結構化視域下“圖形的旋轉”教學探究

丁國美 張敏

［摘 要］文章結合“圖形的旋轉”教學在不同學段的目標，基于結構化視角，在把握本質的基礎上利用操作、觀察、關聯等教學策略，加深學生對旋轉的整體認識，促使學生將其與其他運動進行關聯，從而完善認知結構、發展空間觀念。

［關鍵詞］旋轉；結構化；教學探究

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）14-0054-03

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出了“設計體現結構化特征的課程內容”的課程理念，該理念從課程內容選擇、課程內容組織、課程內容呈現三方面對結構化教學提出了明確的要求。筆者在結構化視域下探究圖形旋轉的整體性教學策略，在層層深入的教學中不斷凸顯旋轉運動的本質。

一、解讀教材，把握關聯結構

（一）學段關聯

“圖形的旋轉”是小學階段“圖形的位置與運動”的重要組成部分，在多學段教材中都出現過。梳理教材中與“圖形的旋轉”有關的教學內容，筆者發現其具有內容螺旋推進和難度層層遞進兩個特點。

1.內容螺旋推進

比較人教版、北師大版和蘇教版教材中的圖形旋轉知識的編排，發現在小學階段，三個版本教材均安排在兩個不同的學段（見表1）。

細讀人教版教材，發現旋轉的內容被安排在第一學段的二年級、第三學段的五年級，從旋轉的概念、性質到繪圖方式，由淺入深、螺旋推進，二年級時是借助風車等生活場景讓學生初步感知旋轉現象，五年級時是借助方格紙讓學生認識旋轉的特征。另外，中學階段也有旋轉的內容，如九年級時借助輔助線讓學生理解旋轉的性質。教材沒有對旋轉做一般化的描述，也沒有給出定義，只要求學生積累感性認識，形成初步表象。

2.難度層層遞進

二年級“旋轉的初步認識”的教學目標是借助實物操作來幫助學生感知旋轉，五年級“旋轉的再認識”的教學目標是使得學生從動手操作過渡到動腦想象，能正確描述旋轉的三要素，并能畫出旋轉后的圖形，進一步感知旋轉的本質，對學生的空間觀念提出了更高的要求。另外，九年級的相關教學內容是要求學生在操作探究的基礎上進一步抽象概括旋轉的概念、性質，明確認知。

（二）知識關聯

教師在解讀教材時不僅要關注學段間知識的聯系，更要注重對知識的整體教學，以幫助學生建立知識間的聯系。

1.旋轉與其他圖形運動的關聯

“圖形的旋轉”屬于圖形與幾何領域“圖形的運動”內容，該內容還包括軸對稱、平移兩種不同的運動。可見，旋轉和軸對稱、平移一樣，其本質是圖形的剛體運動，它們之間有關聯。例如，一個圖形通過兩次軸對稱運動（對稱軸不同）改變了位置和方向，這個圖形也可以通過旋轉加平移的運動組合到達同樣的位置和方向；兩次按順時針將圖形旋轉180°（旋轉中心不同）的運動效果相當于平移……

2.旋轉與各種圖形的關聯

圖形與旋轉緊密關聯。用運動的眼光看待旋轉：點動成線，線動成面，面動成體。例如，一個點繞另一個點旋轉一周的運動軌跡是圓周；基本圖形繞不同的點旋轉，會形成不同的圖案，如一個三角形分別繞其三個頂點旋轉會得到不同的圖案；平面圖形繞某條邊旋轉一周會得到立體圖形，如長方形繞其長或寬旋轉一周形成圓柱。

（三）目標關聯

基于對旋轉教學內容的梳理與分析，教師在教學前應梳理各學段旋轉知識，明確各學段相關內容之間的聯系，把握各年級的教學要求，思考各學段間的知識銜接。“旋轉的初步認識”的教學重點是通過觀察操作感悟旋轉，逐步建立旋轉運動的表象。教材借助生活中的旋轉現象和旋轉活動，使學生通過“玩陀螺”活動直觀感知點的旋轉。為了教學“旋轉的再認識”時學生能更深入地感悟旋轉的本質，“旋轉的初步認識”的教學不能僅僅停留在“旋轉是轉圈”這一單一表象上，教師可以提出有趣、有挑戰性的問題，讓學生通過觀察、操作等探究旋轉的三要素，體會旋轉前后圖形各部分之間的關系，從而建立豐富表象，發展空間觀念。

另外，九年級的相關教學內容是旋轉運動的描述和畫旋轉圖形，教學目標是要讓學生進一步感悟旋轉運動的本質。因此，教師在教學時不僅要讓學生學會描述旋轉運動三要素、學會正確畫出旋轉圖形，還要完善學生對旋轉含義的認知，使學生不停留于對旋轉的單一表象上，而是在這個過程中感悟旋轉運動的本質、感悟旋轉運動與其他運動的關聯，提升數學素養。

二、基于學情，把握認知難點結構

在學習圖形的旋轉時，學生會遇到一些困難，如對旋轉本質的感悟不夠、無法正確畫出旋轉后的圖形等。因此，教師需要了解學生原有認知中存在的問題和教師教學中存在的問題。

（一）學生原有認知中存在的問題

1.對旋轉的認知停留在“轉圈”

對于圖形的旋轉的認知，較多學生只停留在生活經驗上，無法厘清旋轉的本質，具體表現為：知道風車會做旋轉運動，但認為分針從指向表盤的“12”轉到指向“3”不是在做旋轉運動或者不是完整的旋轉運動，認為要轉完整的一圈才是旋轉。

2.觀察時忽略局部和整體的關系

有些學生在畫旋轉后的圖形時急于求成，往往只看關鍵線段、關鍵點的運動情況，沒有想象整體圖形旋轉之后的位置。圖形中有相等的邊（如等邊三角形）時，部分學生就較難找到旋轉前后對應的邊。

（二）教師教學中存在的問題

1.把握不準教學目標

部分教師對教學目標把握不準。如在教學“旋轉的初步認識”時，僅讓學生認識一些生活中做旋轉運動的物體，沒有讓學生通過體驗感知旋轉的運動特點。在教學“旋轉的再認識”時，沒有將關鍵點和中心點連線，導致學生在觀察圖形的旋轉時不能直觀地看到旋轉方向和旋轉角度，因此感到比較抽象和難以理解。

2.缺少對教材的優化

對教學目標把握不準會減少對教材的優化工作。例如，“旋轉的初步認識”的教學素材是旋轉情境圖和“玩陀螺”活動，部分教師不知道如何用好這些素材，更不要說創新素材來引導學生了解圖形的旋轉和體會旋轉的特點。又如，畫旋轉圖形是教學難點，傳統教學方式是引導學生利用學具，如將三角形學具先放在方格紙上，再按要求轉一轉，最后畫下來。這并不利于學生理解旋轉本質，以及培養空間觀念。因此，教師要通過優化素材來幫助學生進一步理解圖形的旋轉。

三、把握本質，結構化教學

深度剖析學情與教學后可知，要實現結構化視域下的“圖形的旋轉”教學創新，教師應該引導學生經歷關聯的活動，進而把握旋轉本質、注重整體關聯。

（一）利用操作，拓寬初步感知的廣度

在教學“旋轉的初步認識”時，傳統的教學方式是借助轉陀螺讓學生感知旋轉現象，使學生發現陀螺轉起來以后陀螺上的點轉變成了圓。但是這樣教學，學生只有簡單的發現，筆者對此進行了改進。

【教學片段】

師：大家猜猜，如果在小陀螺上任意點一個點，轉動小陀螺，這個點會變成圓嗎？

生1：可能會。

師：大家來驗證一下吧。請拿出水彩筆，在小陀螺上任意點幾個點，再旋轉陀螺，發現了什么？

生2：我看到點變成圓。

生3：小陀螺轉起來后，這些點都在轉。

生4：點靠外面，變成的圓就大；點靠里面，變成的圓就小。

師：鐘表上的針也會轉。請幾位同學上來撥一撥鐘表上的分針，大家看看分針是否在做旋轉運動。

（幾位學生撥動分針的方向和角度都不同）

生5：第二位同學是把分針從“12”順著轉到“6”，只走了半圈，不是旋轉運動。

生6：我覺得這樣是旋轉運動，轉半圈的動作和轉陀螺的動作、轉一圈分針的動作是一樣的，只不過旋轉得少了一點。

生7：第三位同學和前面兩位同學不同，是逆時針轉分針的。

師：原來可以按不同方向旋轉。你們能讓三角尺旋轉起來嗎？它們在轉的時候和分針的旋轉有什么相同之處？

生8：都要固定住一個地方不動。

師：如果不固定，三角尺就會怎么樣？

生9：那整個三角尺都會移動。

教學創新的三個落腳點是素材的關聯、活動的關聯和運動本質的關聯。通過陀螺、分針和三角尺的旋轉，讓學生體驗點、線段和平面圖形的旋轉，從而理解旋轉的概念。在操作中，學生可以感受到旋轉角度、旋轉方向和旋轉中心的變化，并且體會到平移和旋轉之間的區別。教師可以引導學生在操作、觀察和比較等活動中建立豐富的表象，以發展他們的空間觀念。通過簡單的操作和觀察，學生可以深入地感悟旋轉的概念。

（二）經歷畫圖，挖掘理解特征的深度

如果教師只是讓學生在方格紙上畫三角形旋轉后的圖案，讓學生認識圖形的旋轉，學生會不知道為什么要畫圖。筆者對此進行了改進。

【教學片段】

師：一個三角形繞O點按逆時針方向旋轉90°會得到怎樣的圖形？請大家先想象，再試著畫一畫，最后用三角形轉一轉進行驗證。

生1：我先找到長邊OA繞O點按逆時針方向旋轉90°后的位置，并確定長度為4格。再找到短邊OB繞O點按逆時針方向旋轉90°后的位置，并確定長度為3格，然后把第三條邊AB連起來。

師：你們在畫的過程中發現了什么？

生2：要找到對應邊，每一條邊的旋轉方向、旋轉度數、旋轉中心要相同。

生3：長邊OA、短邊OB都與旋轉中心直接相連，不相連的邊AB的旋轉方向、旋轉度數、旋轉中心也和OA、OB相同嗎？

師：真是個好問題！旋轉圖形中沒有和旋轉中心直接相連的邊是怎么旋轉的呢？大家可以在課后探究這個問題，到初中時大家也會學到。

改進后的教學把教學目標確定為在繪圖過程中理解旋轉運動的特征，特征有：旋轉后的圖形與原圖形全等、對應點到旋轉中心的距離相等、任意一對對應點與旋轉中心連線所成的夾角等于旋轉角度。然而，這些特征在中學數學教材才會概括。因此，此時的教學目標是引導學生研究如何正確繪制圖形，并通過觀察、想象、驗證和思辨等自主探究的過程，讓學生自主感悟這些特征，發展他們的空間觀念，提升他們的學習能力。

（三）溝通建聯，提升認識運動本質的有效性

教學“旋轉的再認識”時，教師通常都是用問題引導學生用抽象的語言來概括說明圖形的運動，如“我們已經認識了軸對稱、平移、旋轉運動，它們之間有什么聯系和區別？”。但是學生較難用語言來概括說明，因為教材沒有給這三種運動下明確的定義。筆者對此進行了改進。

【教學片段】

師：請觀察圖1-1、1-2、1-3，三幅圖中的圖形①可以分別經過什么運動得到圖形②？

生1：圖1-1的圖形①經過平移運動，圖1-2的經過軸對稱運動，圖1-3的經過旋轉運動。

師：這三種運動的相同之處和不同之處是什么？

生2：相同之處是運動前后圖形的形狀和大小都不變。

生3：不同之處是平移前后圖形的方向不發生變化，軸對稱運動和旋轉運動之后圖形的方向發生了變化。

在第三學段，教學的定位是幫助學生感悟運動的本質和關聯。針對這個學段學生的心理特點，可以借助直觀幾何的方法來幫助學生理解三種運動，并且促使他們認識運動的本質和關聯。

總之，教師應該根據不同學段學生的學習特點，以明確的教學目標為基礎，將教學內容和方法有效地銜接起來，以便更好地滿足學生的學習需求；通過操作、觀察、思辨等活動，幫助學生建構知識體系，從初步感知到深入理解，不斷完善學生的認知結構。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 傅瑞琦.基于結構化的“單元—課時”教學設計：以“圖形的變化”單元第4課時“圖形的旋轉”為例[J].教學月刊·中學版（教學參考），2023，（Z2）：37-41.

[2] 徐曉良，黃陳辰.理解本質獲得經驗發展想象：《圖形的運動（三）》第一課時重組思考與實踐[J].小學教學設計，2021（20）：36-39.

（責編 楊偲培）