審清“圓”題，說清“圓”理，方得圓滿

圓的計(jì)算與證明往往會和三角形、平行四邊形等知識有著緊密的聯(lián)系，所以此類題型復(fù)雜多變。如果你讀題只是匆匆一瞥，走馬觀“圓”，做題時(shí)可能提煉不出有效信息，找不到解決問題的思路，最終只能望“圓”興嘆。下面，我們就圓中的典型易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行分析。

一、圖形的不確定導(dǎo)致漏解

例1 直線l經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（0，3），若⊙M的半徑為2，圓心M在y軸上，當(dāng)⊙M與直線l相切時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。

【錯(cuò)解】如圖1，過點(diǎn)M作MN⊥l于點(diǎn)N。設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，m）（m＞0），即OM=m，BM=3-m。

∵∠MBN=∠ABO，∠MNB=∠BOA=90°，∴△MBN∽△ABO。

∴[MNOA]=[BMAB]，即[24]=[3-m5]。

解得m=[12]。所以M的坐標(biāo)為（0，[12]）。

【解析】此題并未給出圖形。我們通過畫圖可以發(fā)現(xiàn)，圓心M不一定只在直線l的下方，圓心M在直線l的上方時(shí)，⊙M也會與直線l相切，所以我們需分兩種情況進(jìn)行討論。所以錯(cuò)解的解答過程還需補(bǔ)充圓心M在直線l上方時(shí)的情況：若圓心M在直線l上方，如圖2，BM=m-3，同理△BMN∽△BAO，則有[MNOA]=[BMAB]，即[24]=[m-35]。解得m=[112]。此時(shí)M的坐標(biāo)為（0，[112]）。綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，[12]）或（0，[112]）。

【點(diǎn)評】本題是一次函數(shù)與圓結(jié)合的綜合題，主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、分類討論思想的應(yīng)用。當(dāng)圖形不確定時(shí)，就可能需要分類討論，我們應(yīng)畫出所有符合題意的圖形，一一解答，從而避免因考慮不全面或者思維定式造成漏解。解決圓的問題時(shí)，遇到以下問題，我們要考慮是否會產(chǎn)生多解的情況：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系不確定，直線與圓的位置關(guān)系不確定，弦與圓心的位置不確定，弦所對圓周角的位置不確定，外心與三角形的位置不確定等。

二、不能排除干擾條件，應(yīng)挖掘隱含條件

例2 如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=24，點(diǎn)D為線段BC上一動點(diǎn)。以CD為直徑作⊙O，連接AD，交⊙O于點(diǎn)E，則BE的最小值為 。

【錯(cuò)解】無法解答。

【解析】一般而言，解決幾何中最值問題的關(guān)鍵是在“變”中找“不變”。點(diǎn)B是定點(diǎn)，而點(diǎn)E是動點(diǎn)，那它的運(yùn)動軌跡是什么呢？有的同學(xué)一看到圖，很激動，它不就在⊙O上運(yùn)動嗎？所以BE的最小值就是BD的長。但若再仔細(xì)審題，就會發(fā)現(xiàn)，這里點(diǎn)D是動點(diǎn)，那點(diǎn)O也是動點(diǎn)，此時(shí)⊙O為動圓。如果以⊙O為參照物研究點(diǎn)E的話，很不容易，我們只能另辟蹊徑。那么，關(guān)于點(diǎn)E還有什么有效條件呢？不難發(fā)現(xiàn)，CD是直徑，連接CE會得到∠CED=90°，那么∠CEA=90°，AC長又為定長，所以根據(jù)圓的定義，此時(shí)“圓”形畢露，點(diǎn)E在以AC為直徑的⊙Q上，如圖4。

∵AC=20，∴QC=QE=10。當(dāng)Q、E、B三點(diǎn)共線時(shí)，BE最小。

∵BC=24，∴QB=[BC2+QC2]=26。∴BE=QB-QE=16。∴BE的最小值為16。

【點(diǎn)評】本題考查了如何用圓的定義確定動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，從而把動點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最短距離問題。我們常會因?yàn)轭}目中的一些干擾條件做出錯(cuò)誤判斷，所以做題時(shí)要做到每一步都有依據(jù)，養(yǎng)成細(xì)心審題、認(rèn)真分析的好習(xí)慣。

圓雖多變，但解決與圓有關(guān)問題的方法、思想是不變的，只要我們審清“圓”題，說清“圓”理，你會發(fā)現(xiàn)“圓”來如此簡單！

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)城西實(shí)驗(yàn)學(xué)校）