從“長×寬×高”走向“底面積×高”

［摘 要］在教授“長方體與正方體”單元時，大部分學生對公式“長方體體積=長×寬×高”非常熟悉，但對公式“體積=底面積×高”的理解和應用不夠靈活。文章通過對教材內容的重新編排，適當增加關于“體積=底面積×高”的變式練習，讓學生從本質上理解體積公式，熟練并能靈活應用“底面積×高”解決相關問題。

［關鍵詞］體積；柱體；底面積；高

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）20-0043-03

長方體和正方體是最基本的立體圖形，掌握好長方體和正方體的體積計算，有助于學生形成體積的概念，從而掌握體積的計量單位并能靈活計算各種幾何形體的體積。

一、發現問題

在教學“長方體與正方體”單元前，筆者給六年級40名學生做了前測。

前測題1：如圖1所示的四個物體中，不能通過“底面積×高”求體積的是（ ）。

前測題2：計算如圖2所示物體的體積，方法正確的是（ ）。

A.5×10×3

B.5×10×4

C.（3+5）×3÷2×3

D.（3+5）×3÷2×10

根據前測結果，筆者隨機訪談了幾名學生，訪談結果見表1。

通過分析表1，可以得出學生出錯的根本原因。第一，缺乏理解。學生對“長×寬×高”熟記于心，而對“底面積×高”比較陌生。因此在做前測題1時，認為如B選項這樣少一塊的，或者如D選項這樣有上下兩個大小不一的圖形疊加的情況，都不能用“底面積×高”進行解答。說明學生不理解“體積=底面積×高”的本質含義。第二，思維定式。大部分學生認為“底面積×高”中的底面積就是指下底面的面積，并且這個底面只能是長方形或正方形。當遇到以側面為底面積的柱體時就無從下手了。說明學生對體積公式的理解依然停留在記憶層面，在思維上有局限性。

二、分析現狀

（一）教材編排

人教版教材中有關“圖形與幾何”領域的內容主要有：二年級上冊主要學習與線相關的知識；三年級下冊主要學習與面相關的知識；五年級下冊和六年級下冊主要學習與體相關的知識。可以看出，教材是按幾何元素的線、面、體有序展開教學的。掌握長方體和正方體體積的計算方式是學生形成體積概念，以及掌握體積的計量單位和計算各種幾何圖形體積的基礎，但教材中沒有很明確地提出“什么是正六（三）棱柱”。因此，教師在六年級教學中細化和深化“底面積×高”的應用范圍就顯得尤為重要。在內容設計上，教師應該增加一些應用變式，幫助學生明確任何柱體的體積都可以用“底面積×高”來計算。

（二）教師教學

1.照搬教材。在教學長方體體積的計算時，教師以“體積=長×寬×高”的公式作為教學重點，而對“體積=底面積×高”則是以等量代換的形式來推理的。這樣就導致學生不懂如何運用“底面積×高”來求棱柱的體積。

2.欠缺知識之間的聯結教學。在教學時，教師沒有將“體積=底面積×高”和“體積=長×寬×高”進行聯結，導致學生不理解“底面積×高”的含義，也就不會運用這一公式。

3.缺乏變式練習。教師對變式練習的設計不夠全面，除了直接用“底面積×高”來計算的題型，學生接觸最多的就是“橫截面積”的計算，缺乏更深層次的變式練習。

三、教學策略

基于以上的思考和分析，以及為了讓學生進一步理解“體積=底面積×高”的含義，筆者重新設計了本課時內容的教學。

（一）第一課時：借助活動，概括體積公式

本課是讓學生用小正方體拼擺出不同的長方體，通過觀察、分析和歸納，發現長方體的體積與長、寬、高之間的內在聯系，從而總結出長方體體積的計算公式。

【教學片段】

1.操作探究，驗證猜想

當學生猜測“長方體的體積=長×寬×高”時，教師引導學生利用擺一擺、數一數、算一算等方法驗證猜想。

教師出示活動要求：

①四人小組合作，用若干個1 cm3 的小正方體分別擺出3個不同的長方體。（小正方體可重復使用）

②數一數每次擺出的長方體所用小正方體的個數，將數據填在記錄表中。

③觀察擺出的長方體的長、寬、高，運用剛才提出的猜想，算一算長方體的體積，將計算結果填在記錄表中。

④操作完成后，觀察記錄表中的數據，在小組內交流自己的發現。

2.交流匯報，概括公式

①學生分享操作活動中的發現：長方體的體積確實等于長、寬、高的乘積。

②教師引導學生總結：長方體的體積公式為[V=abh]，正方體的體積公式為 [V=a3]。

本課的教學定位并不僅僅是讓學生記住公式并運用公式計算體積，而是讓學生動手操作，擺一擺、數一數、算一算、驗證猜想、揭示規律。這一活動真正將學生對長方體體積公式的理解引向深入。

（二）第二課時：借助溝通，統一體積公式

本課主要是利用直觀圖示和體積的計算公式，引導學生將長方體和正方體的體積公式統一成“底面積×高”，幫助學生理解長方體和正方體體積公式之間的內在聯系，并能根據這一公式遷移到一般柱體體積的計算中，為后續學習圓柱的體積計算做好鋪墊。

【教學片段】

1.第一次溝通

（1）感受“面動成體”的過程

師：這是一張白紙，通過不斷疊加同樣的白紙使其高度為2 cm（如圖3），請你們利用體積公式計算出它的體積。

生1：用30×20×2就可以計算出它的體積，結果是1200 cm3。

（2）溝通體積計算公式的關系

師：誰來說說生1算式中每一步的含義？

生2：我發現30×20其實就是一張白紙的面積，那么30×20×2就可以理解為“一張白紙的面積×2”。

師：我們把“一張白紙的面積”稱為底面積，“2”稱為高，那么圖3的長方體的體積=底面積×高，可以寫成[V=S底h]。

通過以上教學，學生明白了[S底]就是底面積，只要[S底]乘上與它垂直的棱的長度，就可以計算出體積。

2.第二次溝通

（1）自主嘗試，初探規律

師：這是一張直角三角形白紙，想象一下用同樣的白紙通過不斷疊加，使其高度為2 cm，得到什么圖形？

師（課件動態出示圖4）：請計算圖4的體積。

生3：可以先用2×6÷2=6（cm2）求出直角三角形的面積，再用6×2=12（cm3）求出圖4的體積。

（2）溝通驗證，統一結果

師：想象一下，如果底面變成梯形，將這個底面向上平移5 cm后，所經過的區域將會形成怎樣的形狀？

師（課件出示圖5）：請大家先給這個圖形命名，然后計算出它的體積。

生4：經過多次計算和驗證，我發現直直的柱體都可以用“底面積×高”來計算體積，都可以看成是由底面疊放而成的。

本課，筆者由長方體引申到其他直柱體，讓學生通過“自主計算→比較溝通→公式推導→得出通式”四個步驟深刻理解“體積=底面積×高”的本質，實現了從長方體到一般柱體的貫通，有效遷移學習和建構知識，拓寬了思維的深度和廣度。

（三）第三課時：借助應用，升華體積公式

學生對“底面積×高”的理解可能會拘泥于“下底面的面積×高”。在教學中，為了打破學生的思維定式，筆者設計了一些變式練習，并結合練習幫助學生理解“只要某一個面的面積與這個面垂直的棱的長度相乘”的本質。

【教學片段】

1.鞏固練習，能力提升

師（出示前測題2）：這道題大家之前做過，現在誰能分析一下為什么選D嗎？

生5：可以先把這個直角梯形當成底面，使圖形變成柱體，就可以利用“底面積×高”來計算體積。因為底面是梯形，即底面積為（3+5）×3÷2，垂直底面的高為10，所以選D。

師：生5證明了“底面積×高”不只是“下底面的面積×高”，而是某一個面的面積與這個面垂直的棱的長度相乘。

2.重點練習，拓展升華

師：請用不同的方法計算出一個底面是正五邊形的直五棱柱（出示圖6-1）的體積。

生6：先把它分解成如圖6-2所示的兩部分，再利用“底面積×高”計算出每一部分的柱體體積，最后相加求總體積。

生7：先把它分解成如圖6-3所示的三部分，再利用“底面積×高”計算出每一部分的柱體體積，最后相加求總體積。

3.生活應用，滲透模型思想

師：要砌一個長200 cm、寬140 cm、高 50 cm的長方形花壇，且在花壇內挖一個底面是正方形（邊長80 cm）的長方體坑用于種樹。請問砌這樣一個花壇需要多少石料？

生8：可以將花壇看成底面是長方形（200×140）減去正方形（80×80）所形成的平面圖形（如圖7），將這個平面圖形乘以高（50），就得到這個花壇需要用到石料的體積。

本課主要針對前面所學知識的應用，通過知識的類比鞏固直柱體的體積計算方法，使學生自覺運用模型，舉一反三、觸類旁通，并能運用柱體體積公式解決實際問題，實現數學學習的應用價值，感受運用模型思想解題的優越性與便捷性。

課后，筆者對部分學生進行了后測，從檢測結果（略）可以看出：第一，通過類比、轉化，學生能自主寫出圓柱的體積為[V=πr2·h]；第二，學生能通過“底面積×高”計算出稍復雜的圖形體積。

綜上所述，將長方體和正方體的體積統一成“底面積×高”，更能促進學生對體積公式本質的理解。這不僅有利于加深學生對長方體和正方體的認識，還能引導學生計算出底面是三角形、平行四邊形、梯形及組合圖形等其他柱體的體積，為后續圓柱和圓錐的體積學習打下堅實的基礎。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 周虹.多維溝通：讓模型思想培養落地生根：以“體積計算練習課”為例[J].小學教學參考，2020（5）：32-33.

[3] 李重瑩，歐陽帆，向型常.“‘長方體和正方體’整理與復習”教學實踐與思考[J].小學數學教育，2020（5）：34-35，58.

[4] 張所濱.“紙”中的學問：兼談“圓柱的體積公式推導”結構化學習教學設計[J].小學數學教師，2021（11）：27-29.

（責編 李琪琦）