特殊數在算術級數上的分布

王南翔 戴浩波

【摘?? 要】?? 設正整數[n]的素數分解為[n=pa11pa22...pakk]，[ai>0]。若所有的[ai]均不相同，那么稱[n]為特殊數。特殊數是近幾年提出的新概念，Aktas Kevser 和 Murty Ram計算了特殊數個數的漸進公式。利用Siegel-Walfisz定理、Abel求和等一系列工具可以解決特殊數在算數級數上的分布，并且在廣義黎曼假設的基礎上，可以縮小對模[q]的限制。在此基礎上，未來可解決特殊數的Titchmarsh除數函數問題。

【關鍵詞】?? 特殊數；Siegel-Walfisz定理；Brun-Titchmarsh不等式；廣義黎曼假設

The Distribution of Special Numbers in Arithmetic Progressions

Wang Nanxiang， Dai Haobo*

（Anhui University of Science and Technology， Huainan 232001， China）

【Abstract】??? Let [n=pa11pa22...pakk] be the canonical prime factorization of [n]，[ai>0]. Then [n] is a special number if all the [ai] are distinct. The concept of the special number is newly put forward in these years. Aktas Kevser and? Murty Ram? compute the number of special numbers. By using a series of tools such as the Siegel-Walfisz Theorem and Abel summation， one can solve the distribution of the special numbers in arithmetic progressions， and by using GRH， one can reduce restrictions of [modq]， and， based on the above， one can solve the Titchmarsh divisor problem for the special numbers in the future.

【Key words】???? special number; Siegel-Walfisz Theorem; Brun-Titchmarsh Inequality; Generalized Riemann Hypothesis

〔中圖分類號〕 O156.4????????????? ? ????? ???〔文獻標識碼〕? A????? ???????????? 〔文章編號〕 1674 - 3229（2024）02- 0020 - 04

[收稿日期]?? 2023-11-25

[基金項目]?? 國家自然科學基金項目（11501007）

[作者簡介]?? 王南翔（1998- ），男，安徽理工大學數學與大數據學院碩士研究生，研究方向：數論及其應用。

[通訊作者]?? 戴浩波（1981- ），男，博士，安徽理工大學數學與大數據學院副教授，研究方向：數論及其應用。

0???? 引言

素數是數論中的熱門領域，它在圖論、組合數學中也有應用。本文研究和素數類似的一類數——特殊數。

設正整數[n]的素數分解為[n=pa11pa22...pakk]，[ai>0]。若所有的[ai] 均不相同，那么稱[n]為特殊數。是否有23個連續的特殊數這個看似簡單的問題仍未解決，但是Aktas Kevser 和 Murty Ram ［1］證明了沒有24個連續的特殊數。如果假設abc猜想成立，Aktas Kevser 和 Murty Ram ［1］證明23個連續的數都是特殊數的情形只有有限種。

abc猜想?? 固定[ε>0]，如果[a+b=c]，那么存在一個與[ε]有關的常數[k（ε）]使得

[c≤k（ε）p|abcp1+ε]，

其中[p]是素數。

記[π（x）]是小于等于[x]的素數的個數。素數定理是說當[x→+∞]時，[π（x）?xlnx]。記[S（x）]是小于等于[x]的特殊數的個數，Aktas Kevser 和Murty Ram ［1］證明了[S（x）=cxlnx+Oxln2x]。考慮更一般的情況，即在算術級數上某一類數的分布，素數在算術級數上的分布是一個很著名的結果：設[π（x;q，a）=#{p≤x：p≡]

[a（modq）}]，那么[π（x;q，a）=li（x）φ（q）+OAxe-clnx]。

其中[1≤q≤lnAx，A>0]，[c=c（A）]是正常數。 針對這一類問題，本文在前人的基礎上，對特殊數進行了相關的研究。

1???? 預備知識

定義1?? 若[a=bc]，[a]，[b]，[c] 是整數，那么稱[b]整除[a]，記作[b|a]。

定義2?? [a]模[k]余[b]是指[k|（b-a）]，記作[a≡b（modk）]。這意味著若 [a≡b（modk）]那么[b≡a（modk）]。

有了定義2，就可以定義同余方程。

定義3?? 形如[ax≡b（modk）]的方程是同余方程。

定義4?? 若一個自然數可以寫成某個整數的平方，那么稱其為平方數。

定義5?? 設正整數[n]的素數分解為[n=1≤i≤kpaii]，[ai≥2]，那么稱[n]為冪數。

Dirichlet雙曲方法：由[τ（d）]的定義知：[n≤xτ（n）=n≤xd|n1]。于是

[n≤xτ（n）=n≤xd|n1=2n≤x??? d|nd≤n1-n≤xQ（n）=2d≤x???????? n≤xn≡0（modd）1][+Ox。]

其中當[n]是平方數時 [Q（n）=1]，否則[Q（n）=0]。

Abel求和：

[y

Mertens 估計：[p≤xlnpp=lnx+O（1）]。這個等式可由Abel求和得到。有關更多數論方面的研究，請參考文獻［2-3］。

在接下來的討論中，記號[f?g]表示存在某個正常數[c]，使得[|f|≤cg]，其中[g>0]，[?]表示絕對值。如果[c]和某個量[A]有關，即[c=c（A）]，那么上述記號可寫為[f?Ag]。[f=O（g）]表示[f?g]，[f=OA（g）]表示[f?Ag]。記號[#S]表示集合[S]的元素的個數。字母[s]表示特殊數，[w]表示冪數，[p]表示素數，[m]是冪數以及特殊數。

2???? 基本引理

引理1?? 設[G（x;q，a）=#{w≤x：w≡a（modq）}]，[（a，q）]

[=1]，[q?x16]。那么[G（x;q，a）?xq]。

證明?? 見文獻［4］定理2。該定理的證明主要利用了Dirichlet雙曲方法以及Abel求和。

引理2?? （Siegel-Walfisz定理） 設[π（x;q，a）=#{p≤]

[x：p≡a（modq）}]，那么

[π（x;q，a）=li（x）φ（q）+OAxe-clnx]。

其中[1≤q≤lnAx，A>0]，[c=c（A）]是正常數。

證明? 見文獻［5］定理12.1。該證明主要依賴于對[L]函數的估計。

引理3?? （Brun-Titchmarsh不等式） 對于任意的正整數[q

[π（x;q，a）-π（x-y;q，a）?yφ（q）ln（2y/q）]。

于是

[π（x;q，a）?xφ（q）ln（2x/q）]。

證明? 見文獻［5］定理20.1。該證明主要利用了篩法以及Mertens估計。令[y=x]就得到了第二個結論。

3???? 主要定理及其證明

3.1?? 主要定理

定理1?? 設[S （x;q， a）=# {s≤ x：s是 特 殊 數， s≡]

[a（modq）}]。那么對于[1≤q≤lnAx]，[（a，q）=1]，[a（modq）]，[A]是正常數，有：[S（x;q，a）=Bxφ（q）lnx+OAxφ（q）ln2x]。

其中[B=1+11m]是收斂的，求和符號[1]表示對[m>1]，[m]是冪數以及特殊數，[（m，q）=1]求和，記號[（a，b）]表示[a]和[b]的最大公因子。

定理2?? 在廣義黎曼猜想之下有：

[S（x;q，a）=Bxφ（q）lnx+Oxφ（q）ln2x。]

其中[（a，q）=1]，[1≤q≤xlnAx]。

3.2?? 定理1的證明

對[s]做素數分解，得[s=pa11pa22...pakk]。由引理1，得：

[#{m：m≤x，m≡a（modq）}≤#{w≤x，w≡a（modq）}?xq，]

這里[1≤q≤lnAx]。如果存在某個[ai=1]，那么[s=p]或者[s=mp]，[（m，p）=1]。接下來分類討論，記[y=x0.1]。

若[s=mp]，那么有如下三種情形：

（1）[m>y]；

記[L（y，x）={m：y

[21≤m∈L（y，x）xφ（q）m?xφ（q）y+∞1tdm≤t1][?xφ（q）y+∞1tdt=] [xφ（q）y]。

（2）[m≤y]，[p≤y]；

記[H（q，y）={m：1

[ln（2y/q）=][lny+ln2-lnq>lny2]，所以

[ 31≤m≤y?? p≤ymp≡a（modq）1?][y2φ（q）ln（2y/q）][≤2y2φ（q）lny]。

（3）[1

因為[（a，q）=1]，記[m′]為[m]在模[q]中的逆，即[mm′≡]

[1（modq）]。當[（m，q）=1]時，同余方程[mp≡a（modq）]

恰有一個解。當[（m，q）>1]時，該同余方程無解。令求和符號[4]表示對[s]求和，其中[s=mp≤x]，[p≥y]，[s≡a（modq）]，[m∈H（q，y）]。那么由引理3得：

[41=m∈H（q，y）li（x/m）φ（q）+OAxme-clnx]，其中[c=c（A）]是正常數。

[li（x）=2xdtlnt=xlnx-2ln2+2xdtln2t]，由洛必達法則知，當 [x→ + ∞]時，[2xdtln2t? xln2x]，所以 [li（x）=xlnx+]

[Oxln2x]。注意到

[1ln（x/m）=1lnx[1-（lnm）/（lnx）]=] [1lnx1+Olnmlnx]

以及[1ln2（x/m）=1ln2x1+Olnmlnx]。

由引理3得：

[m∈H（q，y）li（x/m）φ（q）+OAxme-clnx=xφ（q）lnxm∈H（q，y）1m+][Oxφ（q）ln2xm∈H（q，y）lnmm+OAxe-clnxm∈H（q，y）1m。]

記[B1=m∈H（q，y）1m]。接下來估計[B1]和奇異級數[m∈H（q，y）lnmm]。由Abel求和以及引理2可知

[m∈H（q，y）lnmm=-1ylntdt-1/2=-lnyy+1y1t32dt]

[=2-2y-lnyy，]

所以奇異級數[m∈H（q，y）lnmm]收斂。由于

[m∈H（q，y）1m≤][32+3≤m≤y（m，q）=11m≤32+3≤m≤y（m，q）=1lnmm]，

所以奇異級數[m∈H（q，y）1m]收斂。

若[s=p]，由引理3得，

[p≤xp≡a（modq）1=π（x;q，a）=li（x）φ（q）+OAxe-clnx]

[=xφ（q）lnx+Oxφ（q）ln2x]。

綜上所述，

[S（x; q， a）= #{s ≤x： s≡a（modq）}]

[= B2xφ（q）lnx +OAxφ（q）ln2x]。

其中[B2=B1+1]。由于[B1]收斂，且有

[m>y（m，q）=11m=On>y1n=Oy+∞1tdt=O1y] ，

那么[11m=m>y（m，q）=11m+m≤y（m，q）=11m=m>y（m，q）=11m+B1+1]是收斂的。令[B=1+m∈H（q，+∞）1m]，那么[B=B2+O1y]。

由于[1y]的階比[1lnx]的任意正次冪都要小，所以

[S（x;q，][a）=Bxφ（q）lnx+OAxφ（q）ln2x]。定理1得證。

3.3?? 定理2的證明

設[L（s，? χ）=n=1∞χ（n）ns] ，其中[s=σ+it]，[χ]是[modq]的Dirichlet特征，滿足：

1.存在正整數[q]使得[χ（n+q）=χ（n）]。

2.若[（n， q）>1]，那么[χ（n）=0]。

3.對于任意的正整數[a]， [b]，有：[χ（a）χ（b）=χ（ab）]。

如果對于所有滿足[（n， q）=1]的[n]都有[χ（n）=1]，那么稱其為平凡特征。

廣義黎曼假設：當[0<σ<1]時，[L（σ+it，? χ）=0]意味著[σ=12]。

在廣義黎曼假設之下，定理1中的[q] 的限制會小很多。如果廣義黎曼假設是正確的，那么

[π（x;q，a）=li（x）φ（q）+Oxlnx。]

其中[（a，q）=1]，[1≤q≤xlnAx]。首先修改3.2節中的（3），即[1

[41=m∈H（q，y）xφ（q）mlnx+Oxmφ（q）ln2x+Oxlnxm]。

接下來估計奇異級數[m∈H（q，y）1m]的階。由Abel求和以及引理2，得

[m∈H（q，y）1m≤m

[?1+1y1tdt?lny]。

所以余項是[Oxlnxlny] 。而主項的階是[xφ（q）lnx≥xqlnx]，所以只需[1≤q≤xlnAx]，[A>5]即可。但是此時[q]可能大于[y]，所以Brun-Titchmarsh不等式可能會失效。但是若采用平凡估計，即[31≤m≤yp≤y1]

[?y2=x0.2]，而主項的階最小是[xlnA-1x]，所以這并不會對結論產生影響。因此在廣義黎曼假設之下，有：

[S（x;q，a）=Bxφ（q）lnx+Oxφ（q）ln2x。]

其中[（a，q）=1]，[1≤q≤xlnAx]。定理2得證。

4???? 總結與展望

本文在前人的基礎上對特殊數進行了進一步的研究，并解決了特殊數在算術級數上的分布問題。但是特殊數在算術級數上的分布仍有一些限制：定理1中的[q]不能太大，在更大的范圍要依賴廣義黎曼假設。雖然特殊數和素數的關系很密切，但是未來也許可以不依賴廣義黎曼假設解決特殊數在算數級數上的分布。Titchmarsh［6］得到了[p≤xτ（p-1）]的漸進公式，其中[p]是素數，[ζ（s）]是Riemann-[ζ]函數：

[p≤xτ（p-1）=ζ（2）ζ（3）ζ（6）x+Oxlnlnxlnx]。

未來有望解決特殊數的Titchmarsh除數函數問題，即得到[s≤xτ（s-1）]的表達式，其中[s]是特殊數。

［參考文獻］

［1］ K Aktas，R Murty. On the number of special numbers［J］.? Proceedings of the Indian Academy of Sciences，2017，127（3）： 423-430.

［2］ 華羅庚. 華羅庚文集（數論卷II）［M］. 北京： 科學出版社，2010.

［3］? 柯召. 數論講義（上冊）［M］. 北京： 高等教育出版社，2012.

［4］ T H Chan，K M Tsang. Squarefull numbers in arithmetic progressions［J］. International Journal of Number Theory，2013，9（4）： 885-901.

［5］ D Koukoulopoulos. The Distribution of Prime Numbers［M］. Province，Rhode Island： American Mathematical Society，2020.

［6］ E C Titchmarsh. A divisor problem［J］. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo，1930，54（1）：414-429.