新課標背景下數學實驗教學的探索與研究

田文迪

［摘? 要］ 數學實驗能有效啟發學生的思維，讓學生通過“做中學”不斷積累經驗，提升學習能力與創新意識. 研究者主要從實物驗證型實驗、模擬思考型實驗與探索發現型實驗著手展開分析，并分別從如下三方面談一些思考：實驗目標注重科學性，內容選擇具有實效性，實驗方法具有探索性.

［關鍵詞］ 實驗；教學；新課標

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下稱“新課標”）提出：想要讓學生從真正意義上理解并掌握數學知識，最好的方式就是將知識與學生的生活經驗以及其他學科知識關聯，如實驗操作活動的開展，可讓學生通過自主操作、觀察、分析，抽象出相應的知識. 數學實驗是指手腦協作學習的過程，一般會用到一些輔助工具，如剪刀、模型、測量工具等，學生通過實驗探索提升解題能力，發展創新意識.實踐證明，數學實驗不僅能深化學生對知識與技能的理解，還能讓學生發現與提出問題，為發展問題意識創造條件，這也是創新思維形成的依據.

實驗設計的基本方法

實驗設計是指為了讓學生自主檢驗某種猜想或結論的正確性，規劃實驗的過程. 究竟該如何設計數學實驗呢？考慮到數學是思維的體操，因此在設計數學實驗時，就應以思維的發展作為首要目標，即在突出學生思維參與度的基礎上，借助相應的科學方法引發學生的探索，為發展數學思維做好鋪墊. 學生在實驗過程中產生猜想，而后驗證猜想，從而獲得有待于嚴謹論證的命題或解題思路. 常見的實驗方法有如下幾種：

（一）實物驗證型實驗

實物驗證型實驗是指基于實物的直觀特征進行驗證性的實驗，此類實驗是幫助學生驗證已得結論或猜想正確與否的重要方式，一般遵循“提出問題—動手操作—觀察分析—結論驗證”四個環節. 學習過程中出現思維障礙在所難免，這些障礙主要緣自對實物的觀察. 教師將這些障礙設置成問題，則能引發學生的思考，而解決問題的主要措施為科學猜想與合情推理. 實物驗證型實驗是驗證猜想和判斷正確與否的基本方法. 它可讓一些數學現象直觀呈現在學生面前，讓學生從中感知結論的正確性，從而構建完整的認知體系，形成良好的數學思維.

觀察是思維的起點，也是形成感性認識的源頭，任何知識的形成都從觀察開始. 觀察數學現象可獲得直觀的感性材料，學習者通過對這些材料的抽象概括與推理等，可對所觀察的事物從感性認識逐漸上升到理性認識. 鑒于初中階段學生所接觸到的數學知識大部分都有直觀背景，因此借助數學實驗可還原知識的形成背景，讓學生在直觀中抽象并建構新知. 因此，直觀、簡單易操作與思維起點低是實物驗證型實驗的基本特點.

案例1? “多項式乘多項式”的實驗設計

設計目的 引導學生親歷操作、觀察、分析與思考過程，對“多項式乘多項式”形成直觀的感性認識，以幫助學生更好地理解其運算法則.

實驗準備 準備若干張圖1所示的長方形卡紙.

實驗要求 ①四種不同規格的卡紙各取1張，拼成一個大長方形.

②怎樣用式子來描述拼接而成的長方形（見圖2）的面積？寫出結論并交流.

③嘗試用不同的方法來計算拼成的大長方形的面積. 若將圖2視為一個長方形，面積為（a+b）（c+d）；若將圖2視為四個小長方形，總面積則為ac+ad+bc+bd，由此可以發現什么？

④請從運算的角度來推導獲得的結論.

⑤通過獲得的結論來計算式子（a+b）（c+2d），而后拼圖驗證計算結果是否正確.

拼圖操作的實驗，簡便、直觀，學生容易上手. 一個小小的實驗就將抽象的多項式與多項式相乘的運算法則直觀地展示在學生面前，這是促使學生從感性認識轉化到理性認識的過程. 驗證過程直接呈現在學生面前，讓學生對所獲得的結論有著深刻印象，為新知建構夯實了基礎. 由此可見，實物驗證型實驗完美地詮釋了歸納總結與演繹的過程，強化了學生的學習經驗，增強了學生對數學知識的體驗與感悟.

（二）模擬思考型實驗

模擬思考型實驗是指通過對情境的模擬，讓學生基于情境背景展現真實的心理狀態與行為反應，并對結果進行探究的過程. 有些數學知識的探究，純粹憑借觀察無法獲得結論，模擬思考型實驗則能人為地控制研究對象，讓學生模仿實驗的一些條件進行操作，發展思維，為知識的建構夯實基礎.

新課標認為新課改背景下的數學教學設計可借助先進的信息技術手段整合教學內容，通過對實物模型的模擬，開發學生智力，發展學生思維，提高教學實效. 教學過程中，若遇到一些動態且難以想象的問題，教師可帶領學生借助計算機模擬真實情境，呈現實物模型，促使學生從中開闊思維，進而順利解決問題.

案例2? “有理數的加法”的教學

有理數是學生到初中階段最開始接觸的內容，是數的擴充，對于學生而言確實偏抽象. 為了讓學生從根本上掌握有理數加法的運算法則，筆者在課堂中設計了如下教學過程：

問題 已知A、B兩個球隊進行足球比賽，A隊位于主場時，以4 ∶ 1贏3個球獲勝；位于客場時，以1 ∶ 3輸了2個球，將兩場比賽累計起來計算，A隊凈勝1個球. 若A隊于主場以1 ∶ 3輸2個球，于客場以4 ∶ 1贏3個球，兩場比賽累計A隊凈勝1個球. 請用算式表示以上兩種數量關系.

學生初次看到本題，感到無從下手. 為了有效啟發學生的思維，讓學生從模擬實驗中感知數據的變化情況，筆者設計了如下實驗操作：

實驗1 將筆尖置于數軸的原點位置，先沿著數軸的正方向移動3個單位，再往反（負）方向移動2個單位，觀察此時筆尖所處的位置是什么？畫圖并用算式表示.

實驗2 將筆尖置于數軸的原點位置，沿著數軸的負方向移動2個單位，而后再向正方向移動3個單位，觀察此時筆尖所處的位置，并畫圖用算式表示.

該實驗根據問題改編而來，應用數形結合的方式引導學生通過筆尖的移動來感知問題所表達的本質，體會點的運動方向所代表的實際意義，以及移動的距離對結論會產生怎樣的影響，從而感悟有理數加法的運算法則.

實際上，有些問題被數學客觀條件所制約，導致問題的動態性、客觀性難以通過想象刻畫出來. 借助實物模型或計算機，則能創設一個良好的實驗環境，讓學生在特定的環境中親歷動手操作，直觀感知數學事物的客觀現象，并且靈活判斷、描述、預測這些現象，積累活動經驗，為解決問題服務.

（三）探索發現型實驗

探索發現型實驗是指從事某項開創性的研究工作時，為未知事物的現象、規律、性質所創設的實踐活動. 這種實驗是數學教學的重要組成部分，對幫助學生建構新知，掌握知識本質具有重要意義. 同時，這種實驗方法還能有效促進學生的觀察與思維能力的發展，對提升數學探索精神具有重要價值.

數學中存在很多問題需要學生自主分析與計算，學生可從探究發現型實驗中發現數學事物間存在的規律，提出自己的猜想，并加以驗證. 因此，結合學生的實際認知水平設計恰如其分的實驗活動，不僅能幫助學生提煉從特殊到一般的數學思想方法，還能帶領學生通過實驗感知數學模型思想.

案例3? 用正方形紙板制作無蓋的長方體紙盒使得容積最大

探究問題 如圖3，是不是剪下的小正方形的邊長x越大，最終形成的無蓋長方體的紙盒容積就越大？

實驗設計

（1）寫出最終所形成的長方體紙盒的容積與剪掉的小正方形邊長x的關系式.

（2）用邊長a為20厘米的正方形硬紙板制作無蓋長方體紙盒，若剪下的小正方形的邊長x分別取1～9（厘米）時，請求出最終制作而成的紙盒容積. 分析取不同的值時，容積的變化規律.

（3）嘗試用邊長a為20厘米的正方形紙板制作出容積盡可能大的長方體無蓋紙盒. 分析是不是剪下的小正方形邊長越大，最終制作而成的長方體紙盒的容積就越大？

（4）探索剪下的小正方形邊長為多少時，最終制作而成的長方體紙盒的容積最大？說說你的猜想.

（5）嘗試借助計算機進行實驗操作，驗證猜想.

教師知道剪下小正方形的邊長為n/6時，所制作的長方體紙盒有最大容積. 但初中階段的學生確實難以發現這個數據，更談不上理解了. 因此，通過剪紙、折疊實驗的設計，可讓學生通過對不同數據的觀察、度量與計算，發現其中的奧秘，最終發現問題的本質.

此過程中，探究發現型實驗設計讓學生不僅親歷了知識的形成過程，還從真正意義上理解了概念本質. 借助實驗來探索未知，揭露數學規律是發展數學抽象思想的根本. 這樣的過程也是開闊學生視野，彰顯數學魅力的過程.

數學實驗設計的思考

（一）實驗目標注重科學性

數學實驗教學的核心目標在于發展學生的數學核心素養，這是體現課堂基本理念的表現. 我們在設計實驗時，需注重科學性原則，避免出現將數學實驗等同于物理、化學實驗的情況，更不可讓實驗過程成為優等生的專場，而應結合所有學生的認知水平與思維狀況，設計合理的目標.

從學生的認知發展規律來看，數學直觀是指在一定事物的作用下，學生在頭腦中對教學內容產生感性認識的過程. 雖說直觀是促使感性認識產生的基礎，但它也是思維的出發點，是將感性上升到理性的開端. 實驗設計的本意就是要帶領學生從直觀中發現問題的本質，揭露其中的規律，發展思維. 也就是通過實驗可以獲得什么？如何獲得？怎樣驗證等.

基于實驗目標來分析，數學實驗需著重關注學生的個體差異與思維發展情況. 數學實驗不僅有外顯的操作活動，還有思維層面的活動. 實驗過程可通過幾何體模型或計算機等工具，揭露知識本質與規律，學生從中獲得的是成果的鑒定與價值的評估，因此這是一種發現，是創新，也是成果. 但每個學生的思維水平受家庭、教育等綜合因素的影響，有著顯著的差異，那么數學實驗就要關注每個學生的具體情況，將新課標所倡導的“讓每個學生都能在數學學習中獲得不同程度的發展”落到實處. 因此，數學實驗需秉承多元價值標準，而非統一的要求.

（二）內容選擇具有實效性

有些教師在數學實驗中，只關注學生的活動情況與實驗本身，卻忽略了實驗的“數學化”過程，導致無法順利揭露數學知識本質或數學思想，那么這種設計充其量只是一種“注入式”模式，與如今的新課標要求背道而馳. 甚至有些教師為了“實驗”而“實驗”，不管什么教學內容都要帶領學生動手折疊、剪拼等，其實這是對數學實驗的片面理解，并不能讓數學實驗起到該有的作用. 真正意義上的數學實驗是關注教學“實效性”的實驗，具有“數學化”的過程.

弗賴登塔爾提出：概念教學并不一定要按照其發展順序不加刪除地教，而應引導學生主動去發現. 課堂教學面對的是全體學生，并不是所有內容都適合用實驗法去探究，有些通過自主閱讀就能掌握的知識，就不需要耗費時間去做實驗. 根據教學實際需求合理安排實驗內容，展開實驗活動是提高教學效率的根本.

（三）實驗方法具有探索性

數學是一門嚴謹的學科，任何知識的建構都離不開精確的探索與研究. 數學實驗的開展是為了揭露知識本質，那么除了目標的科學性與內容的實效性，實驗方法也必須恰當. 不論哪種實驗方法，都需具有一定的探索價值. 實驗是聯系理論與實踐的橋梁，是驗證或推翻猜想的紐帶，是發現新知，實現創造的基礎. 學生通過數學實驗可發現知識本質與數學規律，因此具有探究意義的探究方法是推進數學學科發展的原動力.

總之，數學實驗的設計會隨著研究的變化而變化，教師應充分了解學情與知識的發生發展情況，有目的地加工已有的素材，挖掘出合適的實驗成分，催生學生的思維，讓每個學生都能在實驗中獲得不同程度的發展.