從同課異構(gòu)談高中數(shù)學(xué)課堂引入的有效策略

李鴻艷

摘? 要：同課異構(gòu)是指兩位或多位教師選用同一教學(xué)內(nèi)容，根據(jù)實際的教學(xué)條件和教師自身特點進行不同的教學(xué)設(shè)計。同課異構(gòu)要求教師精心研究教材，潛心鉆研教法和學(xué)法，以便為集體研討提供良好的研究平臺，它是教師提高教學(xué)水平和教學(xué)能力的一條有效途徑。文章針對普通高中課程標準實驗教科書（人教版）數(shù)學(xué)必修四第三章第一課時“兩角差的余弦公式”，結(jié)合兩位教師的課堂引入實例、觀測與調(diào)查數(shù)據(jù)，分析了有效引入的構(gòu)成特征及意義。

關(guān)鍵詞：同課異構(gòu);教學(xué)內(nèi)容;學(xué)習(xí)興趣

一、案例呈現(xiàn)

（一）教師A的引入實錄

教師用PPT展示問題：“學(xué)校行知館對面的小山上有一個涼亭。為了測量涼亭的高度，高二某學(xué)習(xí)小組在地平面A處測得AC兩點間的距離為26m，從A處觀測涼亭底端的仰角為60°，頂端的仰角為75°，求這座涼亭的高度。”

教師：“同學(xué)們，這是一個實際問題，求解實際問題時，一般先建立數(shù)學(xué)模型，你能根據(jù)題意畫出圖形嗎？請小組進行討論（學(xué)生熱烈討論，教師巡視）。”

近2分鐘后，教師展示了兩份學(xué)生畫出的圖形，給予肯定，同時指出問題，然后在投影上顯示自己畫出的圖形，引導(dǎo)學(xué)生解析問題：

在RT△ABC中，

∵ sin∠CAB=sin60°=，cos∠CAB=cos60°=，

∴ AB=ACcos60°=26×=13，

BC=ACsin60°=26×=13。

在RT△ABD中，BD=ABtan75°=13tan75°，

于是CD=BD-BC=13tan75°-13。

教師：“怎么求tan75°呢？tan75°=tan（30°+45°），那么tan（30°+45°）又該怎么求呢？它等于tan30°+tan45°嗎？本節(jié)課大家就來研究如何用α，β的三角函數(shù)值表示出α+β或α-β的三角函數(shù)值。首先大家一起探究如何用α，β的正弦、余弦值來表示cos（α-β）的三角函數(shù)值（引入課題：3.1.1兩角差的余弦公式）。”

（二）教師B的引入實錄

教師：“同學(xué)們，請看下面三個問題（投影顯示）。1. 若α=30°，β=30°，則cosα=___，cosβ=___，cosα+cosβ=___，cos（α+β）=___。2. 若α=60°，β=-60°，則cosα=___，cosβ=___，cosα+cosβ=___，cos（α+β）=___。3. cos（α+β）=cosα+cosβ成立嗎？”

學(xué)生分別回答上述三個問題。

教師：“4. 若α=30°，β=45°，則如何求解cos（α+β）呢？本節(jié)課大家就一起探究如何用α，β的三角函數(shù)值來求解cos（α-β）的值（引入課題：3.1.1兩角差的余弦公式）。”

二、課堂情況統(tǒng)計

本文對兩位教師的課堂表象做了一些統(tǒng)計：從課堂講授的時間分配來看，在內(nèi)容引入上，教師A用時12分鐘左右，教師B用時1分鐘左右;在公式推導(dǎo)上，教師A用時13分鐘左右，教師B用時15分鐘左右;在例題講解、知識鞏固和分組探究方面，教師A用時約8分鐘，教師B用時約23分鐘。很明顯，教師B有效整合了教材內(nèi)容，把時間重點安排到知識的重難點上，如公式推導(dǎo)、練習(xí)鞏固以及學(xué)生的小組合作探究上。

根據(jù)不同時段統(tǒng)計的學(xué)生情緒反應(yīng)曲線圖來看，A班學(xué)生的情緒落差較大，呈現(xiàn)出先高后低并逐步下降的態(tài)勢;而B班學(xué)生，雖前期表現(xiàn)平淡，但隨著教學(xué)內(nèi)容的推進與深入，情緒不斷高漲，班級教學(xué)氛圍逐步活躍，尤其是在練習(xí)鞏固學(xué)生演板、師生點評和學(xué)生小組合作探究的階段，學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情提高。很明顯，教師B的教學(xué)，把教育心理學(xué)中的“注意力曲線”理論運用得恰到好處，依據(jù)學(xué)生在課堂上的情緒狀態(tài)和需求制訂了更加有效的教學(xué)策略，用多樣化的教學(xué)方法等手段吸引了學(xué)生的注意力，使學(xué)生保持了對課程的興趣和參與度，從而有效提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的效果和滿意度。教師上課結(jié)束后，本文對學(xué)生做了一個簡單的問卷調(diào)查。當問到“你知道兩角差的余弦公式的實際用途嗎”，A班有79%的學(xué)生知道，不清楚的有14%;B班卻有39%的學(xué)生知道，不清楚的有17%，這也與B班教師在這一節(jié)課中重視知識解決習(xí)題而沒有解決實際問題有關(guān)。當問到“你對教師的引入方式滿意嗎”，A班有63%的學(xué)生回答滿意，B班有84%的學(xué)生回答滿意。

三、高中數(shù)學(xué)課堂有效引入的思考

（一）有效引入必須能引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望

從學(xué)生課堂反映曲線圖可以看出：在課堂引入的初始階段，因為教師A提出的問題源于學(xué)生熟知的景物，需要求解的問題是學(xué)生熟知的對象，這容易拉近問題與學(xué)生的距離，所以能迅速調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。而教師B設(shè)置的問題1和2中，使用的是相對枯燥的數(shù)據(jù)計算，學(xué)生心目中多多少少會有一點厭煩的感覺，因此會對教師提出的問題有排斥感，缺乏解決問題的積極性。不過問題3又勾起學(xué)生的疑惑，因此學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣又有所增強。

心理學(xué)對人的注意規(guī)律研究表明：人在注意力集中的情況下，能更清晰、完整、迅速地認識事物和理解事物，因此教師的有效引入，不僅能“未成曲調(diào)先有情”，集中學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的興趣，激起學(xué)生的求知欲，而且能有效消除學(xué)生在其他課程中的延續(xù)思維，使學(xué)生快速進入新課學(xué)習(xí)的最佳狀態(tài)，從而提高課堂教學(xué)效率，取得事半功倍的教學(xué)效果。

例如，一位教師在講線性規(guī)劃時，恰逢該班要進行義賣活動，所以教師順勢而為：“我們將要進行的義賣活動，班級總共提供了不超過300元的活動經(jīng)費。現(xiàn)有兩種購買方案，第一種是購買5元的學(xué)習(xí)用具，義賣時每件可得利潤1元;第二種是購買3元的玩具，義賣時每件可得利潤0.7元，現(xiàn)在讓你來采購，你認為怎么購買賺取的利潤最大？”這樣，學(xué)生的注意力一下子被吸引過來，以決策者的身份進入求知狀態(tài)，紛紛發(fā)表見解。教師順利引入簡單的線性規(guī)劃問題。

（二）有效引入必須能為即將學(xué)習(xí)的新知做好鋪墊

好的導(dǎo)入能為全節(jié)課的順利進行奠定良好基礎(chǔ)，使教學(xué)內(nèi)容進一步展開，產(chǎn)生良好、積極的“連鎖反應(yīng)”。

兩位教師在引入問題之后，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣發(fā)生了逆轉(zhuǎn)。教師A的問題雖然切合實際，但計算過程較麻煩、難度較大，因此學(xué)生學(xué)習(xí)興趣下降。而且學(xué)生花費了近10分鐘還不知道教師到底要他們用引入來解決什么問題，無形中增加了迷茫感，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)興趣下降的一個因素。多種因素的疊加，致使學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣逐步下降。而教師B的引入雖然簡單枯燥，但通過問題3的設(shè)置，迅速調(diào)動了學(xué)生解決問題的動力，所以學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性逐漸得到提高。還有一個需要注意的問題是，教師A引入問題的結(jié)果化歸到求解“tan75°=tan（30°+45°）”上去了，與本節(jié)課“用α，β的正弦、余弦值來表示cos（α-β）的三角函數(shù)值”的主題相悖，從而導(dǎo)致學(xué)生分散了學(xué)習(xí)的注意力。

再如，一位教師在講“等比數(shù)列”時，這樣來引入：“很久以前，有位學(xué)者發(fā)明了國際象棋，國王非常高興，決定獎勵這位發(fā)明者，問他有什么要求，發(fā)明者說他什么也不要，只需要國王在棋盤上的64格中的第1格放入1粒麥粒，第2格放入2粒麥粒，第3格放入4粒麥粒，第4格放入8粒麥粒。依此類推，每一個格子放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到放完64個格子為止。國王一聽，認為太簡單了，就立即答應(yīng)了，但是放著放著，國王就發(fā)現(xiàn)，集全國之力量也滿足不了發(fā)明者的要求，你們知道是為什么嗎？”于是，學(xué)生進行了熱烈的討論與計算：1+2+4+8+…+263=？

這位教師的引入以小故事為切入點，具有趣味性，激起了學(xué)生的好奇心，形式很好。然而，本節(jié)課的任務(wù)是讓學(xué)生認識等比數(shù)列，初步建立起對等比數(shù)列的定義、公比以及通項公式知識的認識。這位教師的引入把學(xué)生引到了等比數(shù)列的求和上，與本節(jié)課的任務(wù)相向而馳。所以教師即使引入的內(nèi)容再精彩，但是不能緊扣主題，仍然是無效引入。因此教師在引入時，必須緊緊圍繞本節(jié)課的主題，切莫為了形式而使用“拿來主義”。

（三）有效引入的前提是教師提出的問題易解決、易理解

案例背景中，教師A提出的問題結(jié)合了實際，因此學(xué)生先期表現(xiàn)出有興趣、有激情，但是在隨后的計算過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的計算麻煩、難度較大，因此學(xué)習(xí)激情直線下降。即使教師再設(shè)法引導(dǎo)，學(xué)生也很難有開始的狀態(tài)。而教師B設(shè)置的問題1和2因枯燥，學(xué)生比較不感興趣，不過問題比較簡單，因此學(xué)生能很順利地解答;當問題3顯示后，則馬上勾起了學(xué)生的探求欲望，從而使課題的引入順理成章，學(xué)生的激情逐步激發(fā)。所以教師在設(shè)置引入的問題時，一定要易理解、易解決。

（四）有效引入應(yīng)力求短小精悍，切莫用時過長

一般而言，正常的課堂導(dǎo)入時間應(yīng)控制在5分鐘以內(nèi)。導(dǎo)入時間過長，會顯得喧賓奪主，不僅會使課堂導(dǎo)入顯得庸俗繁雜，而且會影響整節(jié)課的教學(xué)進程。如果導(dǎo)入的時間過短，又可能會使課堂導(dǎo)入顯得蒼白無力，達不到預(yù)期教學(xué)的目的和效果。

再看導(dǎo)入時間分配，教師A的引入時間約為12分鐘，而真正用作應(yīng)用、熟悉、鞏固兩角差的余弦公式的學(xué)生練習(xí)時間，僅為8分鐘左右。對比教師A，教師B的課堂引入簡練，直奔主題，所以學(xué)生的練習(xí)時間有23分鐘之多，這足可以解決很多學(xué)生對知識疑惑。所以哪個教師的課堂高效就一目了然。

從所做的調(diào)查問卷也可以看出，教師A冗長的引入引起了大多數(shù)學(xué)生的不滿意，而這種不滿意的心情勢必會滲入后續(xù)的課堂教學(xué)中——學(xué)生對兩角差的余弦公式的推導(dǎo)興趣索然，比較不配合教師對知識的講解、公式的推導(dǎo)，導(dǎo)致教師A對公式的推導(dǎo)用時比教師B多了2分鐘。因此教師在設(shè)計課堂引入時，要時刻提醒自己：課堂引入方式的目的，是為了讓學(xué)生快速集中注意力，激起他們強烈的求知欲，絕不是為了“作秀”。

（五）有效引入必須建立在學(xué)生的認知基礎(chǔ)之上

一節(jié)高效引入的課堂，不僅要有趣，還要有效，而有效的引入必須建立在學(xué)生的認知基礎(chǔ)之上。在科組后來的研討中，教師就“為什么教師A有趣、有意義的背景卻沒有起到應(yīng)有的效果？”進行了熱烈討論。很明顯，問題就出現(xiàn)在教師所給出的引入上。

問題1：仰角的概念很多學(xué)生還不知道，而教師又沒有給出明確解釋。

問題2：根據(jù)實際問題建模，這是一個難點，作為本節(jié)課的引入環(huán)節(jié)不合適，增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的困難度。

問題3：分別在RT△ABC和RT△ABD中求解相關(guān)數(shù)據(jù)，也增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的困難度。

當多個困難點疊加時，學(xué)生對新知探求的興趣就會直線下降。

而教師B設(shè)置的三個問題中，問題1和2利用了剛剛學(xué)習(xí)的特殊角的三角函數(shù)值，學(xué)生還有比較深的印象，所以即使教師A設(shè)置的問題沒有讓學(xué)生更感興趣，但這種建立在學(xué)生認知基礎(chǔ)之上的問題，能夠讓學(xué)生輕松進入下一個學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)。美國著名的心理學(xué)家奧蘇貝爾在其著作《教育心理學(xué)》中的扉頁上寫道：“如果我不得不將教育心理學(xué)還原為一條原理的話，我將會說，影響學(xué)習(xí)的最重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，根據(jù)學(xué)生的原有知識狀況進行教學(xué)。”所以，有效課堂引入必須符合學(xué)生的認知基礎(chǔ)。

（六）有效引入必須結(jié)合學(xué)情

教師A的引入是課本舉例的變形。課本的引入是：“某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上，小山高BC約為30m，在地平面上有一點A，測得A、C兩點間的距離約為67m，從點A觀測電視發(fā)射塔的視角（∠CAD）約為45°，求這座電視發(fā)射塔的高度。”教師A將書上離學(xué)生生活實際較遠的例子改變?yōu)閷W(xué)生熟知的事物，拉近了數(shù)學(xué)與學(xué)生之間的距離，因此學(xué)生的反應(yīng)非常熱烈。遺憾的是，問題設(shè)計超越了學(xué)生的知識范疇，再加上所求的結(jié)果為tan（α-β），與本節(jié)課的主題有所偏離，所以影響了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。在評課時，建議相關(guān)人員對教師A的引入進行如下改進：“學(xué)校行知館對面的小山上有一個涼亭。已知涼亭高5m，為了測量涼亭頂部的水平高度，我校高一某學(xué)習(xí)小組在地平面A處測得A、C兩點間的距離為30m，從涼亭上觀測AC與鉛垂線的夾角為15°，你能求出這座涼亭的水平高度嗎？”

改進后的問題變得比較簡單，利用三角函數(shù)的定義求解BC即可。當學(xué)生得到BC=AC·cos15°時，教師就可以提出“cos15°怎么求？cos15°=cos（45°-30°）或者cos（60°-45°），它等于cos45°-cos30°嗎？”進而引入本節(jié)課的主題。這樣學(xué)生易理解，引入順暢，用時較短，而且提出的問題又與課文中的例1相同，實現(xiàn)高效課堂。

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（責(zé)任編輯：廖? 藝）