數(shù)形結合 探索本質 構建模型

【教學內(nèi)容】

北師大版數(shù)學四年級上冊“加法結合律”。

【設計思路】

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中明確指出，數(shù)學課程應落實立德樹人根本任務，注重數(shù)學課程與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，從而培養(yǎng)適應終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng)，要求在真實情境中解決問題。

基于以上理念，本節(jié)課創(chuàng)設了學校體育嘉年華活動的真實情境，貼近學生實際生活，并圍繞情境引導學生主動參與活動，給予學生充分的自主探究和小組活動的時間，去經(jīng)歷觀察、舉列、猜想、歸納、建模等過程；引導學生利用數(shù)形結合來理解加法結合律的本質，并能運用加法結合律進行簡便運算，解決生活實際問題，發(fā)展應用意識，感受數(shù)學知識的應用價值。在探究、體驗、合作、交流等教學過程中，教師要關注學生符號意識、數(shù)感和運算能力等核心素養(yǎng)的發(fā)展。最后，教師引導學生探究連減算式中存在的規(guī)律，促進學生掌握知識，領悟方法，培養(yǎng)梳理知識、建立數(shù)學知識體系的能力。

【教學目標】

1.經(jīng)歷加法結合律的探索過程，理解并掌握加法結合律，能結合生活中的事例解釋加法結合律，體會數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，積累數(shù)學活動經(jīng)驗。

2.會用字母表示加法結合律，發(fā)展初步的抽象思維能力和推理能力，培養(yǎng)符號意識。

3.運用加法交換律和加法結合律對一些算式進行簡便運算，解決生活中的實際問題，體會計算方法的多樣化，發(fā)展數(shù)感，提高運算能力。

【教學重難點】

重點：理解加法結合律的意義，學會用加法交換律和結合律進行簡便計算。

難點：加法結合律的建模。

【教學過程】

一、創(chuàng)設情境，激趣導入

師：一年一度體育嘉年華正如火如荼進行著，你看，有繞樁運球比賽、跳繩、仰臥起坐、投籃比賽等，你最喜歡哪個項目？

二、數(shù)形結合，創(chuàng)建模型

（一）數(shù)形結合，初建模型

師：小明最喜歡的繞樁運球比賽正在進行，這個場地周長一共有多少米？

1.嘗試列式，解釋意義

預設：

39+62+38 62+38+39 38+62+39

39+38+62 62+39+38 38+39+62

師：這些算式對嗎？為什么？你能結合圖形說一說嗎？

2.觀察發(fā)現(xiàn)，交流小結

（1）觀察39+62+38和62+38+39，數(shù)的位置改變，得數(shù)不變，運用了加法交換律。

（2）62+38+39要先算62+38，算式可以怎么樣變一變？你的依據(jù)是什么？

62+38+39→（62+38）+39→39+（62+38）

小結：不論先算39+62，還是先算62+38，都是算出總長度，結果是相等的。

（設計意圖：“三角形的運球場地”是數(shù)形結合的生活場景圖，學生根據(jù)已學的加法交換律，能發(fā)散思維列出六道算式，但是極少有帶上小括號的算式。根據(jù)學生的起點和生長點，引導學生運用加法交換律，經(jīng)歷“數(shù)的交換”到“式子的交換”，巧妙引出隱含加法結合律的兩組算式。通過“數(shù)形結合”幫助學生建模，讓他們的思維可視化。）

（二）舉例歸納，創(chuàng)建模型

師：體育嘉年華還有很多項目，這是部分同學的比賽成績，你能算算每個小組的總成績嗎？

1.小組合作，列出等式

師：根據(jù)以上信息，你能寫出像這樣（39+62）+

38=39+（62+38）的等式嗎？

小組合作要求：

寫一寫：寫出一組類似的等式。

算一算：計算并驗證等式是否成立。

說一說：組內(nèi)交流你是怎么想的。

2.匯報交流，總結規(guī)律

（1）匯報結果。

■

（2）交流發(fā)現(xiàn)，引導小結。

師：從這些等式中，你有什么發(fā)現(xiàn)？

小結：三個數(shù)相加，先把前面兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)所得的和，與先把后面兩個數(shù)相加，再加上第一個數(shù)所得的和是相等的。

3.自主探究，創(chuàng)建模型

（1）你能用簡潔的方法表示出這個規(guī)律嗎？

預設1：甲數(shù)+乙數(shù)+丙數(shù)=甲數(shù)+（乙數(shù)+丙數(shù)）

預設2：（□+▲）+★=□+（▲+★）

預設3：（a+b）+c=a+（b+c）

（2）用字母表示很簡潔，請結合這個圖來說說這個字母等式的意思。

4.方法提煉，揭示課題

師：這就是加法運算的規(guī)律——加法結合律，用字母表示就是（a+b）+c=a+（b+c）。剛才我們運用了觀察、舉例、猜想、歸納的推理模式，發(fā)現(xiàn)了加法結合律。這樣的推理模式在以后的學習中會繼續(xù)運用。

5.搜索反例

（1）深度思考：三個數(shù)連加，先算前面兩個數(shù)的和，或先算后面兩個數(shù)的和，和一定不會發(fā)生變化嗎？你是怎樣想的？

預設：三個數(shù)連加，無論先算哪兩個數(shù)的和，和不會發(fā)生變化。

（2）小結：說得真棒，數(shù)學家們也是這樣思考的。

（設計意圖：從體育嘉年華的活動中提取數(shù)據(jù)列成等式，讓學生感受數(shù)學來源于生活，并豐富學生建模的過程，形成模型的表象。學生在獨立思考與合作交流中探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律，積累從特殊到一般的歸納推理能力。用語言描述模型的特征，能加深學生對模型結構的理解，訓練學生的思維能力。同時用字母表示加法結合律，滲透符號化思想，讓學生體會字母模型的簡潔性，讓學生經(jīng)歷知識的形成過程，感受成功的喜悅。）

三、合理運用，體會簡便

1.我們來看看黑板上的這些算式，哪些運用了加法結合律，使計算更簡便了？

（1）第1組和第2組運用了加法結合律，使計算更簡便。第3組、第4組和第5組雖然運用了加法結合律，但是沒有使計算簡便。

（2）第3組可不可以用簡便算法？說說你的想法。

原來在以前的學習中就已經(jīng)悄悄出現(xiàn)過加法結合律了，“湊十”法就在運用加法結合律。

（3）第4組呢？

第4組運用運算律也不能使計算簡便，那就可以不用運算律直接計算。

2.第5組：這樣結合不能使計算簡便，那你能想辦法用學過的運算律使計算簡便嗎？

（1）獨立嘗試。

（2）交流匯報，你用了什么運算律？

（3）為了把57和43湊整，這兩個算式既用到了加法交換律，又用到了加法結合律。看來，有時候同時運用兩種運算律也可以使計算更簡便。

小結：回顧上面的算法，有些算式運用加法交換律和加法結合律能使計算簡便，有些算式運用運算律也不能簡便，所以要根據(jù)算式數(shù)字的特點，合理利用運算規(guī)律。

（設計意圖：本環(huán)節(jié)讓學生通過觀察發(fā)現(xiàn)哪些算式運用了加法結合律能使運算簡便，哪些運用了加法結合律不能簡便，進一步理解加法結合律。接著讓學生嘗試用運算律進行簡便運算，能根據(jù)數(shù)據(jù)的特點選擇運算律進行簡便運算，體會加法結合律在運算中的簡便性。）

四、分層練習，拓展延伸

師：體育嘉年華壓軸環(huán)節(jié)——定向運動，馬上開始了，讓我們追隨王同學的腳步，一起出發(fā)吧！先來到第一站。

△第一站：基礎練

1.填一填，并說一說下面的等式各應用了什么運算定律。

（1）25+13+87＝25+（□+87）

（2）（51+29）+71＝□+（□+□）

（3）15+34+85=□+（□+□）

（4）36+（▲+★）＝（36+□）+★

［設計意圖：4道題目層層遞進，由易至難、由淺入深：（1）（2）題考查學生加法結合律的應用，追問“你喜歡等號左右哪邊的計算？為什么”；（3）題在（1）題的基礎上進行升級，考查學生加法交換律和加法結合律的綜合應用；（4）題從數(shù)字到字母，讓學生抽象地認識加法結合律。］

2.算一算，觀察每個算式中加數(shù)的特點，選擇合適的方法計算。

88+156+44

28+69+172

（1）追問：為什么要先算156加44？

預設：可以湊成整百數(shù)，這樣簡便。

（2）這兩道題分別運用了什么運算定律？

預設：第一道題用了加法交換律，第二道題用了加法交換律和加法結合律。

（3）觀察比較今天學習的加法結合律和之前學習的加法交換律，他們之間有什么相同點和不同點呢？請?zhí)顚懴卤怼?/p>

小結：我們在幾個數(shù)連加計算中，往往同時使用加法交換律和加法結合律，使計算簡便。

（設計意圖：學生通過自主計算，意識到加法結合律往往需要湊整，有利于提高學生的計算速度和正確率，為學生運用加法結合律進行簡便計算打好基礎。同時，加法交換律和加法結合律有著天然的內(nèi)在聯(lián)系，溝通兩者之間的聯(lián)系，通過表格對比分析“變”與“不變”，促使學生對運算律形成整體認識，有利于數(shù)學知識的整體建構，提升學生的推理意識。同時，也為后面的靈活應用打下良好的基礎。）

△第二站：變式練

變一變：我們將第1題中“（15+34）+85”變一變，請看：

★15+34+85+66＝（□+□）+（□+□）

★★ 15+34+85+66+22

★★★ 15+34+85+66+22+78

……

小結：無論是三個數(shù)相加，還是四個、五個、六個，甚至更多的數(shù)相加，“加法交換律”和“加法結合律”都適用，方法和道理是一樣的。

（設計意圖：考查學生是否掌握交換律和結合律；通過對算式改編，在后面增加一個數(shù)，變成四個數(shù)連加，兩兩湊整百，再延伸到五個、六個數(shù)相加，甚至更多的數(shù)，讓學生知道方法和道理還是一樣的，體會加法結合律在生活中的簡便應用價值。）

△第三站：拓展練

1.請你估一估起點到第一站有多少米。

提示：可以根據(jù)數(shù)據(jù)，也可以根據(jù)路線圖的長短來估。

2.王同學到達第三站一共跑了450米，起點到第一站是多少米？

預設：450-148-152 450-（148+152）

3.想一想：對比以下兩種算法，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（1）它與加法結合律有什么相同和不同之處？

（2）你能照樣子再寫出兩組這樣的算式嗎？

（3）你能嘗試用語言或字母表示這個規(guī)律嗎？

老師給你一個提示：我們是否可以通過“觀察—舉例—猜想—歸納”的方法來得到減法的規(guī)律。

（4）那乘法和除法有沒有結合律呢？課后自己也可以去研究。

（設計意圖：通過創(chuàng)設王同學參加定向運動的情境，根據(jù)數(shù)據(jù)和路線的長短來猜測起點到第一站多少米。第2問是告訴王同學到達第三站一共跑了450米，求起點到第一站的距離，學生會出現(xiàn)上面的兩種算法，通過觀察比較“它與加法結合律有什么相同和不同之處”，實現(xiàn)了以加法結合律為一個觸點，在此觸點中誕生一個新的生長點的效果。并提出了新的問題，設置了新的懸念，把學生的學習活動引向更深的思考，使學生不斷地去探索、去追求。）

五、課堂總結，拓展提升

1.今天你有什么收獲？

2.小結：這節(jié)課我們學習了加法結合律，掌握了其運用方法。知識之間是可以遷移和類比的，學習本單元其他知識時，大家不妨多用用今天所學的方法。

（作者單位：浙江省衢州市新華小學）

編輯：張俐麗