幾何與函數的碰撞

【摘要】初中數學中函數問題占半壁江山，而在這之中二次函數的許多題型都是中考數學的熱點問題.本文聚焦二次函數與幾何的綜合題型的解題思路，探究二次函數解題的可能性，為之后考查二次函數題目提供新的思考.

【關鍵詞】初中數學；二次函數；解題技巧

中考數學在“函數與方程”領域的考查偏愛二次函數，也是由于二次函數的解題難度綜合性較高.我們通常在面對函數問題時有一套傳統的解題思路，下文將重點描述函數與幾何模型的綜合題解答，為傳統解題思路帶來新的思考與碰撞［1］.

已知：如圖1，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，OA=OC=3，頂點為D.

圖1

1 坐標與線段之間的轉化

題1 若拋物線上存在一點F，作FM⊥x軸，使得AC平分△AFM的面積，求點F的坐標.

問題分析 觀察題目，可以發現AC將△AFM分為兩部分，一部分為直角三角形，另一部分為鈍角三角形，而兩部分三角形的高皆為AM，為使其面積相等，則需要底邊相同.

解析 由OA=OC=3可得點A、C的坐標為A－3，0，C0，－3，

由此可知AC所在直線的函數表達式為y=－x－3，

知道A、C坐標后，代入拋物線表達式，

－32+b·－3+c=0c=－3，

解得b=2c=－3，

得到二次函數為y=x2+2x－3

作FM⊥x軸于點M，交AC于E，如圖2所示.

圖2

因為點F在拋物線上，設F（t，t2+2t－3），M（t，0），

若AC平分△AFM的面積，則需要兩部分三角形底邊相等，即ME=EF，

則點E為MF的中點，坐標為（t，t2+2t－32），

同時點E也在AC上，故坐標也可表示為（t，－t－3），

至此我們得到一個關于t的關系式t2+2t－32=－t－3，

解得t=－1或t=－3（與A點重合，舍去），

故點F的坐標為－1，－4.

2 利用平行四邊形性質解決函數問題

題2 在拋物線對稱軸上有一點K，在拋物線上有一點L，若以A、B、K、L為頂點的四邊形是平行四邊形，求K、L的坐標.

問題分析 閱讀題目，只能知道題中條件四點構成了平行四邊形，而具體形狀卻未知.在四點中有明確的兩點A、B構成的線段AB長度已知，求解時可以此為突破口，思考所在的位置與K、L的關系.此時的解題過程中就要分情況討論.在K、L的坐標中因為點K在拋物線對稱軸上，所以我們可以設點K的坐標嘗試解題［2］.

解析 由二次函數y=x2+2x－3可知對稱軸為x=－1.

故設K點坐標為－1，m，

由A－3，0，B1，0可得AB=4.

（1）若平行四邊形以AB為邊，則KL∥AB且KL=AB，如圖3所示.

圖3

若想K、L兩點構成的線段與AB平行，則他們的縱坐標必須相同，即yK=yL.

由于K、L位置不明，故分情況討論.

①若點K在點L左側，則K點坐標比L點小，即xL－xK=4，

xK=－1，得xL=－1+4=3.

又因為點L在拋物線上，故將點L的橫坐標代入二次函數中，得到yL=12，則m=12，

所以K－1，12，L3，12.

②若點K在點L右側，則K點坐標比L點大，即xK－xL=4，

xK=－1，得xL=－1－4=－5.

又因為點L在拋物線上，故將點L的橫坐標代入二次函數中，得到yL=12，則m=12，

所以K－1，12，L－5，12.

（2）若平行四邊形以AB為對角線，

平行四邊形的對角線交點為線段AB的中點，在這種情況中，我們可以此為關鍵點突破.如圖4所示.

AB的中點即為拋物線的對稱軸與x軸的交點，即－1，0，

故KL的中點也是－1，0.

圖4

此時題中還有一個條件是關于K、L兩點位置，可以發現兩點均在對稱軸上，且因為點L在拋物線上，故點L即為拋物線頂點D，坐標為－1，－4，點K坐標為－1，4.

3 結語

初中數學函數與幾何并不是具有涇渭分明的界限，它們也有著函數與幾何的綜合應用.解題時不要拘泥于單純的一種解法，而應從全局出發，嘗試不同的解題思路，突破傳統框架，將幾何與函數結合解題，有時能起到意想不到的效果，碰撞出不一樣的火花［3］.

參考文獻：

［1］黃永慧.巧用函數思想妙解平面幾何問題［J］.中學數學，2023（18）：86-87.

［2］黃晴，賈建寧.巧用平面幾何知識來解反比例函數的綜合問題［J］.數學之友，2023，37（02）：62-63.

［3］黃邵宏，王光生.面向幾何直觀的代數推理——以初中學段函數作圖內容為例［J］.中學數學，2023（22）：25-27.