明算理?知算法

【摘要】計算是小學階段數學教學的重要板塊，也是后續開展數學教學活動的基礎。算理和算法是數字計算的構成部分。算理是計算問題的路徑，而算法則側重計算問題的手段。學生對算理和算法的掌握程度，決定了他們的計算效率。文章分析教師帶領學生參與算理和算法探究的過程。

【關鍵詞】小學數學；理解算理；優化算法；計算效率

作者簡介：張海燕（1980—），女，江蘇省如皋市丁堰鎮丁堰小學。

計算是小學數學教學的重點與難點，既需要學生對算理有充分理解，又要求學生對算法融會貫通。一方面，在小學階段，學生需要理解運算的各種規則，掌握加、減、乘、除等基本的運算方法；另一方面，學生在學習計算的過程中會遇到各種困難，如對運算規則理解不深、計算速度慢、計算錯誤率高等。對此，教師應充分發揮引導作用，優化設計教學策略，以“明算理、知算法”為出發點，將算理和算法兩項教學內容有機融合，指導學生理解算理、優化算法［1］。

一、搭建探究平臺

算理是算法的支撐，它涉及算法的原理、方法和過程，為算法提供重要的理論依據，是算法存在和發展的基礎。教師需要梳理教學思路，讓學生充分感受由抽象算理到直觀算法的演變。教師可以為學生提供探究式學習平臺，創設生活化情境，激發學生的學習興趣，引導學生參與算理的探索過程，讓學生從不同維度深入理解算理的內涵、強化邏輯思維，從而初步培養學生解決數學計算問題的能力。

以蘇教版數學五年級上冊“小數加法和減法”的教學為例。本單元內容的內在算理邏輯是把相同計數單位的數進行相加、相減。學生需要掌握其中的計算法則，即加法“滿十進一”、減法“退一當十”。

筆者先以培養學生的邏輯思維能力為出發點，運用生活化事物搭建探究平臺的框架，提出問題激發學生的學習興趣和求知欲。具體來說，筆者借助貨幣單位的換算引導學生展開探究。筆者在課前提問學生：“同學們，這里有1本練習冊和1支鋼筆，已知1本練習冊7.45元，1支鋼筆9.73元，這些加起來該付多少錢呢？”學生依據已學知識進行計算：元加元，7元加9元等于16元；角加角，4角加7角等于1元1角；分加分，5分加3分等于8分。16元、1元1角、8分加起來就是17元1角8分，也就是17.18，所以7.45+9.73＝17.18。學生在計算的過程中自主思考，初步內化小數計算的算理邏輯：對齊計數單位。

接著，筆者正式帶領學生學習小數的計算，引導學生分析問題的本質，理清計算的路徑和規律，并總結經驗形成正確的算理邏輯和計算策略。具體來說，筆者利用知識遷移的方法，引導學生復習整數的豎式計算：“同學們，試著列一下15+14的豎式，想一想15+1.4的豎式該怎么列呢？”由此，有的學生提出問題：“兩位整數加減法的計算規律是相同位數相加，那么小數加減法的計算規律也是這樣的嗎？”有的學生提出問題：“小數中的相同位數指的是什么？”在學生充分思考這些問題后，筆者為學生講解：“用豎式計算小數加法和減法，要注意先把小數點對齊再算，小數加法和減法同樣適用兩、三位數的加法和減法計算中加法‘滿十進一’、減法‘退一當十’的計算規則。”

可見，計算教學是循序漸進的。教師在教學過程中需要強調學生的自主思考，幫助學生真正理解算理邏輯，從而有效提高學生的數學計算能力和思維素養，實現高效教學。

二、直觀展示算法

算法是解決計算問題的步驟或方法。教師可以把算法教學分成板書展示、演算講解、驗算講解三個步驟，使學生在初步認識、實際運用、總結拓展的過程中充分掌握數學算法。學生學會將復雜的問題分解為簡單的步驟，有利于加深對數學運算規則的理解［2］。

以蘇教版數學三年級上冊“兩、三位數除以一位數”的教學為例。本單元要求學生掌握兩、三位數除以一位數的豎式算法和驗算方法。

首先，筆者通過板書的方式清晰地呈現計算思路。具體來說，筆者在黑板上板書48÷2的豎式形式，讓學生直觀地認識除法豎式zth3Its3HRgcue91sqhYug==計算的雛形。

其次，筆者引導學生主動思考算法問題：“為什么2在商的十位上？”此時，學生無從下手。

再次，筆者進行演算講解：“兩位數除以一位數需要按照計算單位逐位計算。被除數的最高位十位是4，4÷2=2。因此，在商的十位上寫2。被除數的個位是8，8÷2=4。因此，在商的個位上寫4。算式的結果就是24。”

最后，學生依托直觀的豎式計算講解，深入理解算法路徑，明確算法的執行過程。

在此基礎上，筆者借助直觀的板書，教授學生該以何種計算形式來進行驗算。繼續以2√48 =24的豎式計算為例。筆者教授學生：“除法可以用乘法驗算。”學生在筆者的引導下發現，24×2＝48，這說明上述除法豎式的計算結果是正確的。

學生直觀認識兩位數除以一位數的驗算后，便能夠舉一反三，嘗試對三位數除以一位數的計算結果進行驗算，并發現不同數值除法豎式計算的兼容性算法規律，從而深化對算理的理解。

可見，直觀的教學形式能夠讓學生對知識點形成更加清晰的認識，為學生接下來的數學學習奠定良好的基礎，提升學生的學習效果。在教學過程中，教師需要關注學生的思維發展過程，耐心解答學生的問題。

三、實際應用算理

算理和算法兩者的割裂教學不僅無法讓學生發展計算思維，還會讓學生對算理和算法的理解浮于表面。如此，當學生面對實際問題時，很難靈活地轉換思維解決問題。教師需要結合算理和算法的教學，讓學生在解決問題的過程中強化分析思維，提高學生解決實際問題的能力。

以蘇教版數學四年級下冊“解決問題的策略”的教學為例。本單元的教學重點是讓學生理清數量之間的對應關系，并讓學生學會通過畫圖探索解決問題的步驟與方法。

首先，筆者借助教材中具體的問題情境引導學生分析算理和算法。具體來說，筆者引導學生閱讀以下例題，提煉問題的關鍵信息—郵票的枚數。

小寧和小春共有72枚郵票，小春比小寧多12枚。兩人各有郵票多少枚？

其次，筆者出示線段圖，要求學生根據題意將線段圖補充完整。在補充線段圖的過程中，學生分析數量關系，探索算法。

算法一：兩人郵票的總數減去12，就是小寧郵票枚數的2倍，可以先計算小寧有多少枚郵票。

算法二：兩人郵票的總數加上12，就是小春郵票枚數的2倍，可以先計算小春有多少枚郵票。

再次，學生認識到不同數量之間的對應關系，并以此為基礎建立解決問題的數量模型，計算得出小寧有30枚郵票，小春有42枚郵票，并加以驗證。

最后，筆者趁熱打鐵，設計具體的生活化問題，讓學生運用所學算理對問題進行分析，從而讓學生在解決問題的過程中強化數學分析思維。

不同的問題有多種不同的算理思路，且不同算理思路的效率和適用性各不相同。教師可以鼓勵學生在解決問題的過程中，嘗試探究不同的計算方法，并比CHDtSoRfsK9ABpyoFi001Q==較針對同一問題的不同計算方法的運算效率，從而運用最合理、最簡便的算法來提高解題速度。

可見，算理可以幫助學生建立數學模型，還可以幫助學生尋找解題的最佳方法。學生從不同維度深入理解算理，主動優化算法，可以提高分析問題的能力和解決問題的效率。

四、實時評估反饋

算理為算法的設計和分析提供了理論基礎，而高效的算法能夠在有限的步驟內解決特定問題，二者相輔相成，共同為提高計算效率提供支撐。如果計算教學側重于機械記憶和重復練習，學生就難以透徹把握算理和算法。對此，教師需要通過實時評估和及時反饋，引導學生及時發現自己在計算過程中的思維誤區與不良習慣，幫助學生分析出現錯誤的原因與培養良好的計算習慣。

以蘇教版數學六年級上冊“分數乘法”的教學為例。在本單元中，學生初步接觸分數乘法的相關知識內容，對于分數乘法的算理和算法尚未形成充分的認識，在進行分數乘法的運算時錯誤率較高。

首先，筆者設計以下難度適宜、有代表性的易錯分數乘法計算題。

題一：××50= （ ）

題二：××= （ ）

學生進行當堂計算。有的學生在計算××50時，未把50進行約分，導致最終的計算結果不是最簡真分數的形式；有的學生在計算××時，誤將兩個11進行約分，導致計算結果錯誤；還有的學生出現分子分母顛倒等常見的計算錯誤。

其次，筆者對學生出現的問題進行總結歸納，并向學生反饋。筆者向學生講解：“分數乘法的核心是將兩個分數的分子相乘，得到新分數的分子；接著將兩個分數的分母相乘，得到新分數的分母；再簡化新分數，把分子和分母約分至最簡形式。分母不能和分母約分，只有分子和分母之間可以約分。”

再次，筆者分析不同學生的學習情況，并為其設計個性化指導方案。對于在計算過程中未將結果約分至最簡形式的學生，筆者認為他們在算法上存在疏漏。此時，筆者立即給予反饋，直接指出他們的錯誤，引導他們將××50的分子50與分母100進行重新約分。對于算理理解不到位的學生，筆者幫助他們重新分析分數乘法的內在邏輯，引導他們再次嘗試計算。

最后，筆者以實時評估的反饋結果為基礎，判斷學生對分數乘法單元算理的理解是否深入、對算法的掌握是否熟練。學生在筆者的引導下，重新思考分數的計算規則，及時修補知識缺漏，進而提高計算分數乘法的效率。

可見，實時評估反饋是提高小學數學計算教學的重要手段。教師需要注重實時評估反饋的應用，為學生提供個性化的反饋信息和指導，幫助學生發現問題，從而有針對性地提高計算的準確性［3］。

結語

在小學數學計算教學中，算理和算法相輔相成，缺一不可。教師要將幫助學生理解和掌握算理作為教學的基礎，將優化算法作為教學的關鍵，設計指向性明確的教學策略，促進學生將算理和算法相結合，助力學生從基礎計算練習順利過渡至復雜的算理應用。在實際教學的過程中，教師應依據實際的課堂反饋，靈活地調整教學策略，運用多樣的演示，加深學生對抽象算理的理解，進而提高學生解決實際問題的能力。

【參考文獻】

［1］宋曉光.小學數學計算教學中算理和算法的有效融合：以蘇教版“小數加法和減法”為例［J］.名師在線，2022（35）：55-57.

［2］楊升群.小學數學運算教學算理和算法融合之道［J］.新課程，2022（35）：99-101.

［3］吳厚天.從“算法”到“算理”的升華：以蘇教版小學數學五年級上冊“小數加法和減法”為例［J］.中國教師，2022（7）：66-68.