探索三等分線段和角的奧秘

尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題。古希臘數(shù)學(xué)家利用尺和規(guī)這兩種簡(jiǎn)單的工具，通過幾何原理進(jìn)行作圖和測(cè)量。在歐幾里得的《幾何原本》中，尺規(guī)作圖被系統(tǒng)地記錄和闡述，成為古代幾何學(xué)的重要組成部分。尺規(guī)作圖的方法和原理一直延續(xù)至今，對(duì)數(shù)學(xué)和工程領(lǐng)域有著重要的影響。

一、在網(wǎng)格中三等分線段

問題：如圖1，在5×6的網(wǎng)格上，線段AB端點(diǎn)都是格點(diǎn)，畫出它的一個(gè)三等分點(diǎn)M。

要求：①用兩種不同方法作圖；②畫圖工具僅限無刻度直尺。

作法1（X型相似）：如圖2，取格點(diǎn)C、D，連接CD交AB于點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為所求。

作法2（A型相似）：如圖3，取AC=3，則格點(diǎn)D恰為AC的一個(gè)三等分點(diǎn)，連接BC。利用格點(diǎn)圖的特點(diǎn)，過點(diǎn)D作橫4豎1的矩形對(duì)角線，交AB于點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為所求。

二、尺規(guī)作圖之三等分線段

若本題無網(wǎng)格限定，我們也可以通過多種方法求作線段AB的三等分點(diǎn)。

作法1（平行線分線段成比例）：過點(diǎn)A任意作射線AP，在射線AP上順次截取AC=CD=DE，連接BE，過點(diǎn)C、D分別作CM、DN平行于BE，交AB于M、N兩點(diǎn)，如圖4。容易知道，點(diǎn)M、N三等分線段AB。

作法2（三角形重心的性質(zhì)）：以B為中點(diǎn)作線段DE，連接AD、AE，取AE的中點(diǎn)P，連接DP，交AB于點(diǎn)C，如圖5，則點(diǎn)C是△ADE的重心。故點(diǎn)C是線段AB的一個(gè)三等分點(diǎn)。

三、尺規(guī)作圖之三等分角的問題

“利用尺規(guī)作圖三等分一個(gè)任意角”曾是數(shù)學(xué)史上一大難題，之后被數(shù)學(xué)家證明是不可能完成的。人們根據(jù)實(shí)際需要，借助其他簡(jiǎn)易工具將角進(jìn)行三等分。

阿基米德的方法：在圖6中，預(yù)先在直尺上做了一個(gè)記號(hào)點(diǎn)P，點(diǎn)O為直尺的端點(diǎn)，以B為圓心，OP為半徑作半圓，與邊BA和BC分別交于點(diǎn)N和M。移動(dòng)直尺，使直尺上的點(diǎn)O在邊BC的反向延長線上移動(dòng)，點(diǎn)P在圓周上，當(dāng)直尺正好經(jīng)過點(diǎn)N時(shí)，過點(diǎn)B畫ON的平行線BE，則BE是∠ABC的一個(gè)三等分線。

用“有刻度的勾尺”的方法：在圖7中，勾尺的直角頂點(diǎn)為點(diǎn)P，MN⊥PR于點(diǎn)Q，PQ=QR。畫直線DE∥BC，并且DE與BC之間的距離等于PQ。移動(dòng)勾尺到合適位置，使頂點(diǎn)P落在DE上，使勾尺的邊MN經(jīng)過點(diǎn)B，同時(shí)讓點(diǎn)R落在邊BA上，則BQ是∠ABC的一個(gè)三等分線。

（作者單位：江蘇省南京市求真中學(xué)）