以核心問題“催生”核心素養的教學實踐

【教學內容】

北師大版小學數學六年級下冊第一單元“圓柱與圓錐”的第二節內容。

【教材分析】

（一）本課的核心素養分析

空間觀念：學生在研究圓柱的表面積之前，需要先把圓柱表面的構成抽象出來，為探究和計算圓柱的表面積做“支架”。在教學中，教師要通過研究表面的構成，提高學生對空間物體的屬性及位置關系的認識，發展空間觀念。

幾何直觀：幾何直觀是借助圖形描述或分析問題，使其抽象的物體直觀化，有利于學生把握問題的本質、理解和分析問題。借助幾何直觀，教師可以把圓柱的側面由曲變直，增強學生對圓柱的側面展開圖的直觀認識，降低探究圓柱表面積的難度。

推理意識：推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟。本節課主要引導學生推導側面展開圖的長就是圓柱底面的周長，側面展開圖的寬就是圓柱的高，再由長方形的面積公式推導出圓柱側面的面積公式，進而推導出圓柱表面積的計算公式。這樣，逐步使學生的抽象思維和推理意識得到有效發展。

（二）本課的核心問題

（1）圓柱的表面積由哪幾部分組成？（2）圓柱的側面展開圖是什么圖形？（3）圓柱側面展開圖的面積如何計算？本節課以這三個核心問題為主線，依次推進，引導學生通過觀察、思考、探究等活動發展空間觀念、幾何直觀和推理意識。

【學情分析】

學生在學習本課之前，已經認識了長方體、正方體、圓柱，了解了長方形、正方形、圓等平面圖形的性質，并會計算這些平面圖形的面積以及像長方體這樣的直面立體圖形的表面積和體積，但學生“化曲為直”和“等積變形”等轉化思想的應用意識不夠強，在探究圓柱側面積時可能會有點困難。

【教學目標】

1.探究并掌握圓柱表面積的計算方法，能正確計算圓柱的表面積。

2.通過圓柱展開與卷成圓柱等活動，直觀感悟圓柱的側面展開圖，體會轉化思想，發展幾何直觀、空間觀念和推理意識。

3.利用圓柱表面積的相關知識和計算方法解決生活中的實際問題。

【教學重難點】

重點：學生探究圓柱側面積、表面積的計算方法，并能解決簡單實際問題。

難點：理解圓柱側面展開圖，推出展開圖與圓柱各部分的關系，推導出圓柱表面積的計算公式。

【教學實踐】

（一）創設情境，引出問題

師：工人師傅要做一個如圖1所示的圓柱形禮品盒，至少需要用多大面積的紙板？（接口處忽略不計）需要用多大面積的紙板實際上是求什么？

生：我認為實際是求圓柱外面能看到的面積之和。

師：你說得真好。其實這就是表面積，前面我們學過長方體和正方體的表面積，今天我們一起探究如何求圓柱的表面積。

（設計意圖：根據學生已有的認知基礎和學習經驗，創設問題情境，旨在引導學生結合具體物體理解圓柱體表面積的意義，激發學生求圓柱表面積的熱情，進而引出課題。）

（二）探究新知

1.提出核心問題，引發學生思考，揭示核心問題本質。

核心問題1：圓柱的表面積由哪幾部分組成？

師：請同學們借助圓柱實物思考圓柱的表面積是由哪幾部分組成的，并用手指出來。

生：圓柱的表面積是由它的兩個底面積和一個側面積組成的，所以圓柱的表面積指的是兩個底面積與側面積之和。

師：你們覺得計算圓柱的表面積有困難嗎？

生：我覺得求圓柱的側面積比較困難，因為它的側面是一個曲面，不能直接求，需要把曲面轉化成平面再求。

師：接下來，我們將要探索圓柱的底面積和側面積。圓柱的底面是圓，圓的面積我們會求，那么側面積怎么求呢？

核心問題2：圓柱的側面展開圖是什么圖形？

師：請同學們先猜想。圓柱的側面展開圖是什么圖形。

生1：長方形。

生2：平行四邊形。

生3：正方形。

生4：菱形。

……

師：大家回答得非常積極，但不一定是正確的，還需要經過驗證。接下來，請你用自己喜歡的方法驗證你的猜想是否正確。

學生用剪開圓柱側面或卷成圓柱側面等方法獨立操作，教師巡視指導。

師：你的猜想正確嗎？請說說你是怎么驗證的。

生1：長方形是正確的，我是通過用長方形的紙卷成了圓柱的側面來驗證的。

生2：我通過驗證發現圓柱側面展開圖是平行四邊形，我的驗證方法是用平行四邊形的紙卷成圓柱側面。另外，我把圓柱的側面斜著剪開后展開，發現也是平行四邊形，所以我覺得圓柱側面展開圖是平行四邊形是正確的。

……

師：實踐出真知，許多真理是在實踐中被驗證的。今天，同學們動手驗證出了自己的猜想是否正確，真是太了不起了！

核心問題3：圓柱側面展開圖的面積如何計算？

師：探究圓柱表面積的關鍵是探究側面積，因為底面積是圓的面積，我們已經學過。下面，請同學們同桌兩人一組用學具探究圓柱側面積的計算方法。

生1：我們是把圓柱的側面沿著高剪開，則展開圖是長方形，發現長方形的長是底面圓的周長，寬是圓柱的高，根據長方形的面積公式等于長乘寬得出圓柱的側面積=Ch=2πrh。

生2：我們是把圓柱的側面斜著剪開，它的展開圖就是平行四邊形，通過觀察發現平行四邊形的底是底面圓的周長，對應的高是圓柱的高，根據平行四邊形的面積公式等于底乘高，從而得出圓柱的側面積=Ch=2πrh。

核心問題4：圓柱的表面積公式應該怎樣表示呢？

師：剛剛我們推導出了圓柱的側面積，接下來我們研究一下圓柱的表面積公式怎樣表示。為了方便表達，我們先約定一下，用S表表示圓柱的表面積，用S底表示圓柱的底面積，用S側表示圓柱的側面積，那么，圓柱的表面積應該用字母怎么表示呢？

生：圓柱的表面積等于兩個相同的底面積加上一個側面積，因此，圓柱的表面積S表=2S底+S側=

2πr2+2πrh。

（設計意圖：此環節主要是通過提出核心問題，啟迪學生有針對性地思考、觀察、探究、操作等，一步步揭示核心問題的本質，發展學生的幾何直觀、空間觀念和推理意識等數學核心素養。）

2.你能計算出“至少需要多大面積的紙板”嗎？

師：課始，我們出示的圓柱形禮品盒還記得嗎？現在我們可以嘗試計算它至少需要多大面積的紙板了。

師：分析問題是有效解決問題的前提和關鍵。當我們要解決問題時，一定要先認真分析問題，再利用學過的知識和方法去解決問題。接下來，我們先分析所求問題。請大家在小組內討論交流分析這個問題。

（1）分析問題：解決這個問題實際上是求圓柱的表面積。

生：我認為這個禮品盒需要多大面積的紙板，實際上就是求這個圓柱形禮品盒的表面積。

師：那為什么要求至少需要多大面積呢？

生：因為在制作圓柱形禮品盒時有接口，接口處要多用一部分紙板，這里說至少需要多大面積，實際上就是忽略接口處多用的紙板，即求圓柱的表面積。

師：分析得很正確。問題分析對了，我們再動手解決這個問題，這個順序千萬不能顛倒。

（2）解決問題：求出這個圓柱形禮品盒的表面積。

師：請同學們先分別求出圓柱的側面積、底面積和表面積，然后填寫在書上相應位置并匯報。

生1：該圓柱形禮品盒的側面積等于底面周長乘高，即2×3.14×10×30，經過計算得出側面積是1884平方厘米。

生2：它的底面積是3.14×102=314平方厘米。

生3：它的表面積就是側面積加上兩個底面積，1884+314×2=2512平方厘米。另外，提醒大家千萬別忘了帶單位，也不能帶錯單位。

師：你說得非常正確，邏輯清晰，還不忘提醒大家注意事項，真是個細心的孩子。

（設計意圖：本環節主要引導學生養成良好的分析問題和解決問題的習慣，讓學生在前面學習的基礎上，通過分析問題和自主計算，提升解決問題的能力以及促進思維發展，同時培養推理意識。）

（三）及時練習，鞏固提升

師：這節課大家的表現都非常出色，接下來我們通過幾道題目來鞏固一下所學的知識。請同學們先認真審題，獨立思考后回答。

1.填空。

（1）圓柱的表面積是由（ ）個（ ）面積和

（ ）個（ ）面積組成。

（2）用一張長是8厘米，寬是6厘米的長方形紙圍成一個圓柱，這個圓柱的側面積是（ ）平方厘米。

（3）一個圓柱形紙盒，沿著它的高把側面剪開，側面是一個（ ）形，它的長是圓柱的（ ），它的寬是圓柱的（ ）。

2.判斷。

（1）把圓柱的側面展開有可能是梯形。（ ）

（2）當圓柱的底面周長與高相等時，把圓柱的側面展開可以得到正方形。（ ）

（3）兩個圓柱的側面積相等，底面周長也一定相等。（ ）

（設計意圖：本環節旨在進一步幫助學生梳理本課的基礎知識，鞏固學生對該課基礎知識的掌握以及拓展訓練學生的思維，提升思維品質。）

（四）課堂小結，拓展延伸

師：通過這節課的學習，你有什么收獲和感受想與大家分享呢？

生1：我知道了如何求圓柱的側面積，即兩個底面積加上一個側面積。

生2：把圓柱的側面剪開，就可以把曲面變成平面，有助于我們研究它的面積。另外，我還知道由于剪法不同，得到的圖形也不同。

生3：我覺得按照一定的邏輯思維分析、思考問題，問題就很容易解決。

師：你們的收獲和感受還真不少，這都是你們認真聽課的結果。你們認真學習的樣子真的很美，老師希望每節課都看到你們很美的樣子，你們能不能做到呢？

生（齊答）：可以。

師：老師萬分期待，這節課我們就上到這里，下節課期待你們有更好的表現和更大的收獲。

（設計意圖：本環節主要是檢測學生學習的整體情況和學習感受，同時鼓勵學生下節課更好地表現自己，激發學生的上進心和學習數學的熱情，幫助學生樹立學好數學的自信心。）

【教學總結】

（一）以核心問題為驅動，促進學生有針對性地思考和探究，揭示問題本質

以核心問題為驅動是本課教學設計的主導思路，用三個核心問題引領全課教學，驅動學生有針對性地觀察、思考、探究等，發現問題的本質。

這三個核心問題一脈相承，共同揭示了圓柱表面積的問題本質。研究圓柱的表面積首先要知道它是由哪幾部分組成，然后才能探究和計算。圓柱的側面積是研究表面積的關鍵點，也是難點，只有知道了側面是什么圖形，才能利用以前學過的知識和方法求出其面積。這時讓學生動手實踐，利用“化曲為直”和“等積變形”等轉化思想，在動手操作中突破難點。引導學生通過剪開圓柱側面展開成平面圖形，或嘗試將常見的平面圖形卷成圓柱，這兩種思路都可以很好地驗證學生的猜想。解決了第二個核心問題后，圓柱的表面積計算問題就不攻自破了。

（二）以活動為載體，發展學生空間觀念和幾何直觀素養

本節課的教學主要是通過動手操作展開，學生的直觀思維還是優于抽象思維的，有效學習應當建立在直觀操作之上。本節課主要通過兩個活動讓學生建立直觀認知，一是剪開并展開圓柱的側面，二是驗證猜想的長方形、平行四邊形等能否卷成圓柱。這一過程有效地發展了學生的空間觀念和幾何直觀素養。在這兩個活動的基礎上，引導學生觀察、思考、比較圓柱側面與展開后圖形的關系，通過眼觀、手動感受圓柱側面的特點，并建構新知。

培養學生的空間觀念和幾何直觀是數學教學中的重要任務之一。在教學中，教師可通過觀察和操作圓柱體模型來幫助學生直觀地理解和感知圓柱體的特點，并且設計一些實踐操作活動，讓學生親自動手探究，以加深對幾何形狀和空間關系的理解。

（三）在建立模型中有意識地培養學生的推理意識

推理意識在提高學生解決數學問題能力中發揮著關鍵的作用。首先，本節課學生的推理策略主要體現在：學生思考“做一個圓柱形禮品盒，至少要用多大面積的紙板”時，推理出實際上是求圓柱的表面積，以及“圓柱的側面展開圖是一個怎樣的圖形”“怎樣求圓柱的側面積”這樣有價值的數學問題。其次，由于個體存在差異，思維不同，學生選擇驗證圓柱側面展開圖的方法也不同，可以通過剪開圓柱側面并展開成平面圖形或利用自己猜測的平面圖形嘗試卷成圓柱。最后，根據操作經驗尋找出圓柱的側面展開圖形的形狀，推理得出圓柱的側面積的計算方法。在教學中，我不斷地放手讓學生在推理中建立模型思維，使學生由直覺思維到合情推理，并逐步培養其科學的推理意識。

（四）全面落實素養導向的教學目標

教學的落腳點重在落實教學目標，本課根據學情確定了核心素養導向的教學目標。教學目標指向本課的核心素養，即空間觀念、幾何直觀和推理意識。于是，教學的目標定位在理解圓柱表面積的知識基礎上，發展學生的空間觀念、幾何直觀和推理意識。

學生在三個核心問題的引領下，對探究圓柱表面積的路徑非常清晰。學生通過動手操作和觀察實物，建立幾何直觀；通過猜測圓柱側面展開圖是什么圖形，建立空間觀念；通過研究側面展開圖的面積計算方法，增強推理意識。

在問題解決方面，經歷分析圓柱表面積的構成和側面積的推導過程，培養了學生的數學思維，幫助學生養成從數學的角度提出問題、分析問題和解決問題的良好習慣，增強了學生的應用意識，提高了學生的實踐能力。

在情感態度方面，通過創設情境和核心問題驅動，學生成功探索出圓柱的表面積，激發了好奇心和求知欲，一步步探究出圓柱的表面積，在此過程中增強了學好數學的自信心和愉悅感。“增強學生學好數學的自信心”是《義務教育數學課程標準（2022年版）》中課程目標的要求，只有學生有學好數學的自信心，才會主動學習。增強學生學習體驗的愉悅感也是我們理想課堂所追求的，只有學生有愉悅的課堂學習體驗，才會向往數學學習，主動學習數學。

（作者單位：甘肅省定西市渭源縣會川鎮西關中心小學）

編輯：張俐麗