“數(shù)學(xué)分析”課程的應(yīng)用型人才培養(yǎng)教學(xué)模式研究

［摘 要］ 首先，總結(jié)了呼和浩特民族學(xué)院學(xué)生特點(diǎn)及“數(shù)學(xué)分析”課程授課過程中存在的問題；其次，針對這些問題，以培養(yǎng)應(yīng)用型人才為目標(biāo)，采取了課前—課中—課后的全程覆蓋式閉環(huán)教學(xué)模式，其中包括轉(zhuǎn)化思想貫穿始終、結(jié)合數(shù)學(xué)軟件畫圖和數(shù)值計(jì)算、融入課程思政、增加多種評價考核方法，以此解決學(xué)生在學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)分析”課程過程中遇到的難題，同時提高學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力；最后，闡述了該教學(xué)模式的創(chuàng)新點(diǎn)與效果。

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)分析；應(yīng)用型人才；教學(xué)模式

［基金項(xiàng)目］ 2022年度呼和浩特民族學(xué)院課程思政示范課程項(xiàng)目“《數(shù)學(xué)分析（一）》課程思政示范課程項(xiàng)目”；2022年度內(nèi)蒙古自治區(qū)高等教育學(xué)會重點(diǎn)課題“數(shù)學(xué)建模課程課堂教學(xué)與學(xué)科競賽協(xié)同培養(yǎng)的創(chuàng)新教學(xué)模式研究”（NMGJXH-2022XF002）

［作者簡介］ 青 梅（1986—），女（蒙古族），內(nèi)蒙古興安盟人，博士，呼和浩特民族學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院副教授，主要從事線性算子譜理論與數(shù)學(xué)教育研究。

［中圖分類號］ C961 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1674-9324（2024）26-0157-04 ［收稿日期］ 2023-10-30

引言

《中國教育現(xiàn)代化2035》中明確指出，加大應(yīng)用型、復(fù)合型、技術(shù)技能型人才培養(yǎng)比重［1］。通過加大人才培養(yǎng)比重，培養(yǎng)更多適應(yīng)新時代需求的高素質(zhì)人才，推動經(jīng)濟(jì)社會的可持續(xù)發(fā)展。為培養(yǎng)適應(yīng)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級和實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量發(fā)展需要的高素質(zhì)應(yīng)用型人才，在課程設(shè)置和教材建設(shè)等方面應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)、成熟和適用的知識，在能力培養(yǎng)方面特別突出對基本知識的熟練掌握和靈活應(yīng)用。目前國內(nèi)很多學(xué)者在如何培養(yǎng)應(yīng)用型人才方面做出很多研究，基本可總結(jié)為培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提煉教材內(nèi)容、改進(jìn)教學(xué)方法、強(qiáng)調(diào)知識應(yīng)用、修改評價方法等［2-5］。

“數(shù)學(xué)分析”課程是數(shù)學(xué)專業(yè)低年級的重要基礎(chǔ)課之一，也是數(shù)學(xué)專業(yè)研究生考試科目之一，是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)過渡的橋梁，負(fù)擔(dān)全面培養(yǎng)學(xué)生的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的素質(zhì)，并為繼續(xù)學(xué)習(xí)眾多后繼課程（如常微分方程、復(fù)變函數(shù)論、實(shí)變函數(shù)論、概率統(tǒng)計(jì)等）提供基本理論、方法和技能。該課程能夠使學(xué)生掌握現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本方法和基本技巧，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維與創(chuàng)新能力，提高學(xué)生分析和解決問題的能力。呼和浩特民族學(xué)院“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)周期為3個學(xué)期，共276學(xué)時，實(shí)行數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)混合班授課，每個班級少數(shù)民族和漢族學(xué)生各占一半。學(xué)生主要來自內(nèi)蒙古地區(qū)，部分學(xué)生來自山東、河北、河南、陜西、甘肅、新疆和西藏等地。學(xué)生數(shù)學(xué)單科成績最高分110分，最低分40分，平均分70分。整體而言，數(shù)學(xué)成績是中等水平，少數(shù)民族學(xué)生的數(shù)學(xué)成績多處于平均分左右。據(jù)以上描述，本課程授課過程中存在以下幾個問題。

1.學(xué)生知識基礎(chǔ)較為薄弱且參差不齊，而課程內(nèi)容晦澀難懂。混合班授課，不同學(xué)生知識水平存在較大差異，部分學(xué)生數(shù)學(xué)功底非常薄弱，且學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣較弱，只有少數(shù)幾個學(xué)生較好地掌握了高中數(shù)學(xué)知識。而“數(shù)學(xué)分析”是一門較為抽象的課程，強(qiáng)調(diào)邏輯推理和證明。學(xué)生需要學(xué)會運(yùn)用正確的邏輯思維和證明技巧解決問題，同時將抽象的數(shù)學(xué)概念和符號應(yīng)用于實(shí)際問題的建模和求解中。對于部分學(xué)生來說，達(dá)到理解并應(yīng)用的程度有一定的挑戰(zhàn)性。

2.教材內(nèi)容繁多，而教學(xué)課時少。“數(shù)學(xué)分析”是系統(tǒng)性的理論體系，包含了許多重要的基本定理、推論及計(jì)算方法，此外引入課程思政的內(nèi)容。多數(shù)學(xué)校的“數(shù)學(xué)分析”課程授課學(xué)期為三個學(xué)期，在此期間有質(zhì)量地講完課程內(nèi)容對授課教師也是一種挑戰(zhàn)。

3.學(xué)生課后不愛學(xué)習(xí)，而課堂教學(xué)強(qiáng)度較大。大部分學(xué)生沒有養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，又缺乏足夠的學(xué)習(xí)動機(jī)。學(xué)生對課程內(nèi)容的實(shí)際應(yīng)用感到困惑，課上的內(nèi)容過于抽象或難以理解，導(dǎo)致學(xué)生在課后不愿意繼續(xù)學(xué)習(xí)。而由于課程內(nèi)容多課時少，部分內(nèi)容授課教師可能不會講得很細(xì)致，導(dǎo)致學(xué)生無法完全掌握課堂知識，進(jìn)而形成惡性循環(huán)，久而久之跟不上講課進(jìn)度，對課程失去了興趣。

4.教師只講教材內(nèi)容，而很少解釋知識所對應(yīng)的實(shí)際應(yīng)用。如果教師只注重教材內(nèi)容而很少解釋知識的實(shí)際應(yīng)用，這可能導(dǎo)致學(xué)生對“數(shù)學(xué)分析”的學(xué)習(xí)缺乏內(nèi)驅(qū)力。實(shí)際應(yīng)用是將數(shù)學(xué)概念和技巧應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)問題的關(guān)鍵，能夠幫助學(xué)生理解和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)際用途，并提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣和動力。

為解決這些問題，以培養(yǎng)應(yīng)用型人才為目標(biāo)，本文研究課前—課中—課后全程覆蓋式閉環(huán)教學(xué)模式，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時培養(yǎng)其運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。

一、“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)設(shè)計(jì)

本節(jié)主要介紹“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)設(shè)計(jì)中的幾個重要環(huán)節(jié)。

（一）教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定

新時代，如何有效發(fā)揮“數(shù)學(xué)分析”課程思政育人功能，培養(yǎng)聽黨話、跟黨走，有理想，有本領(lǐng)的數(shù)學(xué)人才是每位教師應(yīng)考慮的問題，課程組由此制定了“數(shù)學(xué)分析”課程“三維”教學(xué)目標(biāo)：知識目標(biāo)為掌握基本概念、性質(zhì)、計(jì)算方法，能夠滿足應(yīng)用型人才培養(yǎng)的基礎(chǔ)知識；能力目標(biāo)為掌握現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本方法和基本技巧，能夠利用數(shù)學(xué)軟件畫圖和數(shù)值計(jì)算、數(shù)學(xué)建模，具有團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和解決實(shí)際問題的能力；素質(zhì)目標(biāo)為發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，培養(yǎng)探索創(chuàng)新精神，增強(qiáng)愛國之情，激勵學(xué)生自覺樹立和踐行社會主義核心價值觀，為國家現(xiàn)代化建設(shè)貢獻(xiàn)力量。

（二）教學(xué)過程與方法

基于學(xué)生的實(shí)際情況和課程性質(zhì)，采取課前—課中—課后全程覆蓋式閉環(huán)教學(xué)模式。

1.課前：提前布置相關(guān)資料查閱任務(wù)，將查閱的相關(guān)實(shí)際問題導(dǎo)入課程內(nèi)容，聯(lián)系科學(xué)前沿、時事新聞等，將抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容具體化、生動化、形象化，充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，將數(shù)學(xué)與實(shí)際生活相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。例如，講授極限之前查閱我國數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)的割圓術(shù)，感悟其中的數(shù)學(xué)思想；講授反常積分概念前讓學(xué)生查閱中國航天發(fā)展史，讓學(xué)生充分了解我國航天事業(yè)的輝煌成就與航天精神；講解冪級數(shù)前布置查閱圓柱體的熱傳導(dǎo)問題和薄板震動的文獻(xiàn)資料任務(wù)；講授第一型曲面積分前讓學(xué)生查閱有關(guān)中國天眼的資料等。提前布置任務(wù)既能夠引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能提升學(xué)生的獨(dú)立思考能力和查閱文獻(xiàn)能力。

2.課中：始終以轉(zhuǎn)化思想貫穿整個教學(xué)過程，引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜問題簡單化、陌生問題熟悉化、未知問題已知化，利用簡單的、熟悉的、已知的知識求解復(fù)雜的、未知的、陌生的問題，使學(xué)生在構(gòu)建系統(tǒng)化的知識體系的同時掌握課程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法、處理問題的技巧和策略。

例如在概念引入、例題計(jì)算和定理證明過程中可利用轉(zhuǎn)化思想，進(jìn)行對概念、例題、定理的簡單化、熟悉化、已知化。（1）概念引入：第一型曲線積分和二重積分可視為定積分的更高一維中的推廣。兩者均從幾何意義角度引入，將前后知識點(diǎn)串聯(lián)起來，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想。第一型曲線積分當(dāng)作是定積分的積分區(qū)間在二維空間中的彎曲引起的，對應(yīng)的被積函數(shù)為平面曲線變?yōu)榭臻g曲線，幾何意義是從曲邊梯形面積變?yōu)橹娌糠置娣e；二重積分可視為定積分的積分區(qū)間在二維空間中的膨脹引起的，對應(yīng)的被積函數(shù)從平面曲線變?yōu)榭臻g曲面，幾何意義是從曲邊梯形面積變?yōu)榍斨w體積。（2）例題計(jì)算：第二型曲線積分計(jì)算是難點(diǎn)內(nèi)容，可利用轉(zhuǎn)化思想計(jì)算，將其轉(zhuǎn)化為幾種不同形式計(jì)算，從而使學(xué)生掌握基本計(jì)算技巧和方法。（3）定理證明：講授微分中值定理時可利用轉(zhuǎn)化思想啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，而拉格朗日中值定理又是羅爾中值定理的推廣。同時引導(dǎo)學(xué)生利用羅爾中值定理結(jié)論證明拉格朗日和柯西中值定理。講到格林公式證明時，可啟發(fā)學(xué)生利用牛頓-萊布尼茨公式；在講到斯托克斯公式證明時，可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用格林公式。如此培養(yǎng)學(xué)生的理論推導(dǎo)能力和邏輯思維能力，同時可以省去部分定理的證明過程，節(jié)省了授課時間［5］。

對于一些容易計(jì)算的問題，教師通過數(shù)學(xué)軟件將抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為直觀的圖形展示，便于學(xué)生理解。學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件求解微積分、簡單極限等問題，從而更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)分析中的各種方法和技巧，還可進(jìn)一步解決課程內(nèi)容多課時少的問題。此外，教師可從數(shù)學(xué)建模課程中尋找合適的例子作為課程知識的應(yīng)用，運(yùn)用“數(shù)學(xué)分析”的方法對模型進(jìn)行分析，如求解最大值最小值問題時可引入數(shù)學(xué)建模課程中城市通行能力模型、揚(yáng)帆遠(yuǎn)航等例子［6］；在講解不定積分時可引入存貯模型、森林救火等例子，以此促使學(xué)生進(jìn)一步理解微積分知識的應(yīng)用，也更了解學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)分析”的實(shí)際意義。

3.課后：除常規(guī)的作業(yè)以外，布置延伸拓展、預(yù)習(xí)思考、每章總結(jié)等其他任務(wù)，并及時評價。學(xué)生及時進(jìn)行回顧、歸納總結(jié)每章的主要內(nèi)容，構(gòu)建完善的知識體系，促進(jìn)學(xué)生培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，增強(qiáng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。通過課后延伸拓展等環(huán)節(jié)可使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握當(dāng)次課程內(nèi)容，同時為下一節(jié)課的學(xué)習(xí)做基礎(chǔ)，如此構(gòu)成良性循環(huán)。

綜上可知，課前資料查閱，課中實(shí)際問題導(dǎo)入、數(shù)學(xué)軟件數(shù)值計(jì)算，課后拓展延伸等環(huán)節(jié)，不僅能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且能夠促進(jìn)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的重要應(yīng)用，為培養(yǎng)應(yīng)用型人才提供有力支撐。

（三）融入課程思政

教學(xué)中融入思政元素，如融入愛國主義精神、哲學(xué)思想、創(chuàng)新精神等，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，增強(qiáng)學(xué)生的愛國之情，使學(xué)生樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀，激勵學(xué)生自覺樹立并踐行社會主義核心價值觀［7-10］。（1）教學(xué)內(nèi)容中引入我國科技發(fā)展和國家現(xiàn)代化發(fā)展情況，增強(qiáng)學(xué)生的愛國主義情懷和創(chuàng)新精神。例如，講授無窮積分概念時以求解第二宇宙速度為例，引申出我國航天事業(yè)的發(fā)展，鼓勵學(xué)生學(xué)好專業(yè)課，發(fā)揚(yáng)航天精神，為我國現(xiàn)代化建設(shè)奉獻(xiàn)自己的力量；講授第一型曲面積分之前讓學(xué)生查閱“中國天眼”相關(guān)資料，增強(qiáng)愛國之情。（2）適當(dāng)引入哲學(xué)思想，使學(xué)生充分認(rèn)識辯證思想，看問題抓住主要矛盾。例如，極限是貫穿“數(shù)學(xué)分析”課程的重要工作，讓學(xué)生充分認(rèn)識極限蘊(yùn)含著豐富的辯證思想——變與不變、過程與結(jié)果、有限與無限、近似與精確的對立統(tǒng)一，任何時候?qū)Υ魏问挛镆姓J(rèn)矛盾、分析矛盾、勇于揭露矛盾，積極尋找正確的方法解決問題，利用科學(xué)的思想為學(xué)生的成長和成才打下基礎(chǔ)；又如，以芝諾悖論和《莊子·天下篇》中的一句話——“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”引入數(shù)項(xiàng)級數(shù)，分析其矛盾、探尋原因，并利用數(shù)學(xué)解決問題。（3）適當(dāng)引入科學(xué)家的故事，使學(xué)生了解科學(xué)探索中的艱辛與快樂，同時也讓學(xué)生掌握其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。如，講授極限、級數(shù)時均可以劉徽的割圓術(shù)為例，讓學(xué)生理解其背后的數(shù)學(xué)思想，堅(jiān)定文化自信。

（四）學(xué)習(xí)評價方法

“數(shù)學(xué)分析”課程的學(xué)習(xí)評價是將過程性評價和終結(jié)性評價相結(jié)合，多維度考查學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。過程性評價占總成績的40%，其中資料查閱占4%，課堂參與占12%，每章總結(jié)占8%，作業(yè)占8%，拓展延伸占8%；終結(jié)性評價占總成績的60%，其中包含期中考試10%和期末考試50%。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)的創(chuàng)新點(diǎn)與效果

根據(jù)學(xué)生實(shí)際，以培養(yǎng)應(yīng)用型人才為目標(biāo)，采取課前—課中—課后全程覆蓋式閉環(huán)教學(xué)模式，在教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容、方法、活動、評價等教學(xué)過程中每個環(huán)節(jié)增加創(chuàng)新點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率。教學(xué)目標(biāo)方面，在原有的教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，增加高階教學(xué)目標(biāo)，使學(xué)生具備利用數(shù)學(xué)軟件畫圖與數(shù)值計(jì)算能力，進(jìn)而增強(qiáng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和解決實(shí)際問題能力，同時樹立并踐行社會主義核心價值觀。教學(xué)內(nèi)容方面，將課程內(nèi)容與科學(xué)前沿、時事新聞相結(jié)合，以生活中實(shí)際問題為例、增加延伸拓展部分，改進(jìn)教學(xué)內(nèi)容講授順序，進(jìn)而在教學(xué)內(nèi)容上創(chuàng)新。教學(xué)方法方面，采取問題驅(qū)動法、思維啟發(fā)法、直觀演示法和互動討論法等，課前查閱資料，以實(shí)際問題導(dǎo)入，將轉(zhuǎn)化思想貫穿始終，利用數(shù)學(xué)軟件畫圖和數(shù)值計(jì)算，將抽象的內(nèi)容和復(fù)雜計(jì)算形象化、生動化、簡單化。教學(xué)評價方面，采取多元化評價方法，每節(jié)課后結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況與課堂效果總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行教學(xué)反思，持續(xù)改進(jìn)教學(xué)水平。

筆者自2017年9月承擔(dān)“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)任務(wù)以來，結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況，堅(jiān)持以學(xué)生為中心，不斷改進(jìn)并形成課前—課中—課后全程覆蓋式閉環(huán)教學(xué)模式，將抽象的理論具體化、形象化，將枯燥無味的課堂活躍化，持續(xù)改進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析遇到的難題。首先，通過教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生基本學(xué)會通過形象化、簡單化方式把難懂的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為易于理解的內(nèi)容。其次，學(xué)生基本可以利用數(shù)學(xué)軟件畫圖和數(shù)值計(jì)算，進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)思想和方法、處理問題的技巧和策略。最后，通過實(shí)際問題導(dǎo)入課程，增加延伸拓展部分等，增強(qiáng)學(xué)生的建模能力、團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和解決實(shí)際問題能力。部分學(xué)生在大學(xué)二、三年級參加各類數(shù)學(xué)建模競賽、數(shù)學(xué)競賽多次獲獎，獲獎人次有了明顯的增加，培養(yǎng)應(yīng)用型人才逐漸見效。

結(jié)語

本文結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況，堅(jiān)持以培養(yǎng)應(yīng)用型人才為目標(biāo)，不斷改進(jìn)并形成課前—課中—課后全程覆蓋式閉環(huán)教學(xué)模式，將抽象的理論具體化，便于學(xué)生理解并掌握。課前查閱資料、復(fù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容，以實(shí)際問題導(dǎo)入教學(xué)內(nèi)容，以轉(zhuǎn)化思想貫穿始終，結(jié)合數(shù)學(xué)軟件畫圖和數(shù)值計(jì)算，融入思政元素，增加課后延伸拓展、總結(jié)每章內(nèi)容等，將抽象的、難以理解的內(nèi)容簡單化，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力、團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和解決實(shí)際問題能力，同時使學(xué)生自覺樹立并踐行社會主義核心價值觀。該教學(xué)模式為培養(yǎng)應(yīng)用型人才提供了有力保證。

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Research on Teaching Mode for Cultivating Applied Talents in the Mathematical Analysis Course

QING Mei， GAO Jing-ying， Eerdunbuhe

（School of Mathematics Science， Hohhot Minzu College， Hohhot， Inner Mongolia 010051， China）

Abstract： Firstly， this article summarizes the characteristics of students in our school and the problems encountered in the teaching process of mathematical analysis courses. Secondly， aiming at these problems and with the goal of cultivating applied talents， we adopt a closed-loop teaching mode that covers the entire process of “pre-class， in-class， and post-class” activities. This model includes transforming idea throughout， combining mathematical software for graphing and numerical calculations， integrating curriculum ideology and politics education into courses， increasing a variety of evaluation methods. The proposed teaching mode can solve the difficulties that students run into the process of learning mathematical analysis， improve their mathematical interest and cultivate their ability to apply mathematical knowledge to solve practical problems. Finally， the innovative points and effects of this teaching mode are elaborated.

Key words： Mathematical Analysis; applied talents; teaching mode