2024年新高考數學模擬卷（六）

李春林

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0083-09

河南、山西、江西、安徽、甘肅、青海、內蒙古、黑龍江、吉林、寧夏、新疆、陜西

第Ⅰ卷（選擇題）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.已知復數z滿足（1-3i）z=3+i，則z=（??）.

A.1??B.2??C.3??D.4

2.設集合A=xx2-4x+3<0，B=xlog2x>0，則A∩B=（??）.

A.（-1，3）?????B.（-1，2）

C.（1，3）?D.（2，3）

3.某公司為了調查員工的健康狀況，由于女員工所占比重大，按性別分層，用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取樣本，已知所抽取的所有員工的體重的方差為120，女員工的平均體重為50 kg，標準差為6，男員工的平均體重為70 kg，標準差為4.若樣本中有21名男員工，則女員工的人數為（??）.

A.28?B.35?C.39?D.48

4.若a=2 0232 022，b=2 022×（2 0232+2 024）2 0233，c=2 023×（2 0242+2 025）2 0243，則（??）.

A.c

C.a

5.已知直線l與圓O：x2+y2=9交于A，B兩點，點P（4，0）滿足PA⊥PB，則AB的最大值為（??）.

A.32+2?B.2+2

C.4+2?D.2+22

6.若函數f（x）=2x3-ax2+1（a∈R）在（0，+∞）內有且僅有一個零點，則f（x）在［-1，1］上的最大值與最小值的和為（??）.

A.1?B.-4?C.-3?D.5

7.若sin（α+π7）=32，則sin（3π14-2α）=（??）.

A.35?B.-12?C.12?D.13

8.已知數列an的通項公式為an=2（n+2）n，2n·bn=a1a2…an，n∈N*，則1b1+1b2+…+1b2 023=（??）.

A.2 0212 023??B.2 0222 023??C.2 0232 025??D.2 0242 025

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）

9.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，AB=3，AD=2CD=2，以AD所在的直線為軸，其余三邊旋轉一周形成的面圍成一個幾何體，則（??）.

A.該幾何體為棱臺

B.該幾何體的母線長為22

C.該幾何體的表面積為（10+82）π

D.該幾何體的體積為26π3

10.已知拋物線C：y2=2px（p>0）的準線為l：x=-1，焦點為F，過點F的直線與拋物線交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點，PP1⊥l于點P1，則下列說法正確的是（??）.

A.若x1+x2=5，則PQ=7

B.以PQ為直徑的圓與準線l相切

C.設M（0，1），則PM+PP1≥2

D.過點M（0，1）與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有2條

11.已知函數f（x）=x（ex+1），g（x）=（x+1）lnx，則（??）.

A.函數f（x）在R上無極值點

B.函數g（x）在（0，+∞）上存在極值點

C.若對任意x>0，不等式f（ax）≥f（lnx2）恒成立，則實數a的最小值為2e

D.若f（x1）=g（x2）=t（t>0），則lntx1（x2+1）的最大值為1e

第Ⅱ卷（非選擇題）

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.在△ABC中，點D是邊AC上的一點，AD=2DC，點P滿足BP=13BD，若AP=λAB+μAC，則2λ+μ=.

13.我國古代名著《張邱建算經》中記載：“今有方錐，下廣二丈，高三丈.欲斬末為方亭，令上方六尺.問：斬高幾何？”大概意思是：“有一個正四棱錐的下底面邊長為二丈，高為三丈，現從上面截去一段，使之成為正四棱臺，且正四棱臺的上底面邊長為六尺，則截去的正四棱錐的高是多少？”按照上述方法，截得的該正四棱臺的體積為立方尺（注：1丈=10尺）

14.設點P為直線2x+y-2=0上的點，過點P作圓C：x2+y2+2x+2y-2=0的兩條切線，切點分別為A，B，當四邊形PACB的面積取得最小值時，此時直線AB的方程為.

四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.已知向量a=（sinx，1），b=（3cosx，-2），函數f（x）=（a+b）·a.

（1）若a∥b，求cos2x的值；

（2）已知△ABC為銳角三角形，a，b，c為△ABC的內角A，B，C的對邊，b=2，且f（A）=12，求△ABC面積的取值范圍.

16.已知數列an的前n項和為Sn，a1=2，an>0，an+1·（Sn+1+Sn）=2.

（1）求Sn；

（2）求1S1+S2+1S2+S3+…+1Sn+Sn+1.

17.2023年是全面貫徹落實黨的二十大精神的開局之年，也是實施“十四五”規劃承上啟下的關鍵之年，經濟增長呈現穩中有進的可喜現象.2023年8月4日，貴州省工業和信息化廳召開推進貴州刺梨產業高質量發展專題會議，安排部署加快推進特色優勢產業刺梨高質量發展工作，集中資源、力量打造“貴州刺梨”公共品牌.貴州省為做好刺梨產業的高質量發展，項目組統計了全省近5年刺梨產業綜合總產值的各項數據如下：

年份x，綜合產值y（單位：億元）

年份20182019202020212 022

年份代碼x12345

綜合產值y23.137.062.1111.6

150.8

（1）根據表格中的數據，可用一元線性回歸模型刻畫變量y與變量x之間的線性相關關系，請用相關系數加以說明（精確到0.01）；

（2）求出y關于x的經驗回歸方程，并預測2023年底貴州省刺梨產業的綜合總產值.

參考公式：相關系數r=∑ni=1（xi-x-）（yi-y-）∑ni=1（xi-x-）2∑ni=1（yi-y-）2，回歸方程y^=b^x+a^中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為b^=∑ni=1（xi-x-）（yi-y-）∑ni=1（xi-x-）2，a^=y--b^x；

參考數據：∑5i=1yi=384.6，y-≈77，∑5i=1x2i=55，∑5i=1y2i≈40 954，∑5i=1xiyi=1 483.8，336.32≈113 090.

18.如圖1，P為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AC為底面直徑，△ABD為底面圓O的內接正三角形，且邊長為3，點E在母線PC上，且AE=3，CE=1.

（1）求證：PO∥平面BDE；

（2）求證：平面BED⊥平面ABD；

（3）若點M為線段PO上的動點，當直線DM與平面ABE所成角的正弦值最大時，求此時點M到平面ABE的距離.

19.已知兩定點F1（-2，0），F2（2，0），滿足條件PF2-PF1=2的點P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A，B兩個不同的點.

（1）求曲線E的方程；

（2）求實數k的取值范圍；

（3）如果AB=63，且曲線E上存在點C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面積S△ABC.

參考答案

1.因為（1-3i）z=3+i，所以z=3+i1-3i.

則z=3+i1-3i=1010=1.

故選A.

2.A=xx2-4x+3<0=x1

B=xlog2x>0=xx>1，

故A∩B=（1，3）.

故選C.

3.由題意，記樣本中女員工的平均體重和標準差分別為x-1=50，s1=6，所占權重為ω（ω>0.5），男員工的平均體重和標準差分別為x-2

=70，s2=4，所占權重為1-ω，故樣本中全部員工的平均體重為

x-=ωx-1+（1-ω）x-2=70-20ω，

方差s2=ω［s21+x--x-1）2］+（1-ω）［s22+（x--x-2）2］

=ω［36+（20-20ω）2］+（1-ω）［16+（-20ω）2］

=-400ω2+420ω+16=120，

化簡，得100ω2-105ω+26=0.

即（20ω-13）（5ω-2）=0，

解得ω=0.65或ω=0.4（舍）.

所以女員工的人數為211-0.65×0.65=39.

故選C.

4.設函數f（x）=（x-1）（x2+x+1）x3，則f（x）=x3-1x3=1-1x3在（0，+∞）上單調遞增.

故f（2 022）

即b

又a>1，所以b

故選B.

5.設A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點M（x，y），則

x1+x2=2x，y1+y2=2y.

又x21+y21=9，x22+y22=9，

則x21+y21+x22+y22=（x1+x2）2-2x1x2+（y1+y2）2-2y1y2=18.

所以2x2+2y2-9=x1x2+y1y2.

又PA⊥PB，則PA·PB=0.

而PA=（x1-4，y1），PB=（x2-4，y2），

所以x1x2-4（x1+x2）+16+y1y2=0.

即8x-16=x1x2+y1y2.

綜上，2x2+2y2-9=8x-16.

整理，得（x-2）2+y2=12，即為點M的軌跡方程.

所以點M在圓心為（2，0），半徑為22的圓上.

又（0-2）2+02=4>12，

所以點O在圓（x-2）2+y2=12外.

則OMmin=（2-0）2+（0-0）2-22=2-22.

所以ABmax=29-（2-22）2=4+2.

故選C.

6.函數f（x）=2x3-ax2+1（a∈R）在（0，+∞）內有且僅有一個零點，

即方程f（x）=2x3-ax2+1=0在（0，+∞）內有且僅有一個實根，

分離參數可得a=2x+1x2（x>0）.

令h（x）=2x+1x2（x>0），則函數y=h（x），y=a只有一個交點.

又h′（x）=2-2x3=2（x3-1）x3，

當01時，h′（x）>0，

所以函數h（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增.

所以h（x）min=h（1）=3.

又當x→0時，h（x）→+∞，當x→+∞時，h（x）→+∞，

如圖2，作出函數h（x）=2x+1x2（x>0）的大致圖象，

圖2?函數h（x）=2x+1x2（x>0）圖象

由圖可知a=3，所以f（x）=2x3-3x2+1.

則f ′（x）=6x2-6x=6x（x-1）.

當-10，當0

又f（-1）=-4，f（0）=1，f（1）=0，所以f（x）在［-1，1］上的最大值為1，最小值為-4.

所以f（x）在［-1，1］上的最大值與最小值之和為1-4=-3.

故選C.

7.令θ=π7+α，得α=θ-π7，即sinθ=32，

sin（3π14-2α）=sin［3π14-2（θ-π7）］

=sin（π2-2θ）=cos2θ=1-2sin2θ=-12.

故選B.

8.由題意得

2n·bn=2n×31×42×53×…×n+2n.

則bn=（n+1）（n+2）2.

即1bn=2（n+1）（n+2）=2（1n+1-1n+2）.

故1b1+1b2+…+1b2 023=2（12-13+13-14+…+12 024-12 025）=2（12-12 025）=2 0232 025.

故選C.

9.由題意可知該幾何體為圓臺，故A選項不正確；該圓臺的母線長為BC=22+（3-1）2=22，故B選項正確；該圓臺的表面積為π（1+9+1×22+3×22）=（10+82）π，故C選項正確；該圓臺的體積為13π×2×（1+9+1×3）=26π3，故D選項正確.

故選BCD.

10.由題意，拋物線C：y2=2px（p>0）的準線為l：x=-1，所以p=2，拋物線C的方程為C：y2=4x，焦點為F（1，0）.

過點Q作QQ1⊥l于點Q1，

則由拋物線的定義可得PQ=PF+QF=PP1+QQ1=x1+x2+p=5+2=7，故A正確；

PQ=x1+x2+2，則以PQ為直徑的圓的半徑r=x1+x22+1，

線段PQ的中點坐標為（x1+x22，y1+y22），則線段PQ的中點到準線的距離為

x1+x22+p2=x1+x22+1=r，

所以以PQ為直徑的圓與準線l相切，故B正確；

拋物線C：y2=4x的焦點為F（1，0），

PM+PP1=PM+PF≥MF=2，

當且僅當M，P，F三點共線時取等號，所以PM+PP1≥2，故C正確；

對于D，當直線斜率不存在時，直線方程為x=0，與拋物線只有一個交點，當直線斜率存在時，設直線方程為y=kx+1，

聯立y=kx+1，y2=4x，消去x，并整理得ky2-4y+4=0.

當k=0時，方程的解為y=1，此時直線與拋物線只有一個交點，

當k≠0時，則Δ=16-16k=0，解得k=1.

綜上所述，過點M（0，1）與拋物線C有且僅有一個公共點的直線有3條，故D錯誤.

故選ABC.

11.對于A，f（x）定義域為R，f ′（x）=ex+1+xex=（x+1）ex+1.

令m（x）=f ′（x），則m′（x）=（x+2）ex.

所以當x∈（-∞，-2）時，m′（x）<0；當x∈（-2，+∞）時，m′（x）>0.

即f ′（x）在（-∞，-2）上單調遞減，在（-2，+∞）上單調遞增.

所以f ′（x）≥f ′（-2）=-e-2+1=1-1e2>0.

所以f（x）在R上單調遞增，無極值點，A正確.

對于B，g（x）定義域為（0，+∞），g′（x）=lnx+x+1x=lnx+1x+1.

令n（x）=g′（x），則n′（x）=1x-1x2=x-1x2.

所以當x∈（0，1）時，n′（x）<0；當x∈（1，+∞）時，n′（x）>0.

即g′（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增.

所以g′（x）≥g′（1）=2>0.

所以g（x）在（0，+∞）上單調遞增，無極值點，B錯誤.

對于C，由A知：f（x）在R上單調遞增，

由f（ax）≥f（lnx2），得ax≥lnx2.

則當x>0時，a≥lnx2x=2lnxx.

令h（x）=2lnxx，則h′（x）=2（1-lnx）x2.

所以當x∈（0，e）時，h′（x）>0；當x∈（e，+∞）時，h′（x）<0.

所以h（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減.

所以h（x）max=h（e）=2e.

所以a≥2e.

即a的最小值為2e，C正確；

對于D，若f（x1）=g（x2）=t（t>0），則

x1（ex1+1）=（x2+1）lnx2=t.

因為f（0）=0，g（1）=0，t>0，

由AB知：f（x），g（x）均為定義域上的增函數，所以x1>0，x2>1.

由x1（ex1+1）=（x2+1）lnx2，得

x1（ex1+1）=（ex1+1）lnex1=（x2+1）lnx2.

所以x2=ex1.

所以lntx1（x2+1）=ln［x1（ex1+1）］x1（ex1+1）.

令k=x1（ex1+1），則k>0.

令p（k）=lnkk，則p′（k）=1-lnkk2.

所以當k∈（0，e）時，p′（k）>0；當k∈（e，+∞）時，p′（k）<0.

所以p（k）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減.

所以p（k）max=p（e）=1e.

即lntx1（x2+1）的最大值為1e，D正確.

故選ACD.

12.因為點D是邊AC上的一點，AD=2DC，

所以AD=23AC.

所以AP=AB+BP=AB+13BD=AB+13（AD-AB）=23AB+13×23AC=23AB+29AC.

又AP=λAB+μAC，

所以λ=23，μ=29.

所以2λ+μ=149.

13.按如圖３所示方式截取正四棱錐，

O′，O分別為上、下底面正方形的中心，H′，H分別為A′B′，AB的中點，正四棱錐P-ABCD的下底邊長為二丈，即AB=20尺，高三丈，即PO=30尺.

截去一段后，得正四棱臺ABCD-A′B′C′D′，且上底邊長為A′B′=6尺，所以PO′PO=PH′PH=H′B′HB.

由PO′PO=H′B′HB，有30-OO′30=（1/2）×6（1/2）×20，

解得OO′=21，

所以該正四棱臺的體積是V=13×21×（202+20×6+62）=3 892（立方尺）.

14.由圓C方程知：

圓心C（-1，-1），半徑r=1222+22+8=2.

因為S四邊形PACB=2S△PCA，AC⊥AP，

所以S四邊形PACB=AC·AP=2AP.

因為AP=CP2-r2=CP2-4，

所以當CP為圓心C到直線2x+y-2=0的距離時，即直線CP與直線2x+y-2=0垂直時，AP取得最小值.

所以kCP=12.

又C（-1，-1），

所以直線CP：y+1=12（x+1）.

即x-2y-1=0.

由x-2y-1=0，2x+y-2=0，得x=1，y=0.

即P（1，0），所以線段CP中點為（0，-12）.

又12CP=12×-2-1-222+12=52，

所以以CP為直徑的圓的方程為

x2+（y+12）2=54.

由x2+（y+12）2=54，x2+y2+2x+2y-2=0，得

2x+y-1=0.

即直線AB方程為2x+y-1=0.

15.（1）因為a∥b，所以3cosx=-2sinx.

則tanx=-32，

cos2x=cos2x-sin2x=cos2x-sin2xsin2x+cos2x=1-tan2xtan2x+1=1-（-3/2）2（-3/2）2+1=17.

（2）f（x）=（a+b）·a=（sinx+3cosx）sinx+（1-2）×1=sin2x+3sinxcosx-1

=32sin2x-12cos2x-12=sin（2x-π6）-12，

又f（A）=12，所以sin（2A-π6）=1.

因為A∈（0，π2），所以2A-π6=π2.

所以A=π3.

因為csinC=bsinB，所以c=2sinCsinB.

所以S△ABC=12bcsinA=3sinCsinB

=3sin（B+π/3）sinB=32+32tanB.

所以0

解得π633.

故32<32+32tanB<23.

即△ABC面積的取值范圍為（32，23）.

16.（1）a1=2，an>0，an+1·（Sn+1+Sn）=2，

所以（Sn+1-Sn）（Sn+1+Sn）=2.

所以S2n+1-S2n=2.

即數列S2n是首項為2，公差為2的等差數列.

所以S2n=2+2（n-1）=2n.

由an>0，可得Sn=2n.

（2）1Sn+Sn+1=12n+2（n+1）

=22（n+1-n），

即有1S1+S2+1S2+S3+…+1Sn+Sn+1=22（2-1+3-2+2-3+…+n+1-n）

=22（n+1-1）.

17.（1）由題設x-=1+2+3+4+55=3，則

∑5i=1（xi-x-）（yi-y-）=∑5i=1（xiyi）-5x-

y-=1 483.8-5×3×77=328.8，

∑5i=1（xi-x-）2=∑5i=1x2i-5x-2=55-5×9=10，

∑5i=1（yi-y-）2=∑5i=1y2i-5y-2=40 954-5×772=11 309.

所以r=328.810×11 309≈328.8336.3≈0.98，兩個變量有強相關性.

故可用一元線性回歸模型刻畫變量y與變量x之間的線性相關關系.

（2）由（1），b^=∑5i=1（xi-x-）（yi-y-）∑5i=1（xi-x-）2=328.810=32.88，

a^=77-32.88×3=-21.64，

所以y^=32.88x-21.64.

當x=6，則y^=32.88×6-21.64=175.64億元.

18.（1）如圖4，設AC交BD于點F，連接EF，由圓錐的性質可知PO⊥底面ABD.

因為AC平面ABD，所以PO⊥AC.

又因為△ABD是底面圓的內接正三角形，

由AD=3，可得AF=32.

因為ADsin60°=AC，解得AC=2.

又AE=3，CE=1，所以AC2=AE2+CE2.

即∠AEC=90°，AE⊥PC.

又因為AEAC=AFAE=32，

所以△ACE∽△AFE.

所以∠AFE=∠AEC=90°.

即EF⊥AC.

又PO，AC，EF平面PAC，直線EF∥PO，PO平面BDE，EF平面BDE，所以直線PO∥平面BDE.

（2）因為PO∥EF，PO⊥平面ABD，

所以EF⊥平面ABD.

又EF平面BED，所以平面BED⊥平面ABD.

（3）易知PO=2EF=3，以點F為坐標原點，FA，FB，FE所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖5所示的空間直角坐標系，則A（32，0，0），B（0，32，0），D（0，-32，0），E（0，0，32），P（12，0，3），O（12，0，0）.

所以AB=（-32，32，0），AE=（-32，0，32），DO=（12，32，0），OP=（0，0，3）.

設平面ABE的法向量為n=（x，y，z），

則AB·n=-32x+32y=0，AE·n=-32x+32z=0.

令x=1，則n=（1，3，3），

設OM=λOP（0≤λ≤1），可得

DM=DO+OM=（12，32，3λ）.

設直線DM與平面ABE所成的角為θ，

則

sinθ=cos〈n，DM〉=n·DMnDM=3λ+27×3λ2+1.

即sin2θ=9λ2+12λ+47（3λ2+1）=17（3+12λ+13λ2+1）.

令y=12x+13x2+1，x∈［0，1］，

則y=12x+13x2+1=4（x+1/12x2+1/3）

=4［x+1/12（x+1/12-1/12）2+1/3］

=4x+1/12+（49/144）/（x+1/12）-1/6

≤42（x+1/12）（49/144）/（x+1/12）-1/6=4，

當且僅當x=12時，等號成立.

所以當x=12時，y=12x+13x2+1有最大值4.

即當λ=12時，sinθ的最大值為1，此時點

M（12，0，32），連接AM，所以MA=（1，0，-32）.

所以點M到平面ABE的距離

d=MA·nn=1-3/27=714.

故當直線DM與平面ABE所成角的正弦值最大時，點M到平面ABE的距離為714.

19.（1）由雙曲線的定義可知，曲線E是以

F1（-2，0），F2（2，0）為焦點的雙曲線的左支，且c=2，a=1，得b=1.

故曲線E的方程為x2-y2=1（x<0）.

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），由題意建立方程組y=kx-1，x2-y2=1，

消去y，得

（1-k2）x2+2kx-2=0.

又直線與雙曲線左支交于A，B兩點，有

1-k2≠0，Δ=（2k）2+8（1-k2）>0，x1+x2=-2k1-k2<0，x1x2=-21-k2>0，

解得-2

（3）因為AB=1+k2·x1-x2

=1+k2·（x1+x2）-4x1x2

=1+k2·（-2k1-k2）2-4×-21-k2

=2（1+k2）（2-k2）（1-k2）2，

依題意得2（1+k2）（2-k2）（1-k2）2=63.

整理，得28k4-55k2+25=0.

所以k2=57或k2=54，

但-2

所以k=-52.

故直線AB的方程為52x+y+1=0.

設C（x0，y0），由已知OA+OB=mOC，得

（x1，y1）+（x2，y2）=（mx0，my0）.

所以（x0，y0）=（x1+x2m，y1+y2m），m≠0.

又x1+x2=2kk2-1=-45，y1+y2=k（x1+x2）-2=2k2k2-1-2=2k2-1=8，

所以點C（-45m，8m）.

將點C的坐標代入曲線E的方程，得80m2-64m2=1.

解得m=±4.

但當m=-4時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意，

所以m=4，點的坐標為（-5，2），C到AB的距離為

（5/2）×（-5）+2+1（5/2）2+12=13.

所以△ABC的面積S=12×63×13=3.

［責任編輯：李?璟］