LF拓撲空間中[δTi-]分離性與加強的[δTi-]分離性

劉生云 王小霞 王玉煥

【摘?? 要】?? 隨著不同類型推廣型開集的深入研究，分離性公理也在不斷發展。雖然關于LF拓撲空間中分離性的研究已經取得不少成果，但從不同層次結構的開集、閉集、遠域等概念入手會得到不同的結果。為進一步豐富和完善LF拓撲空間中的分離性理論，利用[δ-]開集和[δ-]遠域等概念，定義了LF拓撲空間中幾種特殊的[δTi-]分離性和加強的[δTi-]分離性，證明了這幾種分離性的一系列性質， 如[L-]好的推廣、遺傳性、可乘性、[δ-]弱同胚不變性等，并說明了弱誘導LF拓撲空間的[δTi-]分離性與其底空間的[δTi-]分離性的關系。

【關鍵詞】?? [δ-] 開集；[δ-]遠域；[δTi-] 分離性；強[δTi-]分離性

Several [δTi-]Separability and Enhanced [δTi-]Separability

in LF Topological Space

Liu Shengyun， Wang Xiaoxia*， Wang Yuhuan

（Yan′an University， Yan′an 716000， China）

【Abstract】??? With the in-depth study of different types of generalized open sets， the axiom of separability is also constantly developing. Although many achievements have been made in the study of separability in [LF]topological spaces， different results can be obtained by starting with concepts such as open sets， closed sets， and far-field with different hierarchical structures. Therefore， in order to further enrich and improve the separability theory in [LF]topological spaces， concepts such as [δ-]open sets and [δ-]far-field are utilized， Several special [δTi-]separability and enhanced [δTi-]separability in [LF]topological spaces are defined， and a series of properties such as [L-]good generalization， heritability， multiplicability，[δ-]weak homeomorphism invariance are proved. The relationship between the [δTi-]separability of weakly induced [LF] topological spaces and the [δTi-]separability of their base spaces is also explained.

【Key words】???? [δ-]open set; [δ-]far field; [δTi-]separability; [δTi-]strong separability

〔中圖分類號〕 O189.1????????????? ? ?????????????〔文獻標識碼〕? A?? ???????????? 〔文章編號〕 1674 - 3229（2024）02- 0005 - 06

[收稿日期]?? 2023-11-24

[基金項目]?? 國家自然科學地區基金項目（12261090）；陜西省自然科學基礎研究計劃項目（2018JM1042）；延安大學研究生教育創新計劃項目（YCX2024048）

[作者簡介]?? 劉生云（2000- ），男，延安大學數學與計算機學院碩士研究生，研究方向：格上拓撲學及模糊數學。

[通訊作者]?? 王小霞（1978- ），女，碩士，延安大學數學與計算機學院副教授，研究方向：格上拓撲學及模糊數學。

0???? 引言

王國俊教授［1］引進了LF拓撲空間中的[Ti]分離性公理，并對[Ti]分離性的幾大類經典性質進行了詳細的證明，自此之后，諸多學者從不同層次結構的開集和遠域入手對分離性進行了深入研究。如韓剛等［2］研究了LF拓撲空間的[T213]分離性，尤飛［3］研究了LF拓撲空間中的[T52]和[S52]分離性，他們證明了上述分離性與文獻［1］定義的[Ti]分離性是協調的；王延軍等［4］證明了[LF]拓撲空間中[T212]分離公理的相對可積性和可和性等重要性質，文獻［5-8］也對不同拓撲空間中的分離性進行了闡述并研究了其若干性質，文獻［9-13］對如何加強分離性進行了系統的闡述，并證明了加強后的分離性仍然具有一些好的性質。上述文獻都是在[Ti]分離性公理的基礎上進行推廣與拓展，都未從不同類型的推廣型開集入手進行研究，而且利用推廣型開集引入的分離性是否具備[LF]拓撲空間中的幾類性質仍然有待考量。為此，本文在前人研究的基礎上，通過[δ-]開集和[δ-]遠域等概念，定義了LF拓撲空間中幾種特殊的[δTi-]分離性和加強的[δTi-]分離性，證明了這幾種分離性具有[L-]好的推廣、遺傳性、可乘性、[δ-]弱同胚不變性等一系列性質，進而豐富和發展了LF拓撲空間中的分離性理論。

本文中[（LX，τ）]表示LF拓撲空間。[M*（LX）]表示[LX]中所有分子構成的集合，即[M*（LX）=][{xλ|x∈X，λ∈τ}]，[A-，A?，A′]分別表示[A∈LX]的閉包、內部和偽補。如果[A=A-?]，稱[A]為正則開集，若[A=A?-]，則[A]為正則閉集。設[（LX，τ）]是LF拓撲空間，[xλ∈M*（LX）]，若[xλ][?][P]，則稱[P]為[xλ]的[δ-]閉遠域，所有[δ-]閉遠域構成的集合記為[η-δ（xλ）]，這里[η-δ（xλ）={P∈δc（LX）|xλ][?][P}，][δc（LX）={A∈LX|A=A?-};]設[B∈LX，]若[?][xλ]的[δ-]閉遠域[A]，使[B≤A]，則稱[B]為[xλ]的[δ-]遠域，所有[δ-]遠域構成的集合記為[ηδ（xλ）]。

1???? 預備知識

定義1［14］?? 設[（LX，τ）]為LF拓撲空間，若對[?P∈]

[ηδ（xλ），有A][?][P]，則稱[xλ∈M*（LX）]是[A∈LX]的[δ-]附著點；[A]的所有[δ-]附著點的并集稱為[A]的[δ-]閉包，記為[A-δ]。

定義2［14］?? 若[A=A-δ，]則稱[A]是[δ-]閉集；若[A]是[δ-]閉集，則[A′]是[δ-]開集；記所有的[δ-]開集構成的集合為[δo（LX）]，所有的[δ-]閉集構成的集合為[δc（LX）]。

定義3? 設[（LX11，τ1），（LX22，τ2）]是LF拓撲空間，[f：LX11→]

[LX22]為序同態，若[?A∈][δo（LX2）]，有[f-1（A）∈δo（LX1）]，則稱[f]為[δ-]連續序同態。若[?]一一的滿序同態[f]，使[f]與序同態[f-1：LX22→LX11]都[δ-]連續， 則稱[（LX11，τ1）]與[（LX22，τ2）][ δ-]同胚，稱[f]為[δ-]同胚序同態。

被[δ-]同胚序同態所保持的性質為[δ-]同胚不變性。

定義4［15］? 設[L1和L2]是兩個[F]格，[X]和[Y]是兩個非空分明集，[p：X→Y]是分明映射， [q：L1→L2]是序同態， 則稱[f： LX1→LY2|f（A） （y）=∨{q（A（x））|p（x）=y， x∈][X，]

[A∈LX1，y∈Y}]為廣義Zadeh型函數，記作[f=pq]。

定義5? 設[（LX11，τ1），（LX22，τ2）]是LF拓撲空間，若[?]一一的滿的廣義Zadeh型函數[f=][pq：（LX11，τ1）→（LX22，τ2）]且[f]與[f-1]都[δ-]連續，則稱[（LX11，τ1）]與[（LX22，τ2）][δ-]強同胚， [f=pq]為[δ-]強同胚序同態。

被[δ-]強同胚序同態所保持的性質稱為[δ-]弱同胚不變性。

定義6［1］?? 設[（LX，τ）]是LF拓撲空間，當[L]為全序格時，若[?A∈LX，r∈L]，都有[χlr（A）∈τ，]則稱[（LX，τ）]是弱誘導空間。這里[lr（A）={x∈X|A（x）][?][r]，[χD]是[X]的子集[D]上的特征函數，若[?λ∈L，]? [X]上取常值[λ]的LF集都屬于[τ]，則稱[（LX，τ）]是[滿層空間]。若[[τ]]表示[τ]中全體分明開集的承集構成的集族，則稱[（X，[τ]）]為[（LX，τ）]的底空間。

定義7［9］ 設[（LX，τ）]是LF拓撲空間，[A，B∈LX]，[A-（0）?B（0）=A（0）?B-（0）=?]則稱LF集[A]和[B]是強隔離的。

引理1［1］ 設[（LX，][ ωL（]

））是由分明拓撲空間[（X，]

）拓撲生成的LF拓撲空間，則[（LX，][ ωL（]

））是[δ]完全正則空間的充要條件為[（X，]

[）]是[δ]完全正則空間。

引理2［1］? 設[（LX，τ）]是可拓撲生成的LF拓撲空間，則其子空間[（LY，τ|Y）]也是可拓撲生成的[LF]拓撲空間。

引理3［16］? 設[f=pq：LX1→LY2]是廣義Zadeh型函數，[B∈LY2]，則[f-1（B）=q-1?B?p]。

引理4［16］? 設[f=pq：LX1→LY2]是廣義Zadeh型函數，若[B]是[LY2]的分明集，則[f-1（B）]是[LX1]的分明集。

引理5［17］? 若[f：（LX，τ）→（LY，ε）]是[δ-]連續開序同態，則[F∈ε′]，[f-1（F?-）≤（f-1（F））?-]。

引理6［1］? 若[{Xt，τt）}t∈T]是一族分明拓撲空間[（T]

[≠?）]，[（X，τ）]是其積空間，則[（LX，ωL（τ））][=t∈T（LXt，ωL（τt））]。

2???? [δTi-]分離性及其性質

定義8?? 設[（LX，τ）]是LF拓撲空間，則

（1）[?xλ， yμ∈M*（LX）]，[λ ≠ μ]，? [?P∈ηδ（xλ），][ Q∈]

[ηδ（yμ）]使得[yμ≤P，xλ≤Q]，則稱[（LX，τ）]為[δT′1]空間。

（2）[?]兩個不可比較的分子[xλ， yμ]，[?P∈ηδ（xλ），]

[Q∈ηδ（yμ）]使得[P∨Q=1]，則稱[（LX，τ）]為[δT′2]空間。

（3）[?xλ，yμ∈M*（LX）]，當[x≠y]，[λ=μ]時，有[P∈η-δ（xλ），]

[Q∈η-δ（yμ）]使得[P∨Q=1]，則稱[（LX，τ）]為弱[δT2]空間或弱[δ]Hausdorff 空間。

（4）[?xλ，yμ∈M*（LX）]，當[x≠y]時，有[P∈η-δ（xλ），]

[Q∈η-δ（yμ）]使得[P?∨Q?=1]，則稱[（LX，τ）]為[δT212]空間。

（5）[?xλ， yμ∈M*（LX）]，當[x≠y]? 時，有? [P∈η-δ（xλ），]

[Q∈η-δ（yμ）]使得[P?-∨Q?-=1]，則稱[（LX，τ）]為[δT213]空間。

（6）[?A，B∈LX]，[A，B]為非零準分明[δ-]開集，且[A]和[B]是強隔離的，[?P∈ηδ（xλ），Q∈ηδ（yμ）]使得[P∨Q=1]，則稱[（LX，τ）]為[δ]完全正規空間。

（7）[?]非零的準分明[δ-]閉集[A]和LF點[xλ]，當[x?suppA]時，有連續的[L]值Zadeh型函數[f：（LX，τ）→I*（L）]，使[xλ≤f-（0*）， A≤f-（1*）]，則稱[（LX，τ）]為[δ]完全正則空間。

2.1?? L-好的推廣

定理1?? 設[（LX，ωL（τ））]是由分明拓撲空間[（X，τ）]拓撲生成的LF拓撲空間，則[（LX，ωL（τ））]是[δT213]空間的充要條件為[（X，τ）]是[δT213]空間。

證明： 由[（LX，ωL（τ））]是[δT213]空間，知[（LX，ωL（τ））]為[δT2]空間，因為[δT2]空間是[L-]好的推廣，從而[（X，τ）]是[δT2]空間。又因為在分明拓撲空間中[δT213]空間等價于[δT2]空間，故[（X，τ）]是[δT213]空間。反之，設[（X，τ）]是[δT213]空間，[x，y∈X]且[x=y]，[λ，μ∈M（L）]，取[δ-]開集[U，V]使[x∈U，y∈V]且[U-??V-?=?]，令[P=χU′ ，Q=χV′]，則[P∈η-δ（xλ），Q∈η-δ（yμ）]。又[（χU′）-?=χU′?-，][（χV′）-?=χV′?-]，

所以[P-??Q-?=χU′?-?χV′?-=χU′?-?V′?-=χ（U-??V-?）′=χX]

[=1]，故[（LX，ωL（τ））]是[δT213]空間。

［注］其中[δT2]空間定義為：設[（LX，τ）]為LF拓撲空間，若[?xλ，xμ∈M*（LX），]當[x≠y]時，有[P∈ηδ（xλ）]和[Q∈ηδ（yμ）]使[P∨Q=1]，則稱[（LX，τ）]為[δT2]空間。[δT2]空間是[L-]好的推廣的證明可參考文獻［1］。

推論1?? 幾種[δTi-]分離性都是[L-]好的推廣。

2.2?? [δ-]弱同胚不變性

定理2?? 設[（LX，τ）]是[δT′2]空間，[f： （LX，τ）→（LY，η）]是[δ-]強同胚序同態，則[（LY，η）]也是[δT′2]空間。

證明： 任取[LY]中兩個不可比較的分子[xλ，yμ]，[f]為強同胚序同態，則[f-1（xλ）=（f-1（x））λ]，[f-1（yμ）=（f-1（y））μ]是[LX]中兩個不可比較的分子，這時[?P∈ηδ（（f-（x））λ），]

[Q∈ηδ（（f-（y））μ）]使得[P∨Q=1]，而[f（P）（x）=∨{P（z）|f（z）]

[=x，z∈X}=P（f-1（x））≥λ]，[f（Q）（y） =∨{Q（z）|f（z）=y， ][z∈]

[X}= Q（f-1（y）） ≥μ，]且[f（P），f（Q） ∈η′，] 所以[f（P）∈ηδ（xλ），]

[f（Q）∈ηδ（yμ）]。由[P∨Q=1]知，[f（P∨Q）=f（P）∨f（Q）]

[=1]，所以[（LY，η）]是[δT′2]空間。

推論2?? 幾種[δTi-]分離性都是[δ-]弱同胚不變性。

2.3?? 遺傳性

定理3?? 設[（LX，τ）]是由分明拓撲空間拓撲生成的LF拓撲空間，若[（LX，τ）]是[δ完全正則空間]，則其子空間[（LY，τ|Y）]也是[δ]完全正則空間。

證明：設[（LX，τ）]是由[（X，]

[）]所生成，即[τ=ωL]（

）。如果[（LX，τ）]是[δ完全正則空間]，則由引理1知[（X，]

[）]是[δ]完全正則空間，此時易得[（Y，]

[Y]）也是[δ]完全正則空間。再由引理2得，[τ|Y=ωL]（

[Y] ）即[（LY，τ|Y）]是由[（Y，]

[Y]）拓撲生成的[LF]拓撲空間，因為[（Y，]

[Y]）是[δ]完全正則空間，所以由引理1知[（LY，τ|Y）]也是[δ]完全正則空間。

推論3?? 幾種[δTi-]分離性都具有遺傳性。

2.4?? 可乘性

定理4?? 設[（LX，τ）]是[{LXt，τt}t∈T]的積空間，如果[?t∈]

[T]，[（LXt，τt）]是[δT212]空間[（δT′1空間，][ δT′2][空間， 弱δT2空間 ）]，則[（LX，τ）]是[δT212]空間[（δT′1空間， δT′2空間，弱δT2空間）]；反過來，若[（LX，τ）]是[δT212]空間[（δT′1]空間，[δT′2]空間，弱[δT2]空間），則對任意[t∈T]，當[（LXt，τt）]是滿層空間時， [（LXt，τt）]是[δT212]空間[（δT′1空間， δT′2空間，弱δT2空間）]。

證明： 以[δT212]空間為例進行證明。

設[?t∈T]，[（LXtt，τt）]是[δT212]空間，[x=xtt∈T∈X]，[y=ytt∈T∈X]且[x≠y]，[λ， μ∈M（L）]，任取[r∈T]，因為[（LXrr，τr）]是[δT212]空間，所以[xr，yr∈Xr]，[xr≠yr]，則有[Ar∈]

[η-δ（（xr）λ），][ Br∈η-δ（（yr）μ），] 使[A?r∨B?r=1]。這里[（xr）λ，（yr）μ∈]

[M*（LXrr）]，則[P-1r（Ar）， P-1r（Br）]是[（LX，τ）]中的分明集，且當[x，y∈X]時，由引理3得

[P-1r（Ar）（x）=q-1r?Ar? Pr（x）=q-1r（Ar（xr））] ；

[P-1r（Br）（y）=q-1r?Br?Pr（y）=q-1r（Br（yr））] ；

且[xλ][?][P-1r（Ar）]，[yμ][?][P-1r（Br）]。[?z∈X] 有

[[P-1r（Ar）]?∨[（P-1r （Br））?]（z）]

[= [P-1r（Ar（z））]?][∨][[P-1r（Br（z））]?]

[=[q-1r（Ar（zr））]?∨[q-1r（Br（zr））]?=q-1r[A?r（zr）∨B?r（zr）]=q-1r（1）=1]

因此，[（LX，τ）]是[δT212]空間。反之，設[（LX，τ）]是[δT212]空間，[?r∈T]，[（LXrr，τr）]是[滿層空間]，任取一點[x=xtt∈T∈X]，則[（LX，τ）]的過點[x]且平行于[（LXrr，τr）]的[LF]平面[（LXt～，τ|Xt～）][δ-]強同胚于[（LXrr，τr）]，因為[（LXt～，τ|Xt～）]是[（LX，τ）]的子空間，所以[（LXt～，τ|Xt～）]是[δT212]空間，而[δT212]分離性是[δ-]弱同胚不變性，所以[（LXrr，τr）]是[δT212]空間。

定理5?? 設[（LX，τ）]是[{LXt，τt}t∈T]的積空間，若[?t∈T]，

[（LXtt，τt）]是[滿層空間]，則[（LX，τ）]是[δT213]空間的充要條件為[（LXtt，τt）]是[δT213]空間。

證明： 設[?t∈T]，[（LXtt，τt）]是[δT213]空間，[x=xtt∈T∈X]，

[y=ytt∈T∈Y]，[λ， μ∈M（L）]且[x≠y]，則[?r∈T]使[xr≠yr。] 因為[（LXrr，τr）]是[δT213]空間，所以[?（xr）λ，（yr）μ∈M（LXr），]

有[Ar∈η-δ（（xr）λ）]，[Br∈η-δ（（yr）μ）]使[A?-r∨B?-r=1]。又[（LXrr，τr）]是[滿層空間]，則映射[Pr：LX→LXr]是[δ-]連續開序同態，由引理5知，

[P-1r（A?-r）≤（P-1r（Ar））?-]，[P-1r（B?-r）≤（P-1r][（Br））?-，]

[P-1r（A?-r）∨][P-1r（B?-r） = P-1r（A?-r∨B?-r）]

[=1≤（P-1r][（Ar））?-∨（P-1r（Br））?-]，

即[（P-1r（Ar））?-∨（P-1r（Br））?-][=1。]又由[（xr）λ][?][Ar]可知，[λ][?][Ar（xr）=ArPr（x）=P-1r（Ar）（x）。]所以[xλ][?][P-1r（Ar）]，同理[yμ][?][P-1r（Br）]，即[P-1r（Ar）∈η-δ（xr）]，[P-1r（Br）∈η-δ（yμ）]，故[（LX，τ）]是[δT212]空間。反之證明同定理4。

定理6?? 設[{（LXt，τt）}t∈T]是一族[δ]完全正則的LF拓撲空間，[（LX，τ）]是其積空間，若[?t∈T]，[{（LXt，τt）}t∈T]都是可拓撲生成的，則[（LX，τ）]是[δ]完全正則空間。

證明： 設[?t∈T]，[τt=ωL（]

[t][）]，其中

[t]是[Xt]上的分明拓撲，由引理1可知

[t]是[δ]完全正則的，由引理6知，[τ=ωL（]

[）]，這里

是[{]

[t][}t∈T]的乘積空間，

自然是[δ]完全正則的，再由引理1可知[（LX，τ）]是[δ]完全正則空間。

2.5?? 弱誘導空間與其底空間的關系

定理7?? 當[L]為全序格時，弱誘導空間[（LX，τ）]是[δ]完全正規空間[（δT′1，δT′2，弱δT2，δT212]，[δT213]，[δ]完全正則空間）的充要條件是其底空間[（X，[τ]）]是[δ]完全正規空間[（δT′1，δT′2，弱δT2，δT212]，[δT213]，[δ完全正則空間）]。

證明： 設[（LX，τ）]是[δ完全正規空間]，[A]和[B]是[（X，[τ]）]中的兩個子集，滿足[A∧B-=][A-∧B=?]，于是[（χA）（?）∧（χB-）（?）=（χB）（?）∧（χA-）（?）=?]。因為[（LX，τ）]是弱誘導空間，從而[χA-，? χB-]是[（LX，τ）]中的[δ-]閉集，[（χB）-≤χ-B]，[（χA）-≤χ-A]，則[（χB）-（?）≤（χ-B）（?）]，[（χA）-（?）≤（χ-A）（?）]，因此，[（χA）（?）∧（χB）-（?）=（χB）（?）∧（χA）-（?）=?]。因為[（LX，τ）]是[δ]完全正規空間，故[?P∈η-δ（A）]，[Q∈η-δ（B）]使得[P∨Q=1]，這時[P′∧Q′=?]。因為[?y∈A]，[P（y）≠1]于是[P′（y）>0]，即[y∈P′（?）]，所以[A≤P′（?）]，同理可得[B≤Q′（?）]。由于[（LX，τ）]是弱誘導空間，則[P′（?）]，[Q′（?）]是[（X，[τ]）]中的兩個互不相交的[δ-]開集，故[（X，[τ]）]是[δ完全正規空間]。

反之，設[（X，[τ]）]是[δ完全正規空間]，[?A，B∈LX]，[A，B]是非零準分明集，且[A（?）∧B-（?）=][B（?）∧A-（?）=?]，取[μ，ε∈M（L）] 滿足[?x∈X，A（x）>0?A（x）>μ]，[B（x）>0]

[?B（x）>ε]，記

[E1={y∈X|A（y）≥μ}，][E2={y∈X|A-（y）≥μ}，]

[F1={y∈X|][B（y）][≥ε}，F2={y∈X|B-（y）≥ε}]，

[A（?）=E1][?E2?A-（?）]，[B（?）][=F1?F2?B-（?）]，因為[（LX，τ）]是弱誘導空間，所以[E2]，[F2]是[（X，[τ]）]中的[δ-]閉集，所以[（A（?））-∧B（?）][=][A（?）∧（B（?））-=?]。由于[（X，[τ]）]是[δ]完全正規空間，故[?δ-]開集[U，V]使[A（?）?U，][B（?）?V=?]，令[P=χU′]，[Q=χV′]，則[P∈η-δ（A）]，[Q∈η-δ（B）]且有[P∨Q=1]，因此[（LX，τ）]是[δ完全正規空間]。

3???? 加強的[δTi-]分離性及其性質

定義9?? 設[（LX，τ）]是LF拓撲空間，則

（1）若每個LF點[xλ]都是[δ-]閉集，則稱[（LX，τ）]為[SδT1]空間；

（2）若[?]2個LF點[xλ]與[yμ]，當[x≠y]時，有[P∈][ηδ（xλ）]，

[Q∈ηδ（yμ）]使得[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，則稱[（LX，τ）]為強[δ]Hausdorff，稱[SδT1]的強[δ]Hausdorff空間為[SδT2]空間；

（3）若[?]非零的準分明[δ-]閉集[A]和任一LF點[xλ]，當[x?suppA]時有[P∈ηδ（xλ）]，[Q∈ηδ（A）]使得[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，則稱[（LX，τ）]為強[δ]正則空間，稱[SδT1]的強[δ]正則空間為[SδT3]空間；

（4）若[?]2個非零的準分明[δ-]閉集[A，B]，當[suppA?suppB=?]時，有[P∈ηδ（A）]，[Q∈ηδ（B）]，使[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，則稱[（LX，τ）]為強[δ]正規空間，稱[SδT1]的強[δ]正規空間為[SδT4]空間；

（5）若[?]2個不可比較的分子[xλ]與[yμ]，即[xλ≤yμ，yμ≤xλ]，[?P∈ηδ（xλ）]，[Q∈ηδ（yμ）]使[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，則稱[（LX，τ）]為[SδT′2]空間；

（6）若[?]2個[LF]點[xλ]與[yμ]，當[x≠y]，[λ=μ]時，有[P∈η-δ（xλ）]，[Q∈η-δ（yμ）]使[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，則稱[（LX，τ）]為加強的弱[δ]Hausdorff或SR[δ]Hausdorff空間，稱[SδT1]的SR[δ]Hausdorff空間為[SRδT2]空間；

（7）若對[xλ，yμ∈M*（LX）]，當[x≠y] 時，有[P∈η-δ（xλ）]，[Q∈η-δ（yμ）]使[?x∈X]，[P?（x）=1]或[Q?（x）=1]成立，則稱[（LX，τ）]為[SδT212]空間；

（8）若對[xλ，yμ∈M*（LX）]，當[x≠y]時，有[P∈η-δ（xλ）]，[Q∈η-δ（yμ）]使[?x∈X]，[P?-（x）=1]或[Q?-（x）=1]成立，則稱[（LX，τ）]為[SδT213]；

（9）若[A，B∈LX]，其中[A，B]都是非零準分明[δ-]開集，且[A與B]是強隔離的，則[?P∈ηδ（A）]，[Q∈ηδ（B）]，使[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，則稱[（LX，τ）]為強[δ]完全正規空間。

3.1?? L-好的推廣

定理8?? 設[（LX，ωL（τ））]是由分明拓撲空間[（X，τ）]拓撲生成的LF拓撲空間，則[（LX，ωL（τ））]是[SδT3]空間的充要條件為[（X，τ）]是[δT3]空間。

證明： 由文獻［1］定理5.4.3和定理5.3.3可知，只需證明強[δ]正則空間的充分性即可。

設[（X，τ）]是[δ]強正則空間，[A]是準分明[δ-]閉集，有[ε>0]，使[A（y）>0]當且僅當[A（y）≥ε][（y∈X）]。設[xλ]是[LF]點，[x?suppA]，此時[suppA=τε（A）]是[（X，τ）]中的[δ-]閉集，所以由[（X，τ）]的[δ]強正則性可知，有開集[U，V∈τ]使[x∈U]，[suppA?V]且[U?V=?]。令[P=χU′]，[Q=χV′]，則[P∈ηδ（xλ）]，[Q∈ηδ（A）]且[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，所以[（LX，ωL（τ））]是[δ]強正則空間。

推論4?? [SδTi]空間[（i=1， 2， 3， 4）]和? [SδT′2]、? [SRδT2]、

[SδT212]、[SδT213]、強[δ]完全正規空間都是[L-]好的推廣。

3.2?? [δ-]弱同胚不變性

定理9?? 設[（LX1，τ1）]和[（LX2，τ2）]是LF拓撲空間， [f： LX1][→LX2]是[δ-]強同胚序同態，若[（LX1，τ1）]是[SδT2]空間，則[（LX2，τ2）]也是[SδT2]空間。

證明： 設[y1，y2]是[（LX2，τ2）]中的任意2個LF點，且[y1∧y2=0X]，則[?][（LX1，τ1）]的2個LF點[x1，x2]，使得[f（x1）=y1，f（x2）=y2]且[x1∧x2=0X]。由于[（LX1，τ1）]是[SδT2]空間，則[P∈ηδ（x1）]，[Q∈ηδ（x2）]，使得[?x∈X1]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，令[U=f（P）]，[V=f（Q）]，由[f]是單的[δ-]連續序同態可知，[?x∈X2]，[U∈ηδ（y1）]，[V∈ηδ（y2）]，且有[U（x）=1]或[V（x）=1]，因此[（LX2，τ2）]也是[SδT2]空間。

推論5?? [SδTi]空間[（i=1， 2， 3， 4）] 和[SδT′2]、[SRδT2]、

[SδT212]、[SδT213]、強[δ]完全正規空間都具有[δ-]弱同胚不變性。

3.3?? 遺傳性

定理10?? 若[（LX，τ）]是SR[δ]Hausdorff空間，則它的任一子空間也是SR[δ]Hausdorff空間。

證明： 設[（LY，τ|Y）]是SR[δ]Hausdorff空間[（LX，τ）]的子空間，[xλ，yλ]是[Y]上任意兩個LF點[（x≠y）]，這時[xλ*，yλ*]是[X]上任意兩個LF點，由于[（LX，τ）]是SR[δ]Hausdorff空間， 有[P∈η-δ（xλ*）]，[Q∈η-δ（yλ*）]使[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，這時[P|Y∈η-δ（xλ）]， [Q|Y∈η-δ（yλ）]，對任意[z∈Y]，有[（P|Y）（z）=1]或[（Q|Y）（z）=1]，因此[（LY，τ|Y）]是SR[δ]Hausdorff空間。

推論6?? [SδTi]空 間 [（i=1， 2， 3 ，4）]和? [SδT′2]、[ SδT212]、

[SδT213]、強[δ]完全正規空間都具有遺傳性。

3.4?? 可乘性

定理11?? 設[（LX，τ）]是[{（LXt，τt）}t∈T]的乘積空間，若[?t∈T]，[（LXt， τt）]是強 [δ]Hausdorff 空間? [（SδT1、SδT2、]

[SδT′2、] [SRδT2、SδT212]、[δ]Hausdorff空間[）]，則[（LX，τ）]是強[δ]Hausdorff空間[（SδT1、SδT2、SδT′2、SRδT2、SδT212]、[δ]Hausdorff空間[）]；反之，若[（LX，τ）]是強[δ]Hausdorff空間[（SδT1、SδT2、SδT′2、SRδT2、SδT212]、[δ]Hausdorff空間[）]，則[?r∈T]，當[（LXr，τr）]是滿層空間時，它是強[δ]Hausdorff空間[（SδT1、SδT2、SδT′2、SRδT2、SδT212]、[δ]Hausdorff空間[）]。

證明： 以強[δ]Hausdorff空間為例進行證明。

設對任意[t∈T]，[（LXt，τt）]是強[δ]Hausdorff空間，[xλ，yμ]是[X]上的2個LF點，且[x≠y]，設[x=xtt∈T]，[x=xtt∈T]，則有[r∈T]，使[xr≠yr]。這時[（xr）λ]與[（yr）μ]是[Xr]上的LF點，因為[（LXr，τr）]是強[δ]Hausdorff空間，所以[?δ-]閉集[Br，Cr∈τ′r]使[λ][?][Br（xr）]，[μ][?][Cr（yr）]，且對任意[zr∈Xr]，[Br（zr）=1]或[Cr（zr）=1]。令[B=P-1r（Br）]，[C=P-1r（Cr）]，由[Pr][δ-]連續可知，[B]與[C]是[（LX，τ）]中的[δ-]閉集，且有[λ][?][P-1r（Br）（x）]，[μ][?][P-1r（Cr）（y）]，所以[B∈η-δ（xλ）]，[C∈η-δ（yμ）]，設[z=ztt∈T]是[X]上任一分明點，則[B（z）=P-1r（Br）（z）=Br（zr）]

[=1]或[C（z）=Cr（zr）=1]，所以[（LX，τ）]是強[δ]Hausdorff空間。

反過來，設[（LX，τ）]是強[δ]Hausdorff空間，[r∈T]，[（LXr，τr）]是滿層空間，由文獻［1］定理2.8.9知，[（LXr，τr）][δ-]強同胚于[（LX，τ）]的某子空間，從而由定理9可知[（LXr，τr）]是強[δ]Hausdorff空間。

3.5?? 弱誘導空間與其底空間的關系

定理12? 設[（LX，τ）]是弱誘導的LF拓撲空間，則[（LX，τ）]是強[δ]完全正規空間的充要條件為其底空間[（X，[τ]）]是強[δ]完全正規空間。

證明： 參考定理7的證明。

推論7?? 設[（LX，τ）]是弱誘導的LF拓撲空間，則[（LX，τ）]是[SδTi]空間[（i=1，2，3，4）]或[SδT′2]、[SRδT2]、[SδT212]、[SδT213]空間，當且僅當其底空間[（X，[τ]）]是[SδTi]空間[（i=1，2，3，4）]或[SδT′2]、[SRδT2]、[SδT212]、[SδT213]空間。

4???? 結論

本文以[δ-]開集和[δ-]遠域等概念為工具，給出了LF拓撲空間中[δT′1]、[δT′2]、[弱δT2]、[δT212]、[δT213]、[δ]完全正規、[δ]完全正則分離性的定義，得出了這幾種分離性都具有遺傳性和[δ-]弱同胚不變性且都是[L-]好的推廣；[δT′1]、[δT′2]、[弱δT2]、[δT212]、[δT213]分離性具有可乘性；當[L]為全序格時，[（LX，τ）]是[δTi-]空間當且僅當其底空間[（X，[τ]）]是對應的[δTi-]空間。最后定義了[SδTi]空間[（i=1，2，3，4）]和[SδT′2]、[SRδT2]、[SδT212]、[SδT213]、強[δ]完全正規空間，得出并證明它們具有LF拓撲空間中[δTi-]分離性的主要結論，有助于分離性理論的進一步豐富與拓展。當然利用推廣型開集不僅可以用來研究分離性，還可以用來研究緊性，比如可以利用[δ-]開集引進[δ-]緊性的概念，進而去研究[δ-]緊空間中的相關性質。

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