)設(shè)目的：課堂伊始創(chuàng)設(shè)問題情境是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的起點(diǎn).

創(chuàng)設(shè)好的問題情境能為學(xué)生提供激活思維活動(dòng)的平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生確定新概念的建構(gòu)方向.這也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)良好的導(dǎo)入新課的環(huán)節(jié)，以問題探究驅(qū)動(dòng)學(xué)生的求知欲望.這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)以一次函數(shù)的概念作為新概念的外延，使學(xué)生在反復(fù)類比、辨認(rèn)和分析等活動(dòng)中可以確定（1）（3）和（5）是一次函數(shù)，初步體驗(yàn)在一次函數(shù)之外還存在其他函數(shù)關(guān)系，為下一環(huán)節(jié)認(rèn)知反比例函數(shù)概念奠定基礎(chǔ).

達(dá)成結(jié)果：（2）與（3）兩個(gè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)非常相似，引導(dǎo)學(xué)生類比分析，找出自變量位置的不同.再通過這一變化，說明函數(shù)特性的變化，從而自然而然地生成新概念——反比例函數(shù)，激發(fā)學(xué)生對(duì)比兩個(gè)函數(shù)的探究興趣，也讓學(xué)生成為課堂活動(dòng)的主角.

2 “悟”——搭建新概念的實(shí)踐平臺(tái)

問題我們學(xué)校距火車站大約8 km，想一想，從學(xué)校有哪些方式到火車站？

預(yù)設(shè)結(jié)果：乘公交車、騎自行車、坐出租車、步行……

電子白板展示：請(qǐng)大家完成表格的填寫.

活動(dòng)1：從杭州到大理全程2 500 km，按照同學(xué)們的想法出行，具體速度（單位：km/h）見下表1：

想一想1：能確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系嗎？自變量和因變量分別是什么？

預(yù)設(shè)結(jié)果：①能，時(shí)間是因變量，速度是自變量，因?yàn)樗俣仍谧兓瑫r(shí)間也在變化；②不能，因?yàn)閷?duì)于四種交通工具都有唯一的取值，也只有唯一的時(shí)間與之對(duì)應(yīng)……

想一想2：從表中可以發(fā)現(xiàn)v和t這兩個(gè)變量之間存在什么樣的關(guān)系？

預(yù)設(shè)結(jié)果：①隨著v的增大，t逐漸減小.

②兩個(gè)變量之積是2 500或t=2 500v……

活動(dòng)2：給你一張21 cm×30 cm（16K型）紙，能設(shè)計(jì)一個(gè)面積為63 cm2的矩形嗎？

追問：是不是16K型紙只能設(shè)計(jì)2個(gè)面積為63 cm2的矩形紙片？

想一想1：矩形的寬是長(zhǎng)的函數(shù)嗎？為什么？

預(yù)設(shè)結(jié)果：對(duì)于長(zhǎng)x的每一個(gè)確定值，寬y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).

想一想2：在活動(dòng)1和活動(dòng)2的問題中，兩個(gè)變量之間的關(guān)系相同嗎？

預(yù)設(shè)結(jié)果：①不相同，活動(dòng)1中兩個(gè)變量之積等于2 500，活動(dòng)2中兩個(gè)變量之積等于63；②2 500和63都是常量，所以兩個(gè)變量的關(guān)系是相同的.

課堂小結(jié)：從學(xué)生對(duì)上述兩個(gè)問題的解決情況來看，事件的情境雖然不同，但抽象出來的兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相同的，即兩個(gè)變量之積是常量（數(shù)）.因此，我們把其中一個(gè)變量稱為另一個(gè)變量的反比例函數(shù).

出示關(guān)系式：y=kx（k≠0）.

創(chuàng)設(shè)目的：引導(dǎo)學(xué)生親歷新概念的形成過程，讓學(xué)生逐步理解反比例函數(shù)概念是在什么條件下得到的，函數(shù)的變化特征是什么，經(jīng)過與一次函數(shù)的分析對(duì)比，抽象歸納構(gòu)建數(shù)學(xué)新概念的本質(zhì)內(nèi)涵.

本環(huán)節(jié)是通過常見的生活事例促成學(xué)生形成新概念.反比例函數(shù)概念比較抽象，如果教師一味地在課堂上給出新概念，不利于學(xué)生理解和認(rèn)知.因此，從學(xué)情出發(fā)，聯(lián)系實(shí)際生活，即可激發(fā)學(xué)生探究新概念的興趣.創(chuàng)設(shè)的兩個(gè)情境都是學(xué)生熟悉的、涉及反比例函數(shù)關(guān)系的事例，利用學(xué)生熟知的一次函數(shù)作外延鋪墊，可調(diào)動(dòng)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的熱情，在親歷探討兩個(gè)變量之積是常量這一相同的特殊內(nèi)涵后，能夠初步實(shí)現(xiàn)反比例函數(shù)概念的形成.

備課組交流感悟：通過備課組集體備課發(fā)現(xiàn)，“反比例函數(shù)”新概念生成環(huán)節(jié)，除了創(chuàng)設(shè)具體的生活事例外，還可以通過物理實(shí)驗(yàn)等其他方式來形成概念.將內(nèi)涵式發(fā)展與外延式建構(gòu)類比，是幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)新概念的有效手段，但對(duì)數(shù)學(xué)新概念的本質(zhì)進(jìn)行深刻的內(nèi)化還需要學(xué)生的自主認(rèn)知，而創(chuàng)設(shè)教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)情境是絕佳的途徑.

3 “議”——內(nèi)化新概念的本質(zhì)特征

議一議1：在下列函數(shù)表達(dá)式中，x為自變量，請(qǐng)?zhí)畋?：

預(yù)設(shè)結(jié)果：①反比例函數(shù)未選xy+37=0，y=29x-1.

②將反比例函數(shù)y=2 02310x的k填成2 023（應(yīng)為202.3）.

議一議2：小明看到，工人師傅將一根1 000m長(zhǎng)的光纜纏繞到固定盤上，固定盤外剩余光纜長(zhǎng)度隨著時(shí)間推移而逐漸減少.小明認(rèn)為固定盤外剩余光纜長(zhǎng)度是時(shí)間的反比例函數(shù)，這種判斷正確嗎？

預(yù)設(shè)結(jié)果：判斷正確，兩個(gè)變量中一個(gè)增加，另一個(gè)減少，二者“成反比”，是反比例函數(shù).

探究活動(dòng)：驗(yàn)證（假設(shè)固定盤每分鐘纏繞光纜20 m）.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)表格，并找出t與L的關(guān)系式，判斷關(guān)系式屬于什么函數(shù).

預(yù)設(shè)結(jié)果：t與L的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表3：

通過學(xué)生演算探究得出的結(jié)果，學(xué)生對(duì)“成反比”的特點(diǎn)有了質(zhì)疑.經(jīng)過小組討論交流，最后發(fā)現(xiàn)該函數(shù)關(guān)系為：L=1 000-20t，其中t與L的關(guān)系式是一次函數(shù).

創(chuàng)設(shè)目的：創(chuàng)設(shè)議一議環(huán)節(jié)是實(shí)現(xiàn)“理解與辨識(shí)能力”的檢測(cè)，其中議一議1的判斷是形成新概念的重要環(huán)節(jié)，反映了學(xué)生在前面的課堂環(huán)節(jié)中對(duì)反比例函數(shù)概念的理解程度.雖然題目中xy+37=0，y=29x-1的形式與一般的反比例函數(shù)式“迥然不同”，但都是反比例函數(shù)表達(dá)式的一種變式，所反映的本質(zhì)特征是相同的.通過議一議1的判斷可以拓寬學(xué)生的視野，深化學(xué)生對(duì)反比例概念的認(rèn)知.

創(chuàng)設(shè)議一議2環(huán)節(jié)的目的是有意誘導(dǎo)學(xué)生誤入歧途——“剩余光纜長(zhǎng)度隨著時(shí)間的推移而逐漸減少”，誤認(rèn)為固定盤外剩余光纜長(zhǎng)度與時(shí)間“成反比”，讓學(xué)生通過小組討論交流，親身體驗(yàn)知識(shí)的遷移，深刻感悟反比例函數(shù)的本質(zhì)特征.

備課組交流感悟：數(shù)學(xué)新概念的本質(zhì)特征在于概念的內(nèi)涵，需要學(xué)生在構(gòu)建過程中“摸爬滾打”.學(xué)科組成員一致認(rèn)為，創(chuàng)設(shè)一些讓學(xué)生容易“誤入歧途”的情境，突出非本質(zhì)因素的干擾，對(duì)發(fā)掘數(shù)學(xué)新概念的內(nèi)涵會(huì)更加深刻.如建議創(chuàng)設(shè)“100 m3的儲(chǔ)水池，盛滿水，當(dāng)放水時(shí)，池中的水每10 min減少一半，余下的水量與時(shí)間的關(guān)系是否是反比例函數(shù)”，因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)關(guān)系式學(xué)生不易列出，因此放棄了.

總之，初中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)重在優(yōu)化課堂環(huán)節(jié)的創(chuàng)設(shè)情境，盡管課堂不同、課型不同，設(shè)計(jì)的環(huán)節(jié)的創(chuàng)設(shè)情境也不盡相同.筆者認(rèn)為，在教學(xué)“反比例函數(shù)”這一概念時(shí)，教師需要精準(zhǔn)把握三個(gè)方面：第一是“導(dǎo)”——?jiǎng)?chuàng)設(shè)新概念的外延情境；其次是“悟”——搭建新概念的實(shí)踐平臺(tái)；最后是“議”——內(nèi)化新概念的本質(zhì)特征.只要將這三個(gè)環(huán)節(jié)的創(chuàng)設(shè)情境設(shè)計(jì)得恰如其分，學(xué)生通過親身經(jīng)歷新概念構(gòu)建過程，再經(jīng)過新概念的認(rèn)知和運(yùn)用，才能夠?qū)⑺鶎W(xué)的知識(shí)內(nèi)化為學(xué)科能力和素養(yǎng).