彈簧雙振子模型在高考物理中的應用

周毅慧　武維

摘? ?要：從質心的概念出發，系統闡述如何在質心參考系中運用質心運動定理推導得出彈簧雙振子速度、加速度變化規律，并探討如何在相關高考題目中應用有關結論解題。

關鍵詞：質心參考系；質心運動定理；彈簧雙振子模型；高考物理；中學物理

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2024）5-0052-6

兩物體通過輕質彈簧連接的運動模型稱為“彈簧雙振子模型”，該模型涉及到的動力學和能量問題，是高中物理力學常見的問題，也是近幾年高考的考查熱點。這類問題中物體的運動情況復雜，涉及位移、速度、加速度等多個物理量變化，需要綜合運用牛頓運動定律、能量守恒定律和動量守恒定律來解決。彈簧雙振子模型是一個典型的一維二體運動模型，如果選取系統的質心作為參考系會使解題過程大大簡化。這里質心是一個重要的力學概念，雖然高中物理教學中沒有涉及，但對學優生而言，掌握質心和質心參考系，可以更清晰地分析兩物體的相互作用過程，從而快速、準確地解決問題。

1? ? 彈簧雙振子模型的動力學特征

如圖1所示，質量分別為mA和mB的兩個物體A和B（均可視為質點），用一根勁度系數為k的輕質彈簧連接起來，靜止放置在光滑水平面上。初始時刻彈簧處于原長，長度為l0?，F給A物體一個水平向右的初速度v0，或對A施加水平向右的恒力F，彈簧會被壓縮，A、B物體開始運動。

選取系統的質心為參考系，以質心C為原點，建立如圖2所示的一維坐標系x。

當彈簧處于原長時，設A、B物體到質心的距離分別為lA、lB，質心的位置應滿足

下面在質心參考系中給圖1（a）中A物體一個水平向右的初速度，對圖1（b）中A物體施加水平向右的恒力。兩種情況下，對彈簧雙振子運動模型的動力學特征進行分析。

1.1? ? 慣性參考系中的彈簧雙振子

在圖1（a）所示的運動情形中，系統所受合外力為0，故質心系為慣性參考系，質心速度vC應滿足mAv0=（mA+mB）vC

當>（ｍ８／ｍＡ）>4.6時，A物體會在一段時間內反向運動。令（ｍＢ／ｍＡ）=8，作出此時A、B物體的速度-時間圖像和加速度-時間圖像，如圖15、圖16所示。

本題中A、B物體質量相等，A物體的加速度一直為正值，故A物體一直做加速運動，不會出現速度反向，所以A、B物體從靜止開始運動到第一次速度相等的過程中，兩物體速度相等時，A物體速度達到最大，C選項正確。

3? ? 總? 結

本文在質心參考系中對“彈簧雙振子模型”的動力學特征進行了較為詳細的分析推導，發現兩物體相對于質心做周期相同的獨立的簡諧運動。在此基礎上，結合相對運動知識，將物體相對地面的復雜的變加速運動視為隨質心的平動和相對質心的簡諧運動的合運動，從而得到了彈簧雙振子加速度、速度隨時間變化的規律。再將此模型的運動特征應用到典型彈簧雙振子模型的時間、位移、能量問題的解決中，以說明雙振子模型運動特征在解決此類問題中的重要作用。

參考文獻：

［1］漆安慎，杜嬋英.普通物理學教程 力學（第3版）［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［2］王建峰，魏俊梟，周明.“彈簧雙振子模型”在物理競賽中的應用［J］.物理教學探討，2006，24（9）：47-51.

（欄目編輯? ? 陳? 潔）

收稿日期：2024-01-29

作者簡介：周毅慧（1998-），女，中學二級教師，主要從事高中物理教學工作。