計(jì)數(shù)棒：算理與算法有效融合的實(shí)踐研究

徐英姿

［摘 要］文章通過(guò)梳理教材，發(fā)現(xiàn)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中的常見(jiàn)工具——計(jì)數(shù)棒，并分析學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，把握學(xué)生的認(rèn)知水平，充分利用計(jì)數(shù)棒設(shè)計(jì)課堂教學(xué)內(nèi)容，讓課堂教學(xué)更精準(zhǔn)，讓學(xué)生理解算理更深刻，使學(xué)生的計(jì)算素養(yǎng)得以提升。

［關(guān)鍵詞］計(jì)數(shù)棒；算理；算法；數(shù)與代數(shù)

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）14-0046-04

計(jì)算不能只是簡(jiǎn)單的會(huì)算和算對(duì)，還需要懂得怎么算和這樣算的道理。筆者借助計(jì)數(shù)棒展開(kāi)課堂教學(xué)研究，幫助學(xué)生在準(zhǔn)確掌握算法的同時(shí)深化對(duì)算理的理解。

一、理一理：提煉算理的新內(nèi)涵

算理不能憑空想象，需要借助某種介質(zhì)進(jìn)行解釋，找到算理的新內(nèi)涵。

（一）梳理——理解內(nèi)容編排意圖

計(jì)數(shù)棒在計(jì)算起始課程中被多次呈現(xiàn)（如圖1）。

計(jì)數(shù)棒在計(jì)算教學(xué)中是一個(gè)良好的媒介。教材中，計(jì)數(shù)棒在不同地方的呈現(xiàn)形式不同，代表的意義也不同，有時(shí)代表分，有時(shí)代表合。不過(guò)，教材使用計(jì)數(shù)棒的作用是一樣的，即能清晰地呈現(xiàn)計(jì)算的每個(gè)步驟，展現(xiàn)每個(gè)步驟的算理，從而總結(jié)出算法。由此可見(jiàn)，運(yùn)用計(jì)數(shù)棒能夠促進(jìn)算理和算法的互通，實(shí)現(xiàn)理法共贏。

（二）整理——把握知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系

捕捉學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，了解學(xué)生當(dāng)前的知識(shí)儲(chǔ)備和能力儲(chǔ)備（如圖2），可以更好地開(kāi)展算理教學(xué)，加大教學(xué)力度。

在知識(shí)儲(chǔ)備方面，學(xué)生已經(jīng)了解了四則運(yùn)算的概念，明確了加是合起來(lái)，減是分出去，乘代表幾個(gè)幾，除代表平均分，并懂得了計(jì)算的基本規(guī)律，即運(yùn)算法則。在能力儲(chǔ)備方面，學(xué)生已經(jīng)具備了基本的四則運(yùn)算能力，能輕松地進(jìn)行口算和筆算，同時(shí)能自主操作小棒。

（三）清理——把握學(xué)生思維梯度

中段學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平正在由具體形象階段過(guò)渡到抽象運(yùn)算階段。中段學(xué)生雖然已經(jīng)具備了一定的認(rèn)知能力和抽象思維能力，但在學(xué)習(xí)過(guò)程中仍需借助直觀形象的圖示輔助消化。教師要關(guān)注中段學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展現(xiàn)狀，了解學(xué)生現(xiàn)階段的思維梯度，從而設(shè)計(jì)適合學(xué)生的教學(xué)內(nèi)容（如圖3），讓學(xué)生既會(huì)算，又能理解其中的算理。

二、精一精：探索算理教學(xué)的新路徑

在課堂教學(xué)中運(yùn)用計(jì)數(shù)棒，能讓學(xué)生初步感知算理、理解算理，并簡(jiǎn)單運(yùn)用算理。

（一）精準(zhǔn)——定制算理課堂，深度融合

教師在課堂教學(xué)中運(yùn)用計(jì)數(shù)棒解釋算理，能使計(jì)算教學(xué)課堂充滿活力，呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)的美感。

1.以“動(dòng)”替“靜”：在課件動(dòng)態(tài)中具象呈現(xiàn)

在課件中利用計(jì)數(shù)棒將計(jì)算過(guò)程中的抽象算理動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)出來(lái)，能將抽象的算理變得具象化（如圖4）。

教學(xué)除法時(shí)，利用課件動(dòng)態(tài)播放“42÷2”對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)棒的分法，能清晰地呈現(xiàn)計(jì)算“42÷2”的過(guò)程，讓學(xué)生清楚地感知除法的算理。分小棒的過(guò)程其實(shí)就是列豎式的過(guò)程，動(dòng)態(tài)展示豎式計(jì)算的實(shí)際過(guò)程，能使學(xué)生形象地理解每個(gè)步驟的算理并內(nèi)化。

2.以“合”替“散”：在微課整合中高效融入

微課能在相對(duì)較短的時(shí)間內(nèi)融入更多的算理知識(shí)，豐富解釋算理，從而使課堂更高效。教師可以將多個(gè)有關(guān)算理的散狀知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合并制作成微課（如圖5）。

在微課中借助計(jì)數(shù)棒，用直觀的動(dòng)畫(huà)和簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言快速地解釋算理。計(jì)數(shù)棒的應(yīng)用覆蓋面廣，如多位數(shù)乘一位數(shù)和多位數(shù)除以一位數(shù)等，都可以利用計(jì)數(shù)棒來(lái)展示分與合的過(guò)程，直觀地呈現(xiàn)其中蘊(yùn)含的算理。

（二）精妙——定制解題思路，深度理解

計(jì)數(shù)棒與算式的結(jié)合是理解算理和掌握算法的關(guān)鍵。那么，如何將計(jì)數(shù)棒和算式結(jié)合起來(lái)呢？定制一套實(shí)用的圖式模板，將圖與式巧妙地結(jié)合起來(lái)，可以完美有效地溝通算理和算法，從而讓學(xué)生充分理解算理，掌握算法。

1.先圖后式——明理型

當(dāng)一道算式既可以口算，又可以筆算時(shí)，教師可以先畫(huà)出正確的計(jì)數(shù)棒示意圖，再呈現(xiàn)大家都能看懂的數(shù)學(xué)語(yǔ)言——算式（如圖6），讓學(xué)生清晰明確地認(rèn)識(shí)算理。

先圖后式的方法比較適合將抽象的算式具象化。在理解算理的過(guò)程中，學(xué)生需要先借助圖的幫忙，分析清楚計(jì)算步驟的來(lái)龍去脈，再列出相應(yīng)的口算式子，從而看明白最根本的算理，掌握算法。上述案例中，口算和筆算共進(jìn)，在解決“14×3”時(shí)，用一幅計(jì)數(shù)棒圖，就既能解釋口算過(guò)程，又能解釋筆算過(guò)程，一圖多效，使學(xué)生對(duì)算理的理解更深刻。

2.先式后圖——驗(yàn)證型

解釋算理時(shí)可以先用式子分步進(jìn)行解釋，再利用計(jì)數(shù)棒驗(yàn)證算理，即先式后圖（如圖7）。與先圖后式相比，先式后圖用逆向的解題思路引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)，使學(xué)生更透徹地理解算理。

對(duì)于相對(duì)簡(jiǎn)單的除法算式，很多學(xué)生會(huì)采用口算的思路進(jìn)行理解，這時(shí)可以利用計(jì)數(shù)棒驗(yàn)證口算思路中的算理。計(jì)數(shù)棒的驗(yàn)證是與分步式子配套的，圖和算式完美契合，在驗(yàn)證的同時(shí)能讓學(xué)生更深刻地理解算理。

三、拓一拓：增強(qiáng)算理的時(shí)效性

計(jì)數(shù)棒還可以應(yīng)用于運(yùn)算律和計(jì)算規(guī)律等的算理理解和算法掌握中，從而拓寬學(xué)生的思路，完善評(píng)價(jià)體系。

（一）拓寬——承上啟下，激增動(dòng)力

1.拓板塊，廣方法

在運(yùn)算律中利用計(jì)數(shù)棒來(lái)解釋其道理（如圖8），能讓學(xué)生對(duì)算理的理解更透徹，在高段學(xué)習(xí)更難的算理時(shí)就可以得心應(yīng)手。

上述案例中，根據(jù)計(jì)數(shù)棒的擺法可知，3個(gè)12的和加上3個(gè)8的和，與3個(gè)12加8的和相等。這就說(shuō)明了乘法分配律的內(nèi)涵。學(xué)生通過(guò)直觀形象的計(jì)數(shù)棒，深刻理解了乘法分配律的內(nèi)涵，靈活掌握了乘法分配律的運(yùn)用技巧，從而在遇到類似的計(jì)算時(shí)能快速地遷移知識(shí)解題。

2.寬領(lǐng)域，深推理

計(jì)數(shù)棒還能用于推理和驗(yàn)證一些計(jì)算規(guī)律。比如研究數(shù)的倍數(shù)特征時(shí)，很多學(xué)生都知道2，3，4，5等數(shù)的倍數(shù)特征，但是并不知道其中的道理。教師可以借助計(jì)數(shù)棒來(lái)進(jìn)行推理（如圖9）。

用計(jì)數(shù)棒能形象生動(dòng)地展現(xiàn)出數(shù)的倍數(shù)特征，讓學(xué)生吃透其中的精髓，形成深刻的記憶。當(dāng)要驗(yàn)證16，42等數(shù)是否為3的倍數(shù)時(shí)，學(xué)生就能靈活又準(zhǔn)確地進(jìn)行判斷。驗(yàn)證更大的數(shù)，如100，200等數(shù)是否為3的倍數(shù)時(shí)，學(xué)生也能快速地解決。如此，學(xué)生便獲得了可生長(zhǎng)的知識(shí)。

（二）拓聯(lián)——內(nèi)外兼修，激發(fā)毅力

教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)數(shù)棒將算理內(nèi)化成解題的思想，形成個(gè)性化解題思維，進(jìn)而遷移應(yīng)用到其他方面。

1.拓“內(nèi)部”思維，舉一反三

對(duì)算理的理解本身就是一種計(jì)算思維的體現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)會(huì)了用計(jì)數(shù)棒表示算理的同時(shí)，也要運(yùn)用類比推理，舉一反三，用點(diǎn)子圖來(lái)表示算理（如圖10-1、圖10-2），將算理融會(huì)貫通。

點(diǎn)子圖常用于理解多位數(shù)乘多位數(shù)的豎式，學(xué)生經(jīng)過(guò)用計(jì)數(shù)棒理解算理后，看到點(diǎn)子圖時(shí)就能輕松理解，并能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，在點(diǎn)子圖中圈一圈、標(biāo)一標(biāo)類推算理。數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)中十分重要的數(shù)學(xué)思想方法，在運(yùn)用之前更需要具備圖式轉(zhuǎn)碼的能力。在深刻理解算理后，學(xué)生就能將這種思想方法內(nèi)化為自身的技能，在以后解題答題時(shí)自然地運(yùn)用。

2.聯(lián)“外部”評(píng)價(jià)，形成素養(yǎng)

教師用擺一擺、畫(huà)一畫(huà)等方式靈活演繹算理，并對(duì)算理的理解進(jìn)行評(píng)價(jià)（如圖11），讓算理成為學(xué)生自身的計(jì)算素養(yǎng)。

在演繹算理時(shí)，通過(guò)畫(huà)計(jì)數(shù)棒來(lái)解釋“35×2”這個(gè)算式的過(guò)程，學(xué)生就變成了實(shí)踐者。片段2中，結(jié)合課內(nèi)外探究不同的計(jì)算方法，教師用不同的計(jì)數(shù)棒來(lái)呈現(xiàn)，做到了理法之間的融會(huì)貫通。借助計(jì)數(shù)棒，教師引導(dǎo)學(xué)生順其自然地寫(xiě)出“30×2”和“5×2”兩個(gè)算式，學(xué)生從簡(jiǎn)單的圖中清楚地看到計(jì)算過(guò)程。同時(shí)，對(duì)學(xué)生的實(shí)踐做出簡(jiǎn)要的評(píng)價(jià)，能引起學(xué)生對(duì)算理的重視。

（三）拓展——明理知法，激發(fā)活力

跳出常規(guī)的算理運(yùn)用范圍，教師可以將算式和算理結(jié)合，給予它豐富多樣的情境，使原本枯燥的算理理解變得生動(dòng)活潑。此外，將算理運(yùn)用到其他難度更大的式子中，擺脫計(jì)數(shù)棒，運(yùn)用圖形的面積等來(lái)詮釋算理，能使數(shù)形結(jié)合更精彩。

1.拓情境，有“生”有“色”

創(chuàng)建適合圖、式子的文字情境關(guān)系，將原本沒(méi)有色彩的算理，在情境的加持下變得五彩繽紛，富有生機(jī)。比如“10×11”，這個(gè)算式本身只有計(jì)數(shù)棒和分步式子能賦予它意義，但是加上相應(yīng)的情境以后，它的內(nèi)涵會(huì)更豐富。

其實(shí)看計(jì)數(shù)棒編情境有點(diǎn)類似語(yǔ)文的看圖說(shuō)話，只不過(guò)這幅圖是呈現(xiàn)算理的計(jì)數(shù)棒，需要看懂的是計(jì)數(shù)棒中藏著的算理是幾個(gè)幾，如此才能編情境，否則就會(huì)出現(xiàn)文不對(duì)題的情況。同一個(gè)乘法算式“10×11”，既可以看成是10個(gè)11，也可以看成是11個(gè)10，因此需要借助計(jì)數(shù)棒來(lái)闡述算理。從不同的角度看待問(wèn)題，所編出的情境自然就不同，這樣可以練就更高一層的算理理解能力。

2.展運(yùn)用，有“形”有“數(shù)”

其實(shí)除了在加減乘除的計(jì)算中需要理解算理，很多數(shù)學(xué)題的理解方法都和算理密不可分。比如在解釋完全平方公式的時(shí)候，教師往往會(huì)將數(shù)與形結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生從圖中展望算理，記憶公式（如圖13）。

用圖形的面積來(lái)解釋算理，是不脫離算理本質(zhì)，在形中找到數(shù)的“影子”，用算理與圖形結(jié)合的方式來(lái)解釋公式。從圖形到算理到公式，算理成為兩者的聯(lián)系。

升級(jí)算理的運(yùn)用，改變只能用點(diǎn)子圖、計(jì)數(shù)棒來(lái)表示加減乘除的基本含義的模式，增加了用圖形面積來(lái)明確公式中的算理的方法，延伸算理的真正內(nèi)涵，獲得了解決計(jì)算問(wèn)題的多種新方法。

總之，在小學(xué)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中利用計(jì)數(shù)棒來(lái)進(jìn)行教學(xué)，能把算理清晰地呈現(xiàn)出來(lái)，從而使學(xué)生掌握算法，提高計(jì)算能力。

（責(zé)編 吳美玲）