高中數學解題中化歸轉化思想的妙用

劉二雄

摘?要：論述了高中數學解題中化歸轉化思想的運用意義，并結合具體解題案例，探究了高中數學解題中化歸轉化思想的巧妙運用.

關鍵詞：高中；數學解題；化歸轉化思想

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0074-03

新時期的高中數學解題繼承了以數學思想方法為基礎的理念.化歸轉化思想是高中數學解題中不可替代的思想，貫穿了未知向已知轉化、多元向一元轉化、數字與圖形的轉化過程.將化歸轉化思想應用到高中數學解題中，可以促進高中數學解題效果的優化.因此，探索高中數學解題中化歸轉化思想的巧妙運用具有非常重要的意義.

1 高中數學解題中化歸轉化思想的運用意義

1.1 全面滲透數學思想方法

化歸轉化思想是以獲得原問題的答案為目標，借助特定轉化手段，將待解決問題歸結為另外一個解決難度較小或者已解決的問題.化歸轉化思想是眾多數學思想方法的統領，包括數形結合思想、函數與方程思想、構造法、反證法、分類討論思想等.化歸轉化思想不僅僅具有普遍指導意義，而且可以統籌多數數學研究策略，如高次向低次、運算向逆運算、空間向平面、無限向有限等.

1.2 促進學科核心素養生成

化歸轉化思想貫穿了高中數學學科核心素養培養全程，體現為數學運算素養、數學建模素養、邏輯推理素養等.具體到高中數學解題中，圖形變換、參數方程與普通方程變換、坐標變換、復數表達形式變換等均是邏輯推理、演繹運算的過程.

2 高中數學解題中化歸轉化思想的巧妙運用

2.1有機整合數學模型與化歸轉化思想

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》的“學科核心素養”中明確提出：“培養學生數學建模素養，確保學生通過高中數學課程的學習，學會用數學模型解決實際問題”.基于此，教師可以從化歸轉化思想的應用視角著手，有機整合數學模型與化歸轉化思想，促使學生經歷“發現和提出問題”“建立和求解模型”“檢驗和完善模型”“分析和解決模型”幾個過程.在上述過程中，學生可以正確認識基本數學模型中的化歸轉化思想，并在發展化歸能力的基礎上，生成數學建模素養[1].

例1?求函數y=x+1x+2的值域.

解析?函數y=x+1x+2的反函數為x=1-2yy-1，x=1-2yy-1的定義域為y≠1的實數，則函數y=x+1x+2的值域為y|y≠1，y∈R.

例2?求函數y=-x2+x+2的值域.

解析?由-x2+x+2≥0，知y=-x2+x+2的定義域為x∈[-1，2].

此時，-x2+x+2=-（x-12）2+94∈［0，94］.

所以0≤-x2+x+2≤32.

所以函數y=-x2+x+2的值域為［0，32］.

2.2 關聯邏輯推理與化歸轉化思想

邏輯推理是構建數學體系、獲得數學結論的有效方式，更是數學嚴謹性的重要體現.為培養學生的邏輯推理素養，教師應立足數學問題作為有機體的特點，圍繞數學問題各部分之間的相互聯系、相互滲透、相互依存，引導學生緊扣問題已知條件和未知條件的聯系，對問題進行適當轉化，構建縱向與橫向交錯的題目推導解析網絡[2].

在邏輯推理過程中，明確轉化的一般原理是前提，掌握基本的化歸轉化思想和方法是關鍵.因此，教師應有意引導學生仔細觀察問題條件、圖象特征、求解目標的結構形式，搭建“條件—結論”的橋梁，探明數學問題邏輯及分析思路.在實踐中，教師應啟發學生緊盯化歸要素，聚焦化歸對象、化歸目標、化歸策略三個基本模塊，確保化歸轉化思想與問題解決邏輯、推理過程的有效聯系.

例3?已知點M（4，4），圓C：（x-p）2+y2=5（p＜3）與焦點在x軸上的橢圓E：x2a2+y2b2=1有一個公共點J（3，1），F1為橢圓左焦點，F2為橢圓右焦點，直線MF1與圓C相切，求橢圓方程.

解析?因為J（3，1）在圓（x-p）2+y2=5（p＜3）上，所以（3-p）2+1=5（p＜3）.

所以p=1，圓的方程為（x-1）2+y2=5，圓心為（1，0），半徑為5.

設橢圓左焦點F1（-c，0），直線MF1的方程為y=44+c（x+c），因為直線MF1與圓相切，所以圓心C（1，0）到直線MF1的距離為半徑5，所以c=4.

又因為J（3，1）在橢圓上，所以9a2+1b2=1.

又因為a2+b2=c2，解得a2=18，b2=2.

所以橢圓方程為x218+y22=1.

2.3 挖掘化歸轉化思想中的科學精神

根據《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》可知，通過高中數學課程的學習，學生應當養成良好的數學學習習慣，樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神.領會數學科學精神是化歸轉化思想應用的核心主旨.所以教師應主動帶領學生挖掘化歸轉化思想中的科學精神，鼓勵學生根據已有知識反思、質疑、求實，進一步加深理解概念、鞏固基礎知識、生成數學方法技能.隨后根據學生數學思維品質、個性心理發展的需要，教師可貫徹生本方針，鼓勵學生與同伴共同探索數學問題轉化的合理性、必然性以及轉化過程中的科學精神.“一題多解”是化歸策略多樣性的具體體現，也是挖掘化歸轉化思想中的科學精神的有效方式.

例4?如圖1所示，在等腰RtABC中，AB=BC=2，點P滿足PA·PB=0，則PC的取值范圍是.

解法1?（向量法）

設∠PBC=θ，因為PA·PB=0，所以PA⊥PB.

所以PB=ABcos（π2-θ）=2sinθ.

因為PC=PB+BC，

所以

PC2=（PB+BC）2=4sin2θ-4sin2θ+4=-4sin2θ-2cos2θ+6=6-25sin（2θ+φ）.

因為θ∈（0，π），所以PC2∈［6-25，6+25］.

故PC的取值范圍是［5-1，5+1］.

解法2?（坐標法）以BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，建立平面直角坐標系.

圖2中，A（0，2），B（0，0），C（2，0）.

設點P（x，y），則PA=（-x，2-y），PB=（-x，-y）.

因為PA·PB=0，所以x2+y2-2y=0.

化簡，得x2+（y-1）2=1.

所以點P在以點M（0，1）為圓心，半徑為1的圓上運動.

因為CM=（2-0）2+（0-1）2=5，

所以PCmin=5-1，PCmax=5+1.

故PC的取值范圍是［5-1，5+1］.

圖3?例4解法3圖

解法3?因為點P滿足PA·PB=0，所以點P在以點AB中點M為圓心，半徑為1的圓上，如圖3.

由勾股定理，得CM=12+22=5.

所以PCmin=5-1，PCmax=5+1.

故PC的取值范圍是［5-1，5+1］.

因為∠APB=90°，所以點P到AB中點M的距離為12AB，當點P與A，B重合時也滿足，所以由圓的定義也可以得出點P在以點M為圓心，半徑為1的圓上.

2.4 梳理化歸中的運算邏輯

數學運算是數學核心素養的基本組成部分，強調學生理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路.而化歸中的運算涵蓋了等價化歸運算、非等價化歸運算.等價化歸運算強調轉化期間前因、后果均是充分且必要的，即：轉化后結果為原問題結果；非等價化歸運算則是轉化期間前因、后果其一非充分.

例5?一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0），其中△=b2-4ac，x1，x2為方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根，且x1＜x2.求ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集.

解析?在a＞0時，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象開口向上，若△＞0，解集為{x|x＞x2或x＜x1}，若△=0，解集為{x|x∈R且x≠-b2b}，若△＜0，解集為R.

當a＜0時，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象開口向下，若△＞0，解集為{x|x1＜x＜x2}，若△≤0，解集為.

3 結束語

化歸轉化思想是高中數學解題中不可或缺的思想，將化歸轉化思想運用到高中數學解題中，可以全面滲透多種數學思想方法，促進數學學科核心素養培養目標達成.因此，教師應借助數學解題契機，巧妙探索化歸轉化思想的運用途徑，充分利用化歸轉化思想，促進學生生成數學學科核心素養.

參考文獻：

［1］

穆聰敏，張玲梅.化歸思想在數學中的應用研究[J].現代職業教育，2022（38）：42-44.

[2] 王震.結構化視域下高中數學問題解決與創新能力培養[J].數學通報，2023，62（05）：7-11，41.

［責任編輯：李?璟］