基于建構主義學習理論、指向應用意識培養的數學史融入初中課堂的教學探討

賀鑫 梁海華

【摘? 要】? 應用意識是義務教育數學新課標所提出的核心素養之一.以相似三角形為例，探討基于建構主義學習理論的數學史融入應用課的教學方法.通過創設數學情境，設計探究活動等手段，引導學生經歷觀察分析、自主探索、合作交流、猜想計算等過程，自主建立相似三角形的數學模型，達到促進學生把握數學本質、自主構建知識、培養應用意識的目的.

【關鍵詞】? 數學史；建構主義學習理論；應用意識；相似三角形

《義務教育數學課程標準（2022年版）》將培養應用意識作為課程目標之一，強調需有意識地利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象與規律，解決現實世界中的問題［1］.數學史具有深厚的文化底蘊，記錄了數學在不同歷史時期和文化中的應用和發展.它不僅僅是關于數學知識的歷史，還反映了數學家在解決問題時的思維方式和思想方法，幫助人們了解在古代和近現代社會中，數學家們如何解決現實世界中的各種問題，從而激發學生的應用意識.通過數學史融入教學，了解數學家們如何思考問題、建立模型、提出假設和驗證從而解決問題，一方面能使學生更好地理解如何將數學方法應用于實際問題，另一方面通過建立數學與現實生活、與其他學科的聯系，有助于培養學生養成理論聯系實際的習慣，發展實踐應用能力.國內許多數學教育研究工作者在這方面開展了一系列的探索，取得了豐富的研究成果，參見文［2-4］等文獻.建構主義學習理論的核心理念是引導學生主動構建自身的知識體系，它與數學史融入數學的教學以幫助學生自發構建和形成數學概念、定理有著相融相促的作用.但據筆者所知，目前國內外結合建構主義學習理論來開展數學史融入幾何課堂教學的研究工作并不多見.因此，本文將以建構主義學習理論為指導，選取人教版九年級下冊“相似三角形的應用舉例”一課，從應用課出發，以學生生活經驗為背景，融入數學史展開教學，讓學生在感悟數學知識抽象和發展的過程中，構建模型觀念，培養應用意識.

1? 建構主義學習理論

由瑞士著名心理學家皮亞杰和美國教育家布魯納等人提出的建構主義學習理論，認為學生本身具備主動學習和處理信息的能力，教育者的任務是提供適當的教育環境和機會，以激發學生的學習興趣并引導學生主動構建自己的知識體系.該理論主要有如下幾個觀點.（1）知識觀

建構主義強調知識的動態性，其提出知識并不是問題的最終答案，是在人類進步的過程中，不斷改正并出現的新的假設和解釋.在建構主義學習理論的知識觀中認為知識需要針對具體情境再創造，學習者會基于自己的經驗背景進行理解并建構屬于自己的知識.

（2）學習觀

建構主義在學習觀上強調學習的主動建構性、社會互動性和情境性三方面.建構主義學習理論認為知識是不可能脫離活動情境而孤立存在的，學習是在一定的社會文化情境下，通過人際間的協作活動而實現的意義建構過程，因此“情境”“協作”“會話”“意義建構”是學習環境中的四大要素或四大屬性［5］.（3）學生觀

建構主義學習理論強調關注學習者本身已有的知識經驗結構，認為學習者應該處于主體地位，在學習新信息、解決新問題時都需建立在已有的知識經驗上.因此，在實際教學中，教師需將新知識建立在學生已有的知識經驗上，引導學生生長出新的知識經驗，完善認知結構.（4）教師觀

建構主義認為教師是學生知識建構過程的幫助者、引導者、合作者.教學不是教師簡單的轉移和傳遞知識，而是教師在師生共同的活動中，為學生理解提供階梯，幫助學生形成分析、解決問題的思路，創造良好的、富有挑戰性的學習情境，引導學生“正確構建”“高效構建”.

建構主義學習理論強調教學是在學習者本身的內在知識結構上，幫助他們將外部的客觀事物內化成其內在的知識結構.其指出學習者應處于主體地位，即教學是促使學習者成為主動、積極的知識建構者，逐漸建構自身的知識結構［6］.因此，教師應在教學中創造符合學生知識經驗的課堂情境，讓學生自主建構知識體系.而數學史知識的融入能幫助教師根據歷史情境及數學家的思想方法更好地建立課堂情境，提升學生學習數學、解決問題的內驅力.

2? 教學設計與實施

2.1? 設計理念

根據建構主義的基本觀點，教師需從學生已有的知識經驗出發，設計豐富的情境，開展教學設計和活動.故本節課首先通過復習相似三角形的判定定理與性質，為學生解決問題提供知識基礎.再設置3個歷史情境，激發學生的主觀能動性.情境1：結合教材上泰勒斯測金字塔高度問題，豐富其歷史背景引導學生分析探究；情境2：以教材所呈現的測河流寬度問題為基礎，結合歷史故事設計問題，進行重構；情境3：以《九章算術》中的勾股容方內容創建問題情境.通過情境問題的提出、探究過程，促使學生理解和掌握基礎知識和基本技能，培養深度探究的思想與能力，提煉建立相似三角形模型的核心方法，促使學生逐步形成核心素養.

2.2? 教學過程

2.2.1? 復習舊知，奠定基礎

教師提問：判定兩個三角形相似有哪些方法？相似三角形有哪些性質？

出示操作題

操作1：畫一畫，在圖1中任意做△DEF∽△BAC.

操作2：如圖2，在△ABC中，點D、點E分別在邊AB，AC上，請你添加一個條件，使△ABC∽△ADE，并說明理由.

2.2.2? 模型初建，思維發散

情境1? 泰勒斯測金字塔高度

教師播放視頻——神秘的金字塔：介紹泰勒斯及其利用木桿測出金字塔高度的故事.提問：泰勒斯僅利用一根木桿就測出金字塔的高度，他是如何做到的呢？

學生1：太陽是平行光線，照射在金字塔上會形成影子，在某個地方放一個木桿，也會形成影子，同一時刻物體和影子的高度比是一樣的，所以只要測出金字塔的影子長度、木桿高度以及影長，利用相似比就可以求出金字塔的高度.

教師：非常棒，這就是聰明的泰勒斯的做法，借助平行光線與金字塔以及木桿所成的夾角相等，從而構建相似三角形，借助對應邊成比例，即可求出金字塔的高度.隨即播放視頻：完整講解泰勒斯的做法，以多媒體展示求解過程.

解：如圖3，因為太陽光是平行光線，

所以∠ABO=∠EDF.

因為∠AOB=∠DFE=90°，

所以△BAO∽△DEF.

因為相似三角形對應邊成比例，

所以BOFD=OAEF，

所以BO=OA·FDEF=201×23=134m.圖3

教師追問：是否還有其他的模型構建方式？

學生2：將木桿立在金字塔的影子的中間，使得木桿的影子頂端與金字塔的影子頂端重合，也可以構建相似三角形.（學生上臺畫圖展示，如圖4）

教師：非常好，其實我們這兩種方法的原理都是通過太陽光線構建相似三角形模型，通過對應邊成比例求未知邊的長，只是構建方法不一樣.

2.2.3? 改變模型，解決問題

情境2? 拿破侖測河寬

教師：拿破侖·波拿巴（1769—1821），19世紀法國偉大的軍事家、政治家，法蘭西第一帝國的締造者.1805年，法國拿破侖與德軍在萊茵河畔激戰，如圖5所示，拿破侖位于萊茵河南岸A處，德軍在萊茵河北岸B處，因不知道河寬，法軍大炮很難瞄準敵兵營.假設AB垂直于河流，你能利用相似三角形的相關知識幫助拿破侖解決問題嗎？

學生3：連接AB，交河流邊界于點D，從點A作合適長度的線段AC平行于河流邊界，再連接BC，交河流邊界于點E，可以得出△BDE∽△BAC，只要測出AC，AD，DE的長度就可以求出AB的長度了.（上臺展示畫圖，如圖6所示）

教師：很好，大家已經可以從依據已有的外部條件構造相似三角形提升到自己創造條件來構造相似三角形解決問題了.若DA=45m，AC=90m，DE=60m，請你根據這些數據計算AB間的距離.

學生4：

解：因為DE∥AC，

所以△BDE∽△BAC，

所以BDBA=DEAC，

即BA-ADBA=DEAC，BA-45BA=6090，

BA×60=（BA-45）×90，

解得BA=135.

因此，BA間的距離為135m.

2.2.4? 形式多變，變式探究

情境3? 勾股容方問題

教師提問：漢代數學名著《九章算術》勾股章中設題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何.”答曰三步十七分步之九.術曰：“并勾、股為法，勾股相乘為實，實如法而一，得方一步．”你知道這是怎么求出來的嗎？請同學們畫出圖象，嘗試解決［7］.

分析問題：現有一直角三角形，勾（短直角邊）長為5，股（長直角邊）長為12，問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少？

教師提問：如果在Rt△ABC中要做一個最大的正方形，你有幾種做法？學生小組討論，合作探究，展示兩種不同做法，計算正方形邊長，進行對比.

學生5：以兩條直角邊做正方形的邊長，可作出圖7所示的正方形DBFE，利用△ADE與△ABC相似即可求出正方形邊長.（上臺板演證明過程）

解：因為∠A=∠A，∠ADE=∠B，圖7

所以△ADE∽△ABC，

所以ADAB=DEBC.

設BD=DE=x，則AD=12-x，

所以12-x12=x5，

所以x=6017.

學生6：也可以以斜邊中的一部分為正方形的邊長.（用數學語言板書證明過程如下，如圖8）

解：由題意與圖形可知圖8

△GBK∽△KOC∽△ABC，

所以GKAC=BKBC，OKAB=CKAC.

設GK=OK=x，

所以x13=BK5，x12=CK13，

所以BK=5x13，CK=13x12，

而BK+CK=BC=5，

所以5x13+13x12=5，

所以x=780229.

教師總結：通過計算可知6017＞780229，所以方法1的面積更大.現在同學們已經能夠針對問題構建不同的相似三角形模型來解決問題了，這是非常大的進步.

2.2.5? 總結要點，結構形成

教師：同學們，在剛剛的三個情境問題中，我們都是通過構建相似三角形來解決問題的，那能否總結相似三角形模型構建的步驟和要點呢？

師生共同梳理：

①梳理題意，將實際問題轉化為數學問題，構建數學模型.

②尋找模型中能夠證明三角形相似的條件，列出相似比求解.

③圖形與幾何的計算問題，需要先經過證明，再進行計算.

④將解決的數學問題還原為實際問題，還原中注意反思模型實踐時可能存在的問題與解決辦法［8］.

2.2.6? 應用練習，加深理解

①測學校旗桿高度.

②測學校后方河流寬度.

3? 結論與啟示

著名數學家克萊因指出：“數學史是教學的指南.”本文以數學史為主線，以建構主義理論為指導，創設相關情境問題，引領學生站在前人的肩膀上，在生活中、在自然中發現數學，培養應用意識.筆者認為，在實施基于建構主義學習理論下的數學史融入中學課堂教學時，采用以下三個策略，將會收到良好的效果.

3.1? 立足教材，挖掘歷史背景創設情境

教材為學生的數學學習活動提供了主題、基本線索和知識結構，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源.在教學中我們應深度解讀教材，挖掘數學知識現實背景.隨著新課改的逐漸推進，教材中不斷融入更豐富的實際生活情境，更為生動地呈現數學知識，旨在突顯數學知識的實際應用性，激發學生對數學應用的深刻認識，進一步體現其實用性與價值.本文以教材內容為基礎，融入數學史，創設簡明生動的生活情境，從現實生活中發現數學問題，把生活與知識聯系起來，并運用知識解決生活中的數學問題，將學生為了“考試”而學習轉變到因為“數學有用”而學習，才是培養應用意識的最終目的.

3.2? 加強數學建模教學，提升應用意識

數學建模是數學與現實聯系的基本途徑，主要指通過建立數學模型來解決實際問題的過程［8］.本節課根據歷史背景來引導學生構建相似三角形模型解決問題，讓學生掌握前人構建的數學模型和其中蘊含的思想方法，使學生能更好地運用相關模型解決數學問題和實際問題.數學建模為學生提供了自主學習的空間，有助于體驗數學在解決實際問題中的價值和作用.在教學中，教師要善于引導學生從生活實際中發現數學知識，更要引導學生將所學知識應用到實際生活中去，形成解決實際問題的有效策略，適應社會發展的需要，強化應用意識.

3.3? 思維碰撞，自主迸發應用意識

數學課堂應是積極思考、思維碰撞的平臺.教師在創造和諧輕松學習氛圍的同時，應充分調動學生的主動性，促使他們積極主動地學習，使創造潛力能夠以最大限度發揮.通過數學史的融入，讓課堂上不止有師生之間、生生之間的思維碰撞，更激發了學生與偉大數學家之間的思維交流，促進學生創造性地解決問題，自主迸發應用意識.

參考文獻

［1］

中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］李明振，龐坤.數學史融入中學數學教材的原則方式與問題［J］.數學通報，2006（03）：23-25.

［3］曾崢，楊豫暉，李學良.數學史融入初中課堂的案例研究［J］.數學教育學報，2019，28（01）：12-18.

［4］汪曉勤.關于HPM課堂教學評價的案例分析［J］.數學通報，2021，60（10）：6.

［5］何克抗.建構主義──革新傳統教學的理論基礎：上［J］.電化教育研究，1997（03）：3-9.

［6］付茁.建構主義學習觀對數學教學的啟示［J］.教學與管理，2007（27）：68-69.

［7］余旭紅.解決相似形問題的思想方法［J］.試題與研究，2018（28）：16-19.

［8］李新菊.HPM視角下滲透數學建模思想的教學設計：以“相似三角形的應用”為例［J］.數學教學通訊，2022（17）：26-28.

作者簡介? 賀鑫（1997—），女，碩士研究生；主要研究數學課程教學論；

梁海華（1979—），男，博士，教授，學校第六屆教學名師;現為中國數學會奇異攝動專委會委員、廣東省工業與應用數學學會常務理事;作為負責人承擔了3項國家項目、3項省部級項目的研究工作，以第一或通訊作者在國內外權威期刊上發表數學學術研究論文40多篇，教學改革研究論文10篇；獲得廣東省自然科學獎二等獎，廣東技術師范大學教學成果獎一等獎.